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Lösungen zu vorig genannter Übungsklausur...

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Hochschule Bremen ESWV 1.3.2 Mathematik und Statistik

[email protected] Student:__________________________ Matrikel-Nr.:______________________

Probeklausur ESWV1.3.2 - Lösung Lösungen 1 Wirtschaftsmathematik Aussage (3) Ein Polynom vom Grad 3 hat mindestens 5 Nullstellen Echt gebrochen rationale Funktionen haben als Asymptote die x-Achse Der Grad eines Polynomes ist die Anzahl der Summanden (gerade oder ungerade) Der Wertebereich von Parabeln ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen ℝ Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedes Urbild genau ein Bild hat. Die Funktion f(x)=sin(x) hat 2 verschiedene Nullstellen 2 Finanzmathematik Aussage (3) Der Zinseszinseffekt beschreibt Zinsen auf gezahlte oder gutgeschriebene Zinsen. Der Forwardzins muss immer über dem aktuellen Zins für die gleiche Laufzeit sein. Zerozins bedeutet einen Zins von 0% Im normalen wirtschaftlichen Umfeld (Inflation und Zins>0) ist der Barwert einer zukünftigen Zahlung immer geringer als die Zahlung selbst. Bei der Verrentung wird heutiges Kapital gleichmäßig auf regelmäßige zukünftige Zahlungen aufgeteilt. Der Faktor „Zeit“ ist bei der Berechnung von Barwerten unwichtig. 3 Kombinatorik/Statistik Aussage (3) Aus 4 Spielern können 6 verschiedene 2er Teams gebildet werden. Der Erwartungswert ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse. Die Varianz gibt die mittlere quadratische Abweichung der Ereignisse von Ihrem Mittelwert an. Alle Normalverteilungen können zur Standardnormalverteilung transformiert werden. Der Meridianwert ist das 0,4% Quantil der Verteilung Zwei Zeitserien mit einer Korrelation von +1 bewegen sich weitestgehend parallel

1

Richtig

Falsch X

X X X X X Richtig X

Falsch

X X X

X X

Richtig X

Falsch

X X X X X

Hochschule Bremen [email protected] ESWV 1.3.2 Student:__________________________ Mathematik und Statistik Matrikel-Nr.:______________________ 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung Aussage Richtig Falsch (3) Die Ereignismenge bildet alle Möglichkeiten bei einem X Zufallsexperiment ab. X Das Würfeln mit einem 6er Würfel ist ein BernoulliExperiment. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und X seines Gegenereignisses ist 1. Es gibt Zufallsexperimente für die die Wahrscheinlichkeit eines X Ereignisses P(A) = 1,667 gilt. Das Werfen einer Münze ist ein Laplace-Experiment. X Sie würfeln 2mal, dann ist das Ergebnis des 3. Wurfes von den X beiden vorhergehenden abhängig.

5 (4)

Sie bekommen momentan ein monatliches Gehalt von EUR 2.462,50 brutto. Die Gewerkschaft hat die folgenden Tariferhöhungen verhandelt: 3,2% sofort und weitere 1,8% in einem Jahr auf das dann gültige Gehalt. Wie ist ihr Gehalt nach den jeweiligen Erhöhungen? Gehalt 2.462,50 € Erhöhung 1. Stufe 2. Stufe

2.541,30 € 2.587,04 €

3,20% 1,80%

Angenommen, Sie dürfen auf die 10 Aufgaben dieser Klausur 3 Joker verteilen, d.h. die Jokeraufgaben zählen doppelt, wieviele Möglichkeiten zur Verteilung gibt es? (4) =120 (103 )= 710! 3!! = 10∗9∗8 3∗2∗1 7 (12)

Ein Unternehmen hat die folgenden ökonomischen Grundfunktionen, x=Produktionsmenge: - Fixkosten: 1500 - Variable Kosten: K v (x )=0,002 x3 −0,8 x2 +25 x - Preis-Absatz: P(x) = 200 − 2,3x Ermitteln Sie: Gesamtkosten, Stückkosten, Gewinn, das Maximum des Gewinns mit der dazugehörenden Produktionsmenge Gesamtkosten: K (x )=0,002 x3 −0,8 x2 +25 x +1500 Umsatz: U (x )=200 x −2,3 x 2 Stückkosten: S (x )=0,002 x2 −0,8 x +25+1500 /x Gewinn: G (x)=−0,002 x 3−1,5 x 2+ 175 x −1500 Gewinnmaximum: • G ' (x)=−0,006 x 2−3 x +175 500 −250 • Nullstellen: x 0=± 250 2+175 3 • Maximum: 52,76 ca. 53; Maximalgewinn 3263,84 G ' ' (x)=−0,012 x−3< 0 •

√

2

Möglichkeiten

Hochschule Bremen [email protected] ESWV 1.3.2 Student:__________________________ Mathematik und Statistik Matrikel-Nr.:______________________ 8 Sie wollen eine neue Küche kaufen. Der Preis beträgt EUR 7.900,-- inklusive Lieferung und Montage. Für eine mitfinanzierte Bearbeitungsgebühr von EUR 25,-(20) bietet der Verkäufer eine Bezahlung in 3 „bequemen“ jährlichen Raten in Höhe von EUR 2.700,00 an. Der alternative Zins für 3 Jahre beträgt 1,50%. a. Schätzen Sie die Höhe des Kreditzinses und berechnen Sie den Kapitalwert des gesamten Zahlungsstromes. b. Berechnen Sie den Kapitalwert aller Zahlungen durch Bewertung mit dem Alternativzins. c. Interpolieren Sie aus den Ergebnissen aus a. und b. den Effektivzins des Kredites (Nullstelle der Gerade durch die beiden Punkte) Der Kredit beträgt EUR 7.925,--; die Summe aller Raten EUR 8.100,00. Es werden also insgesamt EUR 175,-- Zinsen bezahlt, das sind durchschnittlich EUR 58,33 pro Jahr → 0,736% Kaufpreis Teilzahlungsaufschlag Bearbeitungsgebühr Gesamtkredit 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr

Gesamtzinsen pro Jahr Schätzung Effektivzins

9 (4)

7.900,00 € 0,00 € 0,00% 25,00 € r(min) 0,74% r(max) 1,50% Df Barwert Df Barwert -7.925,00 € 1,00000 -7.925,00 € 1,00000 -7.925,00 € 2.700,00 € 0,99269 2.680,27 € 0,98522 2.660,10 € 2.700,00 € 0,98544 2.660,69 € 0,97066 2.620,79 € 2.700,00 € 0,97824 2.641,25 € 0,95632 2.582,06 € -62,06 € KW(min) 57,20 € KW(max) 175,00 € 58,33 € 0,74% 1,10%

Um die Unterbringung von Elektrorollstühlen in den Fahrzeugen der BSAG sicherer zu gestalten, müssen Umbauten vorgenommen werden und einige Sitzplätze wegfallen. Damit dies nicht zu Unzufriedenheit bei den anderen Fahrgästen führt, sollen Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass 4 oder weniger Sitzplätze in einem Fahrzeug frei sind. Aus einer Untersuchung wissen sie, dass die Anzahl der freien Sitzplätze normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 10 und einer Standardabweichung von 3. Der Erwartungswert der freien Sitzplätze beträgt μ=10 , die Standardabweichung x −μ σ=3 , wenn x die Anzahl der freien Sitzplätze ist, dann ist die Variable t= σ standardnormalverteilt: t∼N (0,1) =ϕ(−2)=1−ϕ(2 )=0,0227 ( 4−10 3 )

ϕ 10 (4)

3

D.h. die Wahrscheinlichkeit, dass 4 oder weniger Sitzplätze frei sind, beträgt 2,27%. Beim Roulette können die Zahlen 0 bis 36 fallen. Unter anderem können Sie auf eine Carré setzen, d.h. vier Zahlen die auf dem Setzbrett nebeneinander angeordnet sind. Fällt eine der vier gesetzten Zahlen erhalten Sie einen Gewinn in Höhe von 8:1, d.h. Sie bekommen Ihren Einsatz zurück und das 8fache des Einsatzes als Gewinn. Wie hoch ist der Erwartungswert bei dieser Spielart?

Hochschule Bremen [email protected] ESWV 1.3.2 Student:__________________________ Mathematik und Statistik Matrikel-Nr.:______________________ 4 P(Gewinn)= Auszahlung = 9fache Auszahlung. Erwartungswert 37 4 36 E [ X ]=9 = 37 37

4...