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Ejercicio Resistencia de Materiales resuelto...

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 x N cr

(2)

(1) L

y

2

N cr

.E . I z L2

x y

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

10.1.- Un pilar, de 3 m de longitud, se encuentra sometido a una carga F de compresión centrada. Se pide calcular el valor de la carga máxima que podrá soportar para los siguientes supuestos: 1) El pilar tiene impedido totalmente el pandeo 2) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xy 3) El pilar tiene impedido el pandeo en el plano xz 4) El pilar puede pandear líbremente Datos: fy= 275 N/mm 2, E= 2,1.10 5 N/mm2 . Perfil : HEB-160, M = 1,1, = 1,35 F

HEB-160

z

3m z y

y

1) Comprobación sección pilar a compresión : N*

A. f yd

F .1,35 54,3.10 2. 275 1,1

F 1055555 N

2) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeoen plano xy ) N*

.A. f yd 2

Ncy

.E.I y

Lk

.2,1.10 5.889, 2.10 4

L

A. fy y

2

2 k

Ny

2

1.3000 54,3.102.275 2045669,8

2045669,8 N

curva c de pandeo

0,854

0, 63

.L 1.3000 mm

fórmula : F .1,35 0, 63.54, 3.102. 275 1,1

F

469259,3 N

3) Comprobación pilar a pandeo (impedido pandeo en plano xz ) N*

.A. f yd 2

Ncz

.E.I z L 2k

A. fy y

Lk

Ny

.2,1.10 5.2492.10 4

2

1.3000 54,3.102.275 5733028, 7

2

0,51

5733028, 7 N

curva c de pandeo

.L 1.3000 mm

fórmula : F .1,35 0,84.54,3.10 2. 275 1,1

F

844666, 7 N

4) Comprobación pilar a pandeo (puede pandear líbremente ) F 4 69259, 3 N

0,84

10.2- Un pilar de 6 m de longitud, articulado en sus extremos, se encuentra sometido a una carga de compresión de 1100 kN. La sección del pilar es tubular rectangular. Se pide: 1) Dimensionar la sección de dicho pilar a resistencia 2) Comprobar el pilar a pandeo utilizando: a) La fórmula de Euler b) La fórmula de la Normativa española DBE-SE-A 3) Repetir los apartados anteriores suponiendo que el pilar tiene 8 m de longitud Datos: fy = 275 N/mm 2, E = 2,1.105 N/mm2 , = 1,5, M = 1,1 Sección

z

y Cálculo de las reacciones:

∑F

Diagrama de esfuerzos:

0 x 6

x

RA

0

N

1100 kN 1100 kN

x 1100 kN

x

1100

-

6m z N y RA

Dimensionamiento a resitencia: Sección más solicitada: todas igual

N*

N pl , d

A. f yd

1100.10 3.1, 5

0

x 6

A. 275 1,1

tablas : 200 /120 /12, 5

200 /120 /12,5

N

1100 kN

A 66.10 2 mm2

cte

Comprobación a pandeo: a) Pandeo teórico: Fórmula de Euler 2

Carga crítica de Euler: Ncr

.E.Imin Lk2

Comprobación a pandeo: N*

N cr

er

1 . tan teo : perfil

siendo: N*

1100.103.1,5 1650000 N

200 /120 /12,5 : 2

3099 cm 4 I y 1397 cm 4 I min

Iz

N.

N * 1650000 N cr

N cr

2

.2,1.10 5.13 97.104 (1.6000) 2

. E. I min L k2

803475 N

No cumple

803475

2o . tan teo : perfil 200 /160 /12, 5 : 2

3979 cm 4 I y

Iz

2820 cm 4

N * 1650000 N cr

I min

N cr

.E .I min L2k

2

.E .I min L2k

2

.2,1.105.2820.10 4 (1.6000) 2

1624000 N

.2,1.105.3020.10 4 2 (1.6000)

1739000 N

No cumple

1624000

3 er. tan teo : perfil 220 /180 / 8 : 2

4109 cm 4 I y 3020 cm 4

Iz

N * 1650000 N cr

I min

1739000

N cr Si cumple

220 /180 / 8 b) Pandeo práctico: Método de la Normativa española DBE-SE-A

Comprobación a pandeo : N * er

1 tan teo : 220 /180 / 8 2

N crz 2

N cry z

.E. I z L2k

2

.E.I y

2

2 k

L 0,83

N b, Rd

A

. A. f yd

59, 2cm 2 ; I z

siendo : N *

4109cm 4 ; I y

.2,1.105.4109.10 4 (1.6000) 2

2366000 N

z

.2,1.105 .3020.104 (1.6000)2

1739000 N

y

curva a de pandeo

N.

110.10 3.1,5 1165000 N

3020cm 4 A. f y Ncrz A. f y Ncry

59, 2.10 2.275 2366000

0,83

59, 2.102.275 1739000

0,968

0,78

0,968 curva a de pandeo 0, 69 nos quedamos naturalmente conel valor menor del os 2 : y

N * 1165000 N

.A. f yd

0, 69.59, 2.10 2.

0,69

275 1021200 N 1,1

No cumple

A 82, 6 cm2 ; Iz

2º tan teo : 250 / 200 /10 2

N crz 2

N cry z

.E. I z L2k

2

.2,1.10 5.7266.10 4 (1.6000) 2

.E.I y

2

L2k

.2,1.105 .5154.104 (1.6000)2

curva a de pandeo

0,737

7266 cm4 ; I y

4183000 N

z

2967000 N

y

5154 cm4 A. f y Ncrz

82, 6.10 2.275 4183000

0,737

A. f y

82,6.102.275 2967000

0,875

N cry

0, 781

0,875 curva a de pandeo 0, 747 nos quedamos naturalmentecon el valor menor de los 2 : y

N * 1165000 N

.A. f yd

er

3 tan teo : 250 / 200 /12 2

N crz 2

N cry z

.E. I z L2k

2

.E.I y L2k

2

0,75

0, 747.82, 6.10 2. A

96,1cm 2 ; I z

.2,1.10 5.8159.10 4 (1.6000) 2 .2,1.105.5792.10 4 (1.6000)2

curva a de pandeo

0, 747

275 1543000 N 1,1 8159 cm 4 ; I y

No cu mple

5792cm 4 Ncrz

96,1.10 2.275 4697000

0,75

A. f y N cry

96,1.10 2.275 3335000

0,89

A. f y

4697000 N

z

3335000 N

y

0,825

0, 737 curva a de pandeo 0, 737 nos quedamos naturalmentecon el valor menor de los 2 : 275 N * 1165000 N Si cu mple .A. f yd 0, 74.96,1.10 2. 1771000 N 1,1 y

0,89

250 / 200 /12

resultados finales : dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12,5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 220 /180 / 8 dim ensionamiento a pandeo por la formula dela Normativa española : 250 / 200 /12 3.-Repitiendo el procedimiento para una longitud del pilar de 8 m:

resultados finales : dim ensionamiento a compresión : 200 /120 /12, 5 dim ensionamiento a pandeo por la formula de Euler : 300 / 200 /10 dim ensionamiento a pandeo por la formula de la Normativa española : 300 / 220 /12

10.3- En la estructura de la figura se pide el dimensionamiento a resistencia de las secciones de la viga( utilizando un criterio plástico) y del pilar y la comprobación de éste a pandeo, en los dos casos siguientes: Datos: fy = 275 N/mm2 , E = 2,1.105 N/mm2 , = 1,5, M = 1,1 a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) b) El pilar se acorta Perfil viga: IPE, perfil pilar: HEB El pilar se considera debidamente arriostrado en el plano perpendicular al de la figura.

50 kN/m B

6m

A

5m

C Cálculo de las reacciones en los apoyos. Ecuaciones de equilibrio: RA

MA

A

50 B

6

∑F ∑M

RA

0 A

RC

50.6 (1)

0 R C .6 M A

50.6.3 (2)

es una estructura hiperestática

5

tiene una ligadura de más se buscará una ecuación de deformación

C RC Estructura isostática equivalente: se quita el apoyo en C y se pone la condición: Ecuación que se desarrollará aplicando el Teorema de ls Trabajos Virtuales RA MA

yC = 0 (3)

50

A

B

6

AB : M z Vy

5

BC : N C RC

RA .x M A RA RC

50. x

50.x .

x 2

R´A

M´A

Cálculo de las reacciones. Ecuaciones de equilibrio

50

∑F ∑M

B

6

A

5

R´ A 1kN

0

0 M ´A 1.6 6 kN .m

A

AB : M ´ z

C

1. x 6

V´y

1

BC : N ´

1

1 Kg

Teorema de los Trabajos Virtuales:

∑F. i

´i

∑ R. i

L

∫

´i

0

N .N ´.dx E. A

L

∫ 0

M z. M´ z. dx E. Iz

( se desprecia efectosV y )

a) Se considera el pilar de rigidez axil infinita (no se acorta) al considerarse el pilar de rigidez axil infinita ( no se acorta) será cero, es decir se cumplirá: L

∫ 0

siendo:

Fi

1 kN

´i

yC

Ri

0

N .N ´ .dx E .A

el trabajo interno debido a las Rx

0

( R´ A 1 kN

y

M ´ A 6 kN .m)

´i 0

y sustituyendo :

6

x 1.x 6).( RA .x M A 50. x. ). dx 2 1.0 0 0 E. Iz operando : 36.R A 18.M A 2700 0 (3)

∫(

y resolviendo (1), (2), (3) : R A

187, 5kN . M A

225kN .m R C

112, 5kN

Diagrama de esfuerzos: 225

Mz

N

Vy 112,5 112,5

A 3,75 m

+

B

A

B

+ -

126,5

C

C

A

18,75 3,75 m

B

C

AB : M z

187,5. x 225 50. x.

x

0

Mz

x

6

Mz

x

3,75

BC : M z

x 2

187,5 50. x

Vy

225

0

x

0 Mz

0

Vy

x 126,56 0

187, 5

Vy 6

Vy

112, 5

Vy 0

N 0

x

3, 75

112, 5

N

Dimensionamiento sección viga AB a resistencia con criterio plástico: sección más solicitada:

x

Mz

0

225 kN .m., V y 187, 5 kN

Comprobación a flexión : M *z

M zpl , d

337,5.106

M *z

Wzpl . fyd

225.106 .1,5 337, 5.106 N.mm

Mz .

Wzpl .275

tablas IPE 450 1,1 Comprobación a cortadura : f V y* V ypl, d Av . yd V y* V y. 187,5.10 3.1, 5 281250 N 3 Av area alma h .t w 450.9, 4 4230 mm 2 275 1,1 281250 4230. 3

610547, 9 N

además se c umple que :V y*

1 .V ypl 2

sí cumple no se necesita combinar flectores con cor tan tes

viga AB : IPE

450

Dimensionamiento sección pilar BC a resistencia: sección más solicitada: todas igual:

N*

N pl ,d

168750

A . f yd A. 275 1,1

N*

N.

N

112,5 kN

112,5.103.1, 5 168750 N

A 675 mm2

tablas

HEB 100

Comprobación pilar BC a pandeo:

N*

N b, d

2600 mm 2

A( HEB 100) 2

N cz

N*

.A. f yd 2

.E.I z L2k

112, 5.10 3.1, 5 168750

N.

449,5.10 4 mm 4

I z ( HEB 100)

.2,1.10 5.449,5.10 4 1.5000

A. f yd

2600. 2751,1

Ncz

372278,8

372278,8 N

2

1, 386

fórmul a:168750 0,39.2600. 275 253500 N 1,1 pilar BC : HEB

0,39

curva b de pandeo sí cumple

100

b) Se considera que el pilar se acorta al considerar que el pilar no se acorta el trabajo interno debido a las Rx ya no será cero y habrá que tomarle en cuenta, es decir se cumplirá: Teorema de los Trabajos Virtuales:

∑ F.

´i

i

∑ R. i

L

∫

´i

0

N. N´. dx E. A

L

M z.M ´ z.dx E. Iz 0

∫

( se desprecia efectosVy )

siendo:

Fi

1 Kg

´i

yC

0

Ri

(R´ A 1kN

6

∫( 1.0 0

y

x 50. x. ). dx 2

1. x 6).( RA. x M A

0

M ´ A 6 kN .m )

´i 0 y sustituyendo :

5

∫(

1).( RC). dx

0

E .I z

E. A 4

primer tan teo : viga IPE 450 ( I z 33740 cm ), pilar HEB 100 ( A 26 cm 2) operando : 936.R A 468.M A 70200 16,87. R C 0 (3) y resolviendo (1), (2), (3) : RA 188, 5 kN . M A 231, 03 kN.m RC 111, 5 kN Los diagramas de esfuerzos serían ahora: 231,0

Mz

N 111,5 111,5

A 3,77 m

+

B

A

B

+ -

124,2

C

C

A

B

188,5

C

Comprobación sección viga AB (IPE-450) a resistencia: sección más solicitada:

x

0

Mz

231, 03 kN .m., V y 188,5 kN

Comprobación a flexión : M z* M zpl ,d

Wzpl . fyd

M z*

Mz .

231, 03.10 6.1,5 346, 545.10 6 N .mm

346,545.10 6 Wzpl . 275 1,1 1702.10 3. 275 1,1 425,5.10 6

sí cumple

Comprobación a cortadura : f V y* V ypl, d Av. yd V *y V y. 188,5.10 3.1, 5 282,75.10 3 N 3 Av area alma h.t w 450.9, 4 4230 mm 2 275 1,1 3 sí cumple 282, 75.10 4230. 610, 547.103 N 3 1 .V ypl además se c umple que :V y* no se necesita combinar flec tores con cortan tes 2 viga AB : IPE

450

Comprobación pilar BC (HEB-100) a resistencia y a pandeo: Dado que el pilar va a trabajar ahora, en el apartado b) con N = 111,5 kN < que la N= 112,5 kN con los que trabajaba en el apartado a), no será necesario su comprobación. Así pues:

pilar BC : HEB

100

10.4.-Un pilar de 4 m de longitud articulado en ambos extremos y de sección tubular cuadrada: 100/10 está sometido a una carga de compresión centrada. Se pide calcular la máxima carga que podrá soportar y la tensión correspondiente a) Utilizando la fórmula del pandeo teórico de Euler b) Utilizando la fórmula práctica de la Normativa Española DB-SE-A 2 5 2 Datos: fy = 275 N/mm , E = 2.1.10 N/mm , M = 1,1

Datos sec ción tubular cuadrada : A 32, 6 cm 2 , I z a )Pandeoteórico : Fórmula de Euler : N * 2

cr

2

.E.I L2k

N cr

N cr A

.L i

conlo cual : N *

Ncr

1.400 3, 55 N*

531863,8 N 2 cr

2

.2,1.10 5 112,6762

.E 2

2

(

531863,8 N

obien :

lim

.2,1.10 5 275

fy *

* cr

b )Pandeo práctico : Fórmula dela Normativa Española DB SE 2

2

.E.I L2k

N cr

32,6.10 2.275 531863,8

A. f y Nr conlo cual : N * obien :

*

.2,1.10 5.411.10 4 (1.4000)2

N* A

Nb ,Rd 383050 32, 6.102

86,8)

163 N / mm 2

A: N*

N b , Rd

.A. f yd

: 531863,8 N

1, 298 ≃1, 3

.A. f yd

163 N / mm 2

2

.E

112,676

Cálculo del coeficiente de pandeo

3,55cm

Ncr

531863,8 163 N / mm 2 o bien : 2 32,6.10 Lk i

siendo :

.2,1.10 5.411.10 4 (1.4000)2

411cm 4 ,i z i y

Iy

curva a de pandeo

N * 0, 47.32, 6.10 2.

275 1,1

0, 47 383050 N

117,5 N / mm 2

Con los resultados obtenidos comprobamos cómo el cálculo a través de la normativa es más restrictivo que el teórico de Euler, tal y como nos dice la teoría (ver tema 10, sección 10.3.1)

fy =275

163 117,5

lim=86,8

=112,676...