Problemas Resueltos sobre Torsión PDF

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1

2 G

G

T x

2´

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

8.1.-En la ménsula de la figura de sección maciza circular se pide: 1) Diagrama de momentos torsores 2) Dimensionamiento a resistencia de la sección empleando el criterio de Von Misses 3) Diagrama de giros de torsión Datos: fy = 275 N/mm 2; G = 81000 N/mm2 ; coeficiente de minoración del material: M =1,1 coeficiente de mayoración de cargas:

=1,5

sección

4 kN.m

8 kN.m TA A

1m

1m

Cálculo del Momento de empotramiento. Ecuaciones de equilibrio:

∑T

T A 8 4 12 kN .m

0

tramo 0 x 1:

Diagramas de esfuerzos: T (kN.m)

T

x

(rad)

T

4

x

12 kN .m tramo 1 x 2 : 4 kN .m

12 x -

0,0276

0,0368

Dimensionamiento a resistencia: Sección más solicitada:

tramo 0-x-1

max

T = 12 kN.m max

Punto más solicitado: los del borde de la sección circular max

*

*

max

0 * max

T* Wt

(caso sec c .circular )

T* Wo

T* Io R

T* . R4 R

2

T* . R3 2

2

12.10 .1, 5 . R3 2

Von Misses:

*2

3. *2

co

f yd

sustituyendo valores:

  12.106.1, 5   3.  .R 3  2  

co

2

275 1,1

R

43 mm

Criterio elástico de dimensionamiento:

275 1,1 T Tel, d WT, el . WT, el 124707, 66 mm3 12.10 .1,5 WT, el. 3 3 . R3 I0 WT ,el (caso de sección circular)=Wo 124707,66 mm 3 2 R R 42,98 mm ≃ 43 mm ¡el mismo resultado que con Von Misses! f yd

*

6

Diagramas de giros a torsión:

It

(caso sec c.circular )

tramo 0 XA

x

XA

x 1

A

0

x

X

537 cm 4

(como x

0

0)

A

1

S TAX G .I t

X

x

12.10 3. x 81000.10 6.537.10

8

0, 0276 rad

2: A

x

.4, 34 2

x 1: X

tramo 1 x

.R 4 2

Io

( como

A

0, 029 rad

0)

S TAX G. I t

X

x

2

x

12.10 3.1 4.10 3.( x 1) 81000.10 6.537.10 8 0, 0369 rad

8.2.-En la barra de la figura se pide calcular: 1) Diagramas de momentos torsores 2) Diagramas de giros de torsión Datos: G, It To

To

TA

TB

L/3

L/3

∑T

Ecuaciones de equilibrio:

L/3

TA TB

0

T0 T0 (1)

1 ecuación de equilibrio y 2 incógnitas: T A y TB → viga hiper-estática Viga isostática equivalente: To

To

TA

TB

condición: B

L/3

L/3

0 (2)

L/3

Desarrollemos la ecuación (2):

BA

B

0

BA

0

A

STAB

TA

To

TA

2.To

T

0

( T A ).dx

L ( TA 3

0

siendo :

con lo cual sustituyendo :

2 L/ 3

L/ 3

∫

0 (ecuación 2)

B

A

x 2 L/ 3 : T

A

0 (empotramiento ) y

∫ T. dx

0

TA

∫ T .dx TA .

A

T

2L / 3 x L : B

pero

B

STAB G .It

x L/3:

L/ 3

ST AB G. It

∫

L

∫

( T A To ).dx

L/ 3

M o ).

L ( TA 3

( TA

2To ).dx

0

2 L/ 3

2.M o ).

L 3

0

(2)

resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) : T A T o

TB To

To

To

To

To

L/3

L/3

L/3 To

T +

x

-

T0 x

x

-

To L /3GIt

tramo 0 T

x L/ 3 :

To XA

x

X

(como

A

0

T

To To XA

X

A

(

A

T

To

x

To To To

2. L / 3

L/3

X

To . x G .I t To .L 3.G. It

0

L:

X

X

S TAX G .I t

2.L / 3 :

tramo 2.L / 3 x

XA

x

0

X

tramo L / 3 x

A

0)

A

(

A

X

0)

0) To .L 3.G.I t

X

X

S TAX G .I t

To .L G 3. .I t

S TAX G .I t

T o.

x

L

cte

L T o .(x 3 G .I t X

0

2. L ) 3

8.5.-La sección de una viga está sometida a un momento torsor de valor: T = 7,5 kN.m. Se pide: 1) Dimensionar a resistencia dicha sección empleando el criterio de Von Misses 2) Calcular las tensiones en los puntos 1 y 2 indicados en la figura 3) Calcular el ángulo de torsión unitario 2 2 Datos: G = 81000 N/mm , f y = 275 N/mm ; coeficiente de minoración del material: M =1,1 coeficiente de mayoración de cargas: =1,35 1,4 t t

5 cm

T

1

t

a

h

z

2

b

y

5 cm b

aplicandoVon Mises : *

*

T Wt

3.

*2

(como

0)

*

. 3

f yd

siendo :

6

7, 5.10 .1, 35 Wt

7, 5.106 .1, 35 . 3 Wt h

*2 co

100 mm b

sustituyendo :

275 1,1 80 mm t

Wt

70,148.103 mm

tablas

perfil 100 / 80 / 6

6 mm

aplicando criterio elástico (en este caso coincidiría con el plástico, pues al ser el espesor cte, todos los puntos alcanzan la f y a la vez) : T* T

el , d

tablas

275 1,1 W 70,148.10 3 mm 3 T ,el . T ,el 3 3 perfil 100 / 80 / 6 ¡el mismo resultado que con Von Misses!

W

f yd

7, 5.10 .1,35 WT ,el . 6

Observación: Si no se tuviesen los valores de WT se podría ir tanteando perfiles tubulares rectangulares y calculando el WT correspondiente, a partir de su fórmula:

WT

2.tmin .Am

2.t.hm .bm

2.t.( h t).( b t)

los valores de h, b y t los iríamos sacando de las tablas de los perfiles que fuésemos tanteando A m=(area encerrada por la línea media)=h m .b m =(h t ).(b t )

T 2. ta . Am

2) a

b

89, 95 N / mm2

7,5.10 6 89,95 N / mm2 2.6.6956

T 2.tb .Am

siendo: ta

7, 5.10 6 2.6.6956.10 3

bm. hm (80 6).(100 6) 6956 mm2

tb 6 mm Am

3) x

T G.It

7,5.106 0,0000268 rad / mm 8,1.104.3456138

2

siendo : I t

4. Am s ∑ ti i

2

4.( bm . hm ) h b 2. m 2. m t t

2

2

4.(80 6) .(100 6) (100 6) (80 6) 2. 2. 6 6

3456138 mm4

8.6.-En la viga de la figura se pide: 1) Momento torsor máximo que se podrá aplicar para que el giro de la sección B respecto de A no supere los 6º 2) Para el momento torsor obtenido en el apartado anterior, calcular la tensión máxima 2 Datos: G = 81000 N/mm M

0,4 cm

M A

B

10 cm

1,5 m 0,4 cm

10 cm

2. 0,105 rad 360 tramo 0 x 1, 5 : T M 6º

6.

cte 1,5

BA

B

A

( como

M .1,5 81000.10 6.0,148.10

8

A

0)

ST AB G. It

B

0,105

M

∫ M .dx 0

G. It

8, 4 N .m

1 1 . .∑ si .ti3 1. .(9,8.0, 4 3 9,8.0, 4 3 ) 3 3

siendo I t

0,105 0, 0084 kN .m

0,148 cm 4

2)

max

T Wt

siendo Wt

M Wt

8, 4.103 1, 045.103

. 1 .∑ si .ti 2 3

8 N / mm2

1 1 . .(9,8.0,42 3

9,8.0,42 ) 1,045 cm 3

max

M z max

y

sustituyendo :...