Problemario Matematicas 1 Contestado PDF

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Capítulo 1. Límites y continuidad de funciones Conocimiento previo: Simplificación de funciones racionales mediante procedimientos algebraicos Actividad número 1 Conocimiento previo Individual-extra aula Propósito. Recordar conceptos algebraicos que permiten simplificar las expresiones dadas. Criterio de evaluación: Se evaluara el reporte que contenga la solución correcta de los ejercicios. Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos Instrucciones: Simplifique las siguientes fracciones, se puede aplicar factorización, productos notables, racionalización, etc.

1)

2𝑥−4 2−𝑥

2)

𝑥+3 𝑥 2 −9

R.-

3)

𝑥 3 −8 𝑥−2

R.-

[−2(2−𝑥)] = 2−𝑥

6

R.-

𝑥−4

R.-

4)

√2

5)

√𝑥−2

6)

R.-

1 1 − 𝑥 3

𝑥−3

R.-

−2

𝑥+3 1 = (𝑥+3)(𝑥−3) 𝑥−3

= 𝑥2 + 2𝑥 + 4

(𝑥−2)(𝑥 2 +2𝑥+4) 𝑥−2

6 √2 ( ) √2 √2 𝑥−4

√𝑥−2 3−𝑥 3𝑥 𝑥−3 1

=

6√2 2

= 4.24

( 𝑥−2) =

=

√𝑥−2 √

3−𝑥

3𝑥(𝑥−3)

𝑥−4(√𝑥+2) = 𝑥−4

=3𝑥

−1

Ejercicio 1.1 1) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−1 (4x+5) R.- 4(-1) +5 = -4 +5 = 1

√𝑥 + 2

2) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−5

𝑥 2 +3𝑥−10

3) 𝑙𝑖𝑚𝑥→4

𝑥−4

4) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑥+5

𝑥 2 −16

𝑥 3 −27 𝑥−3

5) 𝑙𝑖𝑚

𝑥− 3

𝑥−3(𝑥 2 +3𝑥+9) = 𝑥−3

R.-

𝑥→ √3 2√ 𝑥 −3

R.-

𝑥−5

R.-

6) 𝑙𝑖𝑚𝑥→5 7) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

(𝑥+∆𝑥)2 −𝑥 2

8) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

∆𝑥

9) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−4 10) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2

11) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3

R.-

√𝑥+5−√5 𝑥 𝑥+4

R.-

𝑥+2 𝑥 2 −4𝑥−12

𝑥−3

√𝑥−2 4−𝑥

13) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2

√𝑥+3−5 𝑥−2

14) 𝑙𝑖𝑚ℎ→0

(2+ℎ)4 −16 ℎ

R.-

R.-

=

=

5−𝑥

(

𝑥+2

4𝑥−3(𝑥+1) 4(𝑥+1) 𝑥−3 1

)=

√𝑥+5+√5

= −8

=

1

−1

𝑥+5−5 𝑥(√𝑥−5+√5)

−1 36

=2

1

√5

𝑥 2 − 4𝑥 + 16 = −42 − 4(−4) + 16 = 48

4𝑥−3(𝑥+1) 4(𝑥+1)(𝑥−3)

=12−12 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

𝑥−4 (√𝑥−2)(√𝑥+2) = 4−𝑥( 𝑥+2) 4−𝑥(√𝑥+2) √

√𝑥+3−5 √𝑥+3+5 ) ( 𝑥−2 √𝑥+3+5

=6𝑥+6 =

𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 + 0 = 2𝑥

√𝑥+5+√5

𝑥+2(𝑥−6)

1

2√3

(6𝑥+6)(𝑥−5)

𝑥+4(𝑥 2 −4𝑥+16) = 𝑥+4

R.-

12) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4

5−𝑥 6𝑥+6 𝑥−5 1

√𝑥+5−√5 𝑥

R.-

𝑥 3 − 𝑥+1 4

=

𝑥+∆𝑥(𝑥+∆𝑥)−𝑥(𝑥) = ∆𝑥

R.-

𝑥 3 +64

𝑥+5

𝑥2 + 3𝑥 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27

𝑥−√3 1 = (𝑥+3)(𝑥−3) √3+√3 6−𝑥−1 6(𝑥+1) 𝑥−5 1

= −5 − 2 = −7

(𝑥+5)(𝑥−2)

𝑥−4 1 = (𝑥+4)(𝑥−4) 8

R.-

1 1 − 𝑥+1 6

= 0 𝑅. −

25−15−10 0

R.-

=

12−3

= √4 + 2 = 4

𝑥+3−25

𝑥−2(√𝑥+3+5)

= 𝑥−2(

𝑥−22 √𝑥+3−5)

R.- (2+h)(2+h)(2+h)(2+h) = 32+24h+8ℎ2 + ℎ3 = 32

=

−20 = 0

𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

(𝑥+ℎ)2 −2(𝑥+ℎ)+1−(𝑥 2 −2𝑥+1)

15) 𝑙𝑖𝑚ℎ→0 (0) = 2𝑥 − 2

ℎ

=

𝑥 2 +2𝑥ℎ+ℎ 2 −2𝑥+1−𝑥 2 +2𝑥−1 ℎ

= 2𝑥 − 2 + ℎ = 2𝑥 − 2 +

Ejercicio 1.2 l. Calcular el límite, si es que existe

1)𝑙𝑖𝑚𝑥→4+

𝑥−4 𝑥 2 −16

𝑥

2)𝑙𝑖𝑚𝑥→0− |𝑥| 3) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2−

R.- 0.125

4.01 | 0.01/0.0801 = 0.1248 4.001 | 0.0001/0.008001 = 0.1249

R.- -1

-0.01 | -0.01/|0.01| = -1 -0.1 | -0.1/|01| = -1

𝑥 √𝑥2−4

R.- No existe

-2.01 | -2.01/.2002 = -10 -2.001 | -2.001/4.001 = -500

4)𝑙𝑖𝑚𝑥→3− 𝑓(𝑥); 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = { ; 𝑥 ≤ 3 2 R.- 3

2.9 |

2.9+3

2.99 |

2

= 2.95

2.99+3 2

𝑥+3

1.01 | -0.01

1.001 | -0.001

;𝑥 > 3

= 2.995

5) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ 𝑓, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = { 𝑥 + 2; 𝑥 < 1 R.- 0

9−2𝑥 3

1 − 𝑥; 𝑥 ≥ 1

Actividad Número 2 Conocimiento previo Individual-extra aula Propósito: Análisis del comportamiento gráfico de funciones a partir de su dominio. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los gráficos y el dominio correcto de diferentes tipos de funciones. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Instrucciones: Determina el dominio de las siguientes funciones, expresándolo en intervalo y comprueba mediante su gráfica correspondiente. 1) f(x) = √𝑥 − 1 𝑥 − 1 ≥ 0

𝑥≥1

𝐷: [1, ∞) 1

2) f(x) = 𝑥−1

𝑥−1≠0

𝐷: (−∞, 0][2, ∞)

3)f(x) =

𝑥 2 −1 𝑥−1

𝑥−1≠0

𝐷: (−∞, 1)(1, ∞)

𝑥≠1

(−∞, 1)(1, ∞) 𝑥≠1

4) f(x) ={−2𝑥 − 3, 𝑥 > 1 𝐷: (1, ∞) {𝑥2 − 1, ≤ 1

5) f(x) = {𝑥 2 , 𝑥 > 1

𝐷: (−∞, 1]

𝐷: (1, ∞)

{𝑥 3 − 1, 𝑥 < 1 𝐷: (−∞, 1)

Ejercicio 1.3 l. Analiza la continuidad de cada indicado. En caso de no ser continua, discontinuidad que se presenta.

función en el punto identificar el tipo de

1) f(x)= 𝑥 2 − 4𝑥 + 4; 𝑒𝑛 𝑥 = 1

𝑓(1) = 12 − 4 + 4 = 1 "𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎"

Lim = 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→ 1+ = 1.01 = 1.0201 − 4.04 + 4 = 0.9801

Continua

𝑙𝑖𝑚𝑥→1− = 0.9 = .81 − 3.6 + 4 = 1.21

2) f(x)=

1.001 = 1.002001 − 4.004 + 4 = 0.998

1

𝑥−3

0.99 = 0.9808 − 3.96 + 4 = 1.0201

; 𝑒𝑛 𝑥 = 3

𝑙𝑖𝑚𝑥→3 =

Discontinuidad no removible 3) f(x) =

𝑥+2

𝑥 2 −3𝑥−10

𝑒𝑛 𝑥 = −2 𝑙𝑖𝑚→−2+

𝑙𝑖𝑚→−2−

Discontinuidad removible 4) f(x)=

1

𝑥 2 +1

𝑒𝑛 𝑥 = −1

𝑙𝑖𝑚𝑥→ −1+

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1−

Continua

5) F(x) = {-2x+3; x≥ 1 {𝑥 2 ; 𝑥 < 1

𝑓(3) =3−3 =

1

3.1−3

= 10

0.1

0.1

4.41+6.3−10

1

1 1.21+1

0

= 0.1408

𝑓(−1) =

1

1+1

= 0.55

|

1 3.01−3 0 0

|

=

= 0.4524

| 0.98

Continua

𝑙𝑖𝑚𝑥→3 =

= −0.144

𝑒𝑛 𝑥 = 1

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ − 2.2 + 3 = 0.8

“𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎”

1 0

𝑓(−2) = 4+6−10 =

3.61+5.7−10

0.81+1

1

|

0.01 3.9601+5.97−10

= −0.069

−0.01 4.0401+6.03−10

“𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎”

|

1 1.0201+1

|

“𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒”

“𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎”

1 2

f(1) = -2+3 = 1 12 = 1

= 100

1 0.9801+1

= 0.0401

= 0.5050

= 0.4950

𝑥 = 1 “𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎”

𝑙𝑖𝑚𝑥→ 1− 1.2 | 1.01

“𝑠𝑖 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒”

II. Analizar la continuidad en el intervalo indicado. En caso de no ser continua, identifica el tipo de discontinuidad que se presenta. 𝜋

6) f(x) = sec x en el intervalo (0, 2 )

Continua

7) F(x) = √9 − 𝑥 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−3,3] Continua 8) F(x) =

𝑥

𝑥−3

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (0,5)

𝑥−3≠0

3 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 3.1 F(3) = 3/0 “indefinida” = 31 3.1−3 𝜋

9 − 𝑥 2 ≥ 0 → −𝑥2 ≥ −9 → 𝑥 ≤ 3

|

9) F(x) cot x en el intervalo [0, ] 𝑁𝑜 𝑟𝑒𝑚𝑜𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 2 10) F(x) =

𝑥−1

𝑥 2 −1

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−1,1)

F(1) = 0 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ = 0.47 Continua

| 0.49

𝑥≠

3.01 = 0.01

301 “𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒”

𝑥2 − 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 1 "𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑙 1"

𝑙𝑖𝑚𝑥→ 1− = 0.52

|0.50

Actividad Número 3 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Reafirmar el concepto de límite y de continuidad de funciones Criterio de evaluación: Se evaluara el reporte escrito a mano que contenga las respuestas correctas. Tiempo estimado para la actividad: 1hora Instrucciones: Utiliza un software de graficación para trazar la gráfica de cada una de las funciones involucradas en esta actividad para comprobar o analizar los resultados obtenidos y calcular los límites, si es que existen. 1) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2 √𝑥 − 2

2) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

(𝑥 2+𝑥) 𝑥+1

3) 𝑙𝑖𝑚𝑥→ −1 ( 2 ) 𝑥 +𝑥 𝑥+1

√2 − 2 = 0

𝑥+1 𝑥(𝑥+1)

= 0 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

−1+1 𝑠𝑒 1−1

1

𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒

𝑥+1 𝑥(𝑥+1)

= 𝑥 = −1 = −1 1

1

II. Determinar la continuidad de las siguientes funciones ya sea en los puntos indicados o en los intervalos indicados. De no ser continuas identifica el tipo de discontinuidad que se presenta.

4) F(x) =

𝑥+1

𝑥 2 +𝑥

𝑎) 𝑒𝑛 𝑥 = 0 0+1 0+0

F(0)=

=

1 0

𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

𝑙𝑖𝑚𝑥→0+ 0.1 = 10 | 0.01 = 100 No existe

No removible

5) g(x) = √𝑥 − 2

𝑥−2 ≥ 0 → 𝑥 ≥2

Lim x->-1 = -1

𝑎) 𝑒𝑛 (0,6)

Discontinuidad removible

G(x) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+ 2.1 = .31 | 2.01 = 0.1

𝑏) 𝑒𝑛 𝑥 = 1

f(-1)= 1−1 = −1+1

0

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1− − 1.1 =

0

𝑁𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

−0.1 0.11

-1.01=

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1+ − 0.9 =

= −0.909

−0.01

0.0101

𝑏) 𝑒𝑛 (2,6) Continua

𝑙𝑖𝑚𝑥→2− 1.9 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

0.1

−0.09

= −0.99

= −1.11

-0.99=-0.010

𝑐)𝑒𝑛 [2,6]

Continua

𝑙𝑖𝑚𝑥→2 "𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒"

Ejercicio 1.4 Calcular los siguientes límites, si es que existen y dar su interpretación geométrica. 1) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ (

𝑥2 4 − 𝑥2 𝑥2 3𝑥2 𝑥 2 + + 𝑥2 𝑥2 𝑥

𝑥 2 −4

) 3𝑥 2 +𝑥+2

=

2) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (𝑥 2+4)

2𝑥 𝑥𝑥 2 4 𝑥 + 𝑥2 𝑥2

3) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ ( 2𝑥−3 )

√4(−𝑦)2 +1

2𝑥

√4𝑥 2 +1

−1

1 3(1)

=3

1

𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑦 = 1/3

= = 0 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑦 = 0 1 0

2(−𝑦)−3

=

√4(𝑦)+1 = −2𝑦−3

√4𝑦

√𝑦 2

+

−2𝑦 √𝑦 2

−

√1

√𝑦 2

√𝑦2

𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑦 = −1 𝑥 = −𝑦 | 𝑦 = −𝑥

4) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (

3𝑥 3 +4𝑥 2 −5𝑥+2 6𝑥 2 −2𝑥+3

−3𝑦3 4𝑦2 5𝑦 2 + 2 + 2 + 𝑦3 𝑦3 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 3 6𝑦2 2𝑦 + + 𝑦2𝑦 𝑦2𝑦 𝑦3

5) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ ( 2𝑥2 𝑥2

√5𝑥2

2− 2 𝑥

=

√4𝑥 4 −5𝑥 2 +1 2

=1

3

)

=

2 −2

=

3(−𝑦)3 +4(−𝑦)2 −5(−𝑦 )+2 −3𝑦 3 +4𝑦2 −5𝑦+2 = 6𝑦2+2𝑦+3 = 6(−𝑦)2 −2(−𝑦 )+3

= − 0 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

2𝑥 2 −4

2

)=

3

2𝑥2 4 − √𝑥2 √𝑥4 √4𝑥4 √5𝑥2 4 + − √𝑥4 √𝑥4 √𝑥4

=

Actividad Número 4 Integradora 1 Individual – extra aula Propósito: Aplicar el concepto de límite y discontinuidad de funciones, en diferentes situaciones planteadas. Criterios de evaluación: Se evaluará el reporte escrito a mano que contenga las respuestas correctas. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Instrucciones: I.

Responde con tus palabras a los siguientes cuestionamientos. En caso de ser necesario justifica la respuesta. 1) Explicar el concepto de límite de límite de una función. R.- Es el valor que se aproxima a f(x) por los dos lados cuando el valor de x->c 2) ¿Bajo qué condiciones se presenta una asíntota horizontal? R.- Que valor del límite se aproxime se aproxime verticalmente (arriba y abajo) 3) ¿Bajo qué condiciones se presenta una asíntota horizontal? R.-Que el valor del límite se aproxime horizontalmente (derecha e izquierda). 4) ¿Qué es una discontinuidad? R.-Cuando la gráfica es interrumpida en un punto y continua en otro, en pocas palabras, la línea no es continua, se corta. 5) Si f(x)

𝑥+3

𝑥 2 +7𝑥+12

a) ¿Para qué valor de “x” se presenta una discontinuidad evitable o removible? X=3 b) ¿Para qué valor de “x” se presenta una discontinuidad inevitable o no removible? F (-4)=

−1

16−28+12

𝑙𝑖𝑚𝑥→−4

II.

=

−1 0

𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

−0.9

15.21−27.3+12

=

−1.1 16.81−28.7+12

−0.9 −0.09

= −10

= 100

𝑥 = −4

𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

Calcula los siguientes límites, si es que existen y argumenta el procedimiento.

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1

√3−𝑥−2 3−√8−𝑥

=

2−2 3−√8+1

=

0 3−3

= 0 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0 0

(𝑥+∆𝑥)3 −𝑥 3 𝑥 3 +∆𝑥 3 +𝑥 3 = ∆𝑥 ∆𝑥

=0

Se sustituyó el valor en la ecuación, después se simplifico lo más que pudo y al dar cero sobre cero se entiende que el límite no existe. Y en el segundo si se reescribe el límite es 0. III.

Problema razonado

1. El tipo de interés anual I(t) en %, ofrecido por una entidad financiera depende del tiempo t en años, que está dispuesto a mantener la inversión a través de la siguiente expresión: 90𝑡 𝐼(𝑡) =𝑡 2 + 9

T1=9 t2=13.84 t3=15 t4=14.4 t5=13.23 t6=12 t7=11.25 a) Estudia la continuidad de la función I(t) Si es continua b) Si la función es siempre decreciente a partir de los 3 años y la investigación se mantuviese a muy largo plazo, ¿el tipo de interés podría llegar a ser negativo? Justifica tu respuesta. No, porque por más grande el numero sea solo se aproxima más a cero pero al dividir sería positivo entre positivo nunca saldrá negativo. c) ¿El interés será negativo en algún momento? No d) Realiza un esbozo de la gráfica de la función.

Capítulo 2. La derivada Ejercicio 2.1 I.

Calcular las derivadas de las siguientes funciones por medio de la definición.

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 4(𝑥 + ∆𝑥 )2 − 3(𝑥 + ∆𝑥 ) + 5

1) F(x)= 4𝑥 2 − 3𝑥 + 5 𝑓 ′ (𝑥)∆𝑥→0=

2) F(x) =

4𝑥

1

𝑥 2 +1

2

1

∆𝑥

1

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) =𝑥 2+∆𝑥2+1

2 2 +1− 𝑥2+1 = 𝑓 ′ (𝑥)∆𝑥→0 =𝑥 +∆𝑥 ∆𝑥

−∆𝑥 2

= 8𝑥 − 3 + 5 − 5 = 8𝑥 − 3

+8𝑥∆𝑥+4∆𝑥 2 −3𝑥−3∆𝑥+5−4𝑥+3𝑥−5

∆𝑥(𝑥 4 +𝑥2 +𝑥 2 ∆2 +∆𝑥 2 +𝑥 2 +1

=

𝑥2+1−𝑥2−∆𝑥2 −1 𝑥2+∆𝑥2 +1(𝑥2 +1)

∆𝑥

−1 𝑥 4 +3𝑥 2 +1

=

1

−∆𝑥2 𝑥4+𝑥2 +𝑥2 ∆𝑥2 +∆𝑥2 +𝑥2 +1

∆𝑥

=

3) G(x) = √4 − 𝑥 2 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) = √4 − (𝑥 + ∆𝑥)2 √4 − 𝑥 2 − ∆𝑥 2 − √4 − 𝑥 2 √4 − 𝑥 2 − ∆𝑥 2 + √4 − 𝑥 2 𝑔′ (𝑥)∆𝑥→0 ∗( ) ∆𝑥 √4 − 𝑥 2 − ∆𝑥 2 + √4 − 𝑥 2 4 − 𝑥 2 − ∆𝑥 2 − 4 − 𝑥 2 −1 = = 2 2 2 2√4 − 𝑥 2 ∆𝑥(√4 − 𝑥 − ∆𝑥 + √4 − 𝑥 −3𝑥+7

ℎ(𝑥 + ∆𝑥) = 5(𝑥+∆𝑥)+11 −3𝑥 − 3∆𝑥 + 7 −3𝑥 + 7 5𝑥 + 5∆𝑥 + 11 − 5𝑥 + 11 ′ (𝑥) ℎ ∆𝑥→0 ∆𝑥 −3𝑥 − 3∆𝑥 + 7(5𝑥 + 11) − 5𝑥 + 5∆𝑥 + 11(3𝑥 − 7) (5𝑥 + 5∆𝑥 + 11)(5𝑥 + 11) = ∆𝑥 −8𝑥 + 2∆𝑥 + 68𝑥 60𝑥 + 2∆𝑥 5𝑥 + 5∆𝑥 + 11(5𝑥 + 11) = = ∆𝑥(5𝑥 + 5∆𝑥 + 11)(5𝑥 + 11) ∆𝑥 60𝑥 + 2 = 25𝑥 2 + 110𝑥 + 121

4) H(x) =

5𝑥+11

−3(𝑥+∆𝑥 )+7

𝑦(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)4 = 𝑥4 + 4𝑥 3 ∆𝑥 + 6𝑥 2 ∆𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 3 + ∆𝑥 4 𝑥 4 + 4𝑥 3 ∆𝑥 + 6𝑥 2 ∆𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 3 + ∆𝑥 4 − 𝑥 4 𝑦 ′ (𝑥)∆𝑥→0 ∆𝑥 = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 (0) + 4𝑥(0)2 + (0)3 = 4𝑥 3

5) y(x)=𝑥 4

Ejercicio 2.2

1) f(x)=𝜋

𝑓 ′ (𝑥) = 0

5

𝑦′ = 1

− 𝑥2 6) ℎ(𝑥) = 2 − 𝑥

5) f(t) = 𝑡2 − 3𝑡 + 2

h’(x)=3𝑥 −2

f’(t)=2t-3

8) f(x) =(2𝑥 − 3)2

9)𝑦 = 𝑥 √

3 4

+ 8𝑥 −3

5𝑥−2

y’ = 5 − 1⁄𝑥 2

F’(x)= 2(2x-3)(2) = 8x-12

II.

3) 𝑦 = √𝑥 4= 𝑥 −1 𝑦 ′ = ⁄4 5 𝑥 ⁄5

2) 𝑦 = 𝑥 + 3

−3 ⁄ 2

𝑦′

4⁄ 5

= 𝑥 −1 4)𝑔(𝑥) = 𝑥 4

𝑔′ (𝑥) = −4𝑥 −2

7)𝑦 = (3𝑥 − 2)(4 − 𝑥)

= 3𝑥 − 2(−1) + (4 − 𝑥)(3) = −6𝑥 + 14 10) 𝑓(𝑥) =2

𝑥 2 −1

𝑥 +1

𝑓 ′ (𝑥) =

2𝑥(𝑥 2 +1)−(2𝑥)(𝑥 2 −1) 4𝑥 =(𝑥2+1)2 (𝑥 2 +1)2

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto indicado.

11) Y=𝑥 2 − 3𝑥 + 1 𝑒𝑛 𝑥 = 1 Y(1)= 12 − 3(1) + 1 = −1 Y+1=-5(x-1)

12) F(x)=

3

->

y+5x-4=0

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −3)

𝑥−1 0(𝑥−1)−3(1)

F’(0)=

(𝑥−1)2

𝑚 = 𝑦 ′ = 2𝑥 + 3 = −2 − 3 = −5

= 02+1 = −3 −3

𝑦 + 3 = −3(𝑥 − 0) → 𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎

13) F(x) = √𝑥 + 2 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑝 [−8, 𝑓(−8)] 1 −2 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ⁄3 = −0.0833 𝑦 − 0 = −0.0833𝑥 − 0.66) 3 𝟎. 𝟎𝟖𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟎. 𝟔𝟔 = 𝟎 III. Problemas de aplicación 14) Se lanza hacia abajo un objeto, desde una altura de 200 pies, con una velocidad inicial de 20 pies/s a) ¿cuál es su velocidad a los 2 segundos? B) ¿cuál es su velocidad después de descender 120 pies? Considerar que s(t) = −16𝑡 2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑠𝑜 S’(t)= −32𝑡 + 𝑉𝑜 -64-20= -84pies/s 3

15) El área de un círculo es A=𝜋𝑟 2 . Si el ritmo de cambio del área con respecto al radio está dado por: ¿A/dr, calcular este ritmo cuando r=2cm? 𝐴 = 2𝜋𝑟 = 6.2832(2) = 12.5664 𝑑𝑟 Actividad Número 5

Desarrollo

Individual-extra aula

Propósito: Derivar funciones mediante el uso de las reglas básicas. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte escrito a mano que contenga las respuestas correctas. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora I.

Deriva las siguientes funciones a) Utilizando primero las reglas básicas para derivar y después simplificando. b) Simplificando primero (algebraicamente) y después aplicando las reglas correspondientes. 1) Y= 4𝑥√𝑥 4x(𝑥

1⁄ 2)

= 4𝑥2

9𝑥 2 −1

(18𝑥)(3𝑥−1)−(3)(9𝑥2 −1)

3

𝟐𝟕𝒙𝟐

(3𝑥−1)2

− 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏 (𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐

𝟑 𝟏 𝟏 (𝟒𝒙 ⁄ 𝟐) = 𝟔𝒙 ⁄ 𝟐 𝟐

II.

2) 𝑦 =3𝑥−1

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el punto indicado. 3) F(x) = 3x-2 en el punto P(2,3) M= f’(x)=3

2𝑥−3

y-3=3(x-2)

->

3x-3-3=0

𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑥−2 −1 2(2) − 3 1 (𝑥 − 2) → = 𝑦−0 = 𝑦= 2−2 0 8 2(𝑥−2)−1(2𝑥−3) −1 2𝑥−4−2𝑥+3 −1 M=g’(x)= = = = 2 2

4) G(x) =

(𝑥−2)

(𝑥−2)

4+4

8

𝟏 𝟏 𝒚+ 𝒙− = 𝟎 𝟖 𝟒

Ejercicio 2.3 I.

Encontrar la derivada de las siguientes funciones y simplifica 2 (4) = 3 → 𝑓 ′ (𝑥) (4𝑥 − 3) 1) f(x) = √4𝑥 − 3 = (4𝑥 − 3) √4𝑥−3 2 1

1

2

−1

2) y=(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)5 → 5(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)4 (2𝑥 − 4) = 10𝑥 − 20(𝑥 2 − 4𝑥 + 3)4 3) g(x)= 3

6

√3−2𝑥

4) h(t)=

−4

(5−3𝑡)2

= 6(3 − 2𝑥)3 → −2(3 − 2𝑥)

−2 ⁄

−...