Probeklausur Juni 2014, Fragen und Antworten PDF

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SK Düll Lösung...

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P.D. Dr. W. D¨ ull Fachbereich Mathematik Universit¨ at Stuttgart

Mathematik II f¨ ur Informatik und Softwaretechnik Scheinklausur 19. 07. 2014

Scheinklausur f¨ur Studierende der Fachrichtungen inf, swt

Bitte unbedingt beachten: • Legen Sie Ihren Studentenausweis gut sichtbar vor sich auf den Tisch. • Verwenden Sie keinen Bleistift oder Rotstift. • Taschenrechner, Mobiltelefone etc. sind nicht zugelassen. • Die Bearbeitungszeit betr¨ agt 120 Minuten. • Zugelassene Hilfsmittel: 10 eigenh¨andig beschriebene DIN-A4 Seiten. • Bei den Aufgaben 2-5 sind alle L¨ osungswege und Begr¨undungen anzugeben. Die Angabe von Endergebnissen allein gen¨ugt nicht! • Verwenden Sie f¨ur Ihre Bearbeitungen separate Bl¨atter und beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. • Bitte beschriften Sie jeden Ihrer Zettel mit Namen und Matrikelnummer und Nummer der bearbeiteten Aufgabe, sowie Gruppen¨ubung und Namen des Tutors. • In dieser Klausur k¨onnen bis zu 41 Punkte erreicht werden. • Nach der Klausur legen Sie bitte Ihre beschriebenen Bl¨atter in den gefalteten Umschlagbogen hinein. • Wann die Pr¨ ufungsergebnisse vorliegen, wird auf der Homepage der Vorlesung bekanntgegeben.

Wir w¨ unschen Ihnen viel Erfolg!

Mathematik II, Scheinklausur, 19. 07. 2014, P.D. Dr. W. D¨ull Fachrichtungen: inf, swt

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Aufgabe 1(1 Punkte): Name:

Matrikel-Nr:

Kreuzen Sie den Namen Ihrer Tutorin bzw. Ihres Tutors an. Carsten Dietzel

Mathias Tira

Fatmana Arici

L¨ osung. Cuca Segura Name:

Marc Voigt

Verena Wenzel

Matrikel-Nr:

Melanie Knupfer

Terpsi Karadali

123456789

Kreuzen Sie den Namen Ihrer Tutorin bzw. Ihres Tutors an. Carsten Dietzel X

Mathias Tira

Fatmana Arici

Marc Voigt

Verena Wenzel

Melanie Knupfer

Terpsi Karadali

1P .

Mathematik II, Scheinklausur, 19. 07. 2014, P.D. Dr. W. D¨ull Fachrichtungen: inf, swt

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Aufgabe 2(1+1+1+1+1 Punkte): Begr¨ unden Sie, ob die folgende Reihen konvergieren. )k )k ( ( ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ sin(k ) 3 + 4i k+1 c) b) a) 2 6 2k k=1 k (k + 2) k=0 k=1 Berechnen Sie die folgende Grenzwerte sin(2 x) x→0 4x

e) lim

d) lim

x→−2

x+2 x2 − x − 6

L¨osung. a) Wurzelkriterium: √ k

(

) k+1 k k+1 1 = → , 2 2k 2k

wenn k → ∞.

Reihe konvergiert.

1P

  3 + 4i  √9 + 16 5   = < 1. b)  = 6  6  6

Die gegebene geometrische Reihe konvergiert.

1P

   sin(k )  1 1   < 3 c)  < 2 2  k  k (k + 2) k (k + 2)

Somit ist eine konvergente Majorante gefunden, die Reihe konvergiert.

1P

d) Hier liegt der Fall 0/0 vor, deshalb ergibt sich mit der Regel von l’Hospital: lim

x→0

1 1 sin(2 x) 2 cos(2 x) = lim = lim cos(2 x) = x→0 x→0 4x 2 2 4

1P

Alternative L¨ osung: [ ] sin(2 x) 1 sin(2 x) 1 = lim = . lim x→0 4x 2x 2 x→0 2

1P

e) Hier liegt der Fall 0/0 vor, deshalb ergibt sich mit der Regel von l’Hospital: lim

x→−2

x2

1 1 x+2 =− . = lim x→−2 2 x − 1 5 −x−6

1P

Alternative L¨ osung: lim

x→−2

x2

1 x+2 x+2 1 = lim = lim =− . x→−2 x→−2 −x−6 (x + 2)(x − 3) 5 (x − 3)

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1P

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Aufgabe 3(5 Punkte): Bestimmen Sie f¨ ur die Funktion f : R → R : x 7→

∫x

t et dt

0

das Taylorpolynom T3 (f, x, 0) der dritten Stufe um den Entwicklungspunkt x0 = 0. L¨ osung Alternative (1). Die Potenzreihe der Exponentialfunktion ist auf ganz R konvergent und kann gliedweise integriert werden. ) ∫x ∫x ( ∑ ∞ t+1 t dt 2P t et dt = k! k=0 0

0

=

∞ ∑

k=0

xk+2 (k + 2) k!

2P

Die ersten 2 Summanden liefern das gesuchte Taylorpolynom T3 (f, x, 0) =

1 ∑

1 1 xk+2 = x2 + x3 . (k + 2) k! 2 3

k=0

1P

L¨ osung Alternative (2). Ableitungen: f

(0)

f

(1)

(x) =

∫x 0

t

t e dt ⇒ f x

(x) = x e ⇒ f

(1)

(0)

(0) =

∫0

f

x

1P

0

(0) = 0

1P

f (2)(x) = ex + x ex ⇒ f (2) (0) = 1 (3)

t et dt = 0

x

(x) = 2 e + x e ⇒ f

(3)

1P

(0) = 2

1P

Taylor-Polynom: T3 (f, x, 0) =

f (0)(0) 0 f (1)(0) 1 f (2)(0) 2 f (3)(0) 3 1 2 1 3 x + x + x + x = x + x. 0! 1! 2! 3 3! 2

1P

L¨ osung Alternative (3). Berechnung des Integrals mit partieller Integration: f (x) =

∫x 0

Ableitungen:

x ∫x et dt = x ex − ex + 1 t e dt = t e  − t

t

0

0

f (0)(x) = x ex − ex + 1 ⇒ f (0)(0) = −1 + 1 = 0

f

(1)

f

(2)

x

(x) = x e ⇒ f x

x

(1)

(0) = 0

(x) = e + x e ⇒ f

0.5 P

(2)

0.5 P

1P

(0) = 1

f (3)(x) = 2 ex + x ex ⇒ f (3) (0) = 2

1P 1P

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Taylor-Polynom: T3 (f, x, 0) =

f (0)(0) 0 f (1)(0) 1 f (2)(0) 2 f (3)(0) 3 1 2 1 3 x + x + x + x = x + x. 0! 1! 2! 3 3! 2

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1P

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Aufgabe 4(1+2 Punkte): Berechnen Sie jeweils den Wert der folgenden uneigentlichen Integrale: a)

∫−1

ex dx

b)

∫1

ln(2x) dx

0

−∞

L¨osung.

a)

∫−1

ex dx = lim

β→−∞

∫−1 β

−∞

b) ∫1

 −1  ] [  ex dx = lim ex  = lim e−1 − eβ = e−1 . β→−∞  β→−∞

1P

β

ln(2 x) dx = lim

β→0+

0

∫1

[ln(2) + ln(x)] dx

β

1   [ln(2) x + x ln(x) − x]  = lim+  β→0

1P

β

= lim [ln(2) − 1 − (ln(2) β + β ln(β) − β )] β→0+

= ln(2) − 1 − lim β ln(β ) β→0+

= ln(2) − 1 − lim+ β→0

= ln(2) − 1 − lim+ β→0

ln(β ) β −1 1 β −β −2

(l′ Hospital)

= ln(2) − 1 − lim+ (−β) β→0

= ln(2) − 1.

1P

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Aufgabe 5(3+4 Punkte): Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen die L¨ osung der folgenden Anfangswertprobleme: a) y ′ (t) = −et + y(t) ,

y(0) = − ln(2).

b) t y ′ (t) − y (t) = t ln(t),

y(1) = 1, t > 0.

Hinweis: Benutzen Sie f¨ ur b) die Substitution u(t) =

y(t) . t

L¨osung. a) y ′ (t) = −et + y(t) , ′

y(t)

y (t) = −e e

y(0) = − ln(2)

y ′ (t) = −et ∫ −y e dy = −et dt + C

−y(t)

e ∫

t

1P

−e−y = −et + C

y(t) = − ln(et + C) 1P − ln(2) = y(0) = − ln(1 + C) ⇒ C = 1 y(t) = − ln(et + 1)

1P .

b) t y ′ (t) − y(t) = t ln(t), y(1) = 1, t > 0 (1) y(1) y(t) =1 ⇒ u(1) = u(t) = 1 t y(t) u(t) = ⇒ y ′ (t) = (t u(t))′ = u(t) + t u′ (t). t Wir schreiben (1) um. y(t) = ln(t), ⇒ u(t) + t u′ (t) − u(t) = ln(t) t ln(t) u′ (t) = , u(1) = 1, t > 0 1P ∫ ∫t ln(t) u′ (t) dt = dt + C t ln2 (t) +C 1P u(t) = 2 ln2 (1) +C ⇒C =1 1P u(1) = 2 ) ( ln2 (t) t ln2 (t) u(t) = + 1 = t + ln2 (t) + 1 ⇒ y(t) = t 2 2 2

y ′ (t) −

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1P

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Aufgabe 6(1+2+4 Punkte): Gegeben ist die Funktion f : D → R mit D ⊆ R und f (x) =

x+1 . x3 + x

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D von f .

D=

b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlerung von

x+1 x3 + x

x+1 = x3 + x

c) Berechnen Sie

∫

∫

x+1 dx x3 + x

x+1 dx = x3 + x

L¨osung. a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D von f . D = {x ∈ R, x 6= 0} b) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlerung von x+1 = x3 + x

x+1 x3 + x

1 −x + 1 + 2 x x +1

c) Berechnen Sie ∫

1P

∫

2P

x+1 dx x3 + x

1 x+1 ln|x| − ln(x2 + 1) + arctan(x) + C dx = 2 x3 + x

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4P

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Aufgabe 7(2+3+2+6 Punkte): Gegeben ist die Funktion f : R2 → R : (x, y ) 7→ 4x2 y − 32x2 − y 2 . a) Bestimmen Sie den Gradienten von f .

∇ f (x, y) =

b) Geben Sie alle kritischen Stellen von f an. P0 (x0 , y0 ) =

P1 (x1 , y1 ) =

P2 (x2 , y2 ) =

c) Bestimmen Sie die Hesse-Matrix von f .

Hf (x, y) =

d) Geben Sie f¨ ur jede kritische Stelle von f ihren Typ an, sowie auch ein mathematisches Kriterium (eine mathematische Begr¨ undung) f¨ ur Ihre Entscheidung. kritische Stelle

Kriterium f¨ ur den Typ

Typ

P0

P1

P2

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L¨osung. a) Bestimmen Sie den Gradienten von f .   8 x y − 64 x  ∇ f (x, y) =  2 4x −2y

2P

b) Geben Sie alle kritischen Stellen von f an. P0 (x0 , y0 ) = (0, 0)

1P

P1 (x1 , y1 ) = (2, 8)

c) Bestimmen Sie die Hesse-Matrix von f .   8 y − 64 8x  Hf (x, y) =  8x −2 kritische Stelle (0, 0)

d)

(2, 8)

(−2, 8)

(2, 8)

(−2, 8)

1P

Typ

λ02 = −2 < 0 hier liegt ein lokales Maximum vor 1P

√ λ11 =√ 257 − 1 λ12 = − 257 − 1 < 0

√ λ12 =√ 257 − 1 2 λ2 = − 257 − 1 < 0

d) Alternative L¨ osung: kritische Stelle Kriterium f¨ ur den Typ (0, 0)

P2 (x2 , y2 ) = (−2, 8)

2P

Kriterium f¨ ur den Typ λ10 = −64 < 0, 1P

1P

>

0, 1P

hier liegt ein Sattelpunkt vor 1P

>

0, 1P

hier liegt ein Sattelpunkt vor 1P

Typ

fyy (P0 ) = −2 < 0, hier liegt ein lokales Maximum 2 )(0, 0) = 128 > 0 vor 1P (fxxfyy − f xy 1P 2 (fxxfyy − fxy )(P1 ) = −162 < 0 hier liegt ein Sattelpunkt vor 1P 1P 2 (fxxfyy − f xy )(P2 ) = −162 < 0 hier liegt ein Sattelpunkt vor 1P 1P

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