Propagación DE LA LUZ - Nota: 9,0 PDF

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PROPAGACIÓN DE LA LUZ: LEY DE SNELL RESUMEN Al estudiar la propagación de una onda, particularmente la luz vista como una onda electromagnética, se deduce que cuando una onda incide sobre la superficie que separa dos medios con distintas propiedades mecánicas u ópticas, una parte se refleja y la otra se transmite al segundo medio. En esta práctica se estudiará el comportamiento de una onda plana que se propaga hacia la superficie de separación de dos medios, formando cierto ángulo de incidencia y se corroborará experimentalmente lo que hoy por hoy se llama Ley de Snell. Palabras Claves: onda electromagnética, luz, transmisión, incidencia, ley de Snell. INTRODUCCIÓN Al estudiar el comportamiento de una onda plana que se propaga hacia la superficie de separación de dos medios, además del fenómeno de la reflexión, también se encontró que parte de la energía de la onda incidente se transmite en el nuevo medio. Cuando un rayo de luz que se mueve por un medio transparente encuentra una frontera que lleva a otro medio de igual característica, parte de la energía se refleja y parte penetra al segundo medio. Como en la reflexión, la dirección de la onda transmitida muestra un comportamiento interesante debido a la naturaleza tridimensional de las ondas de luz. El rayo que penetra al segundo medio se dobla en la frontera y se dice que se refracta. Gracias a un tratamiento electromagnético, es posible demostrar que el rayo incidente, el rayo reflejado y el rayo refractado todos se encuentran en un mismo plano (el plano de incidencia). El ángulo de refracción depende de las propiedades de los dos medios y del ángulo de incidencia. Cuándo la luz pasa de un medio a otro, su frecuencia no cambia, pero si lo hace su longitud de onda (dado que la velocidad cambia). El descubrimiento experimental de este fenómeno y de su correspondencia algebraica suele acreditarse a Willebrord Snell (1591-1627), y por ello se conoce como ley de refracción de Snell. La refracción de las ondas en una interfaz entre dos medios, es un fenómeno común y se puede identificar un modelo de análisis para esta situación: la onda bajo refracción. TEORÍA RELACIONADA El principio de Huygens El principio de Huygens proporciona un método geométrico para hallar, a partir de una forma conocida del frente de ondas en cierto instante, la forma que adoptará dicho frente en otro instante posterior. El principio supone que cada punto del frente de ondas primario da origen a una fuente de ondas secundarias que producen ondas esféricas que tienen la misma frecuencia y se propagan en todas las direcciones con la misma velocidad que la onda primaria en cada uno de dichos puntos. El nuevo frente de ondas, en un instante dado, es la envolvente de todas las ondas secundarias tal como se muestra en la figura.

Figura 1. Principio de Huygens. Supongamos que conocemos la forma del frente de ondas inicial AB. Sobre el frente situamos varias fuentes de ondas secundarias señaladas por puntos de color rojo y azul. Sea v es la velocidad de propagación en el punto donde está situada la fuente secundaria de ondas. Para determinar la forma del frente de ondas A'B' en el instante t , se traza una circunferencia de radio v·t , centrada en cada una de las fuentes (en color rojo). La envolvente de todas las circunferencias es el nuevo frente de ondas en el instante t . El radio de las circunferencias será el mismo si el medio es homogéneo e isótropo, es decir, tiene las mismas propiedades en todos los puntos y en todas las direcciones. Ley de la Reflexión

Figura 2. Ley de la Reflexión. En la parte izquierda de la figura 2, se muestra el aspecto de un frente de ondas que se refleja sobre una superficie plana. Si el ángulo que forma el frente incidente con la superficie reflectante es θi , vamos a demostrar, aplicando el principio de Huygens, que el frente de ondas reflejado forma un ángulo

θr tal que θi=θ r .

Las posiciones del frente de ondas al cabo de un cierto tiempo t , se calculan trazando circunferencias de radio v·t , con centro en las fuentes secundarias de ondas situadas en varios puntos del frente de onda inicial. Las ondas secundarias situadas junto al extremo superior A se propagarán sin obstáculo, su envolvente dará lugar a un nuevo frente de ondas paralelo al inicial y situado a una distancia v·t . Las ondas secundarias producidas en el extremo inferior del frente de ondas chocan contra la superficie reflectante, invirtiendo el sentido de su propagación. La envolvente de las ondas secundarias reflejadas da lugar a la parte del frente de ondas reflejado. El frente de ondas completo en el instante t tiene la forma de una línea quebrada. Tomemos la fuente de ondas secundarias P, de la porción OP del frente de ondas incidente, trazamos la recta perpendicular PP’, tal que PP’ = v·t . Con centro en O trazamos una circunferencia de radio v·t . Se traza el segmento P’O’ que es tangente a dicha circunferencia. Este segmento, es la porción del frente de ondas reflejado. De la igualdad de los triángulos OPP’ y OO’P’ se concluye que el ángulo θi

es igual al ángulo θr .

Si trazamos las rectas perpendiculares (denominadas rayos) a los frentes de onda incidente y reflejado, se concluye, que el ángulo de incidencia θi formado por el rayo incidente y la normal a la superficie reflectante, es igual al ángulo de reflexión dicha normal. Ley de Snell de la refracción

θr

formado por el rayo reflejado y

Figura 3. Ley de la refracción (Ley de Snell) Consideremos un frente de ondas que se acerca a la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades. Si en el primer medio la velocidad de propagación de las ondas es

v1 y

en el segundo medio es v 2 vamos a determinar, aplicando el principio de Huygens, la forma del frente de onda un tiempo posterior t . A la izquierda, se ha dibujado el frente de ondas que se refracta en la superficie de separación de dos medio, cuando el frente de ondas incidente entra en contacto con el segundo medio. Las fuentes de ondas secundarias situadas en el frente de ondas incidente, producen ondas que se propagan en todas las direcciones con velocidad v 1 en el primer medio y con velocidad v 2 en el segundo medio. La envolvente de las circunferencias trazadas nos da la forma del frente de ondas después de tiempo t , una línea quebrada formada por la parte del frente de ondas que se propaga en el primer medio y el frente de ondas refractado que se propaga en el segundo. El frente de ondas incidente forma un ángulo

θ1

con la superficie de separación, y frente de

θ2

ondas refractado forma un ángulo con dicha superficie. En la parte central de la figura, establecemos la relación entre estos dos ángulos.  

v 1 ·t=¿ OP ’∨·sin θ1 En el triángulo rectángulo OO’P’ tenemos que v 2 ·t=¿ OP ’∨·sin θ2

En el triángulo rectángulo OPP’ tenemos que

La relación entre los ángulos

v1 sinθ 1

=

v2 sin θ2

Índice de refracción

θ1 y θ2 es

Se denomina índice de refracción, al cociente entre la velocidad de la luz velocidad v de la luz en un medio material transparente.

n=

c

en el vacío y la

c v

La ley de Snell de la refracción se expresa en términos del índice de refracción

n1 sinθ 1=n2 sin θ2 En la siguiente tabla, se proporcionan datos acerca de los índices de refracción de diversas sustancias Sustancia Índice de refracción (línea sodio D) Azúcar 1.56 Diamante 2.417 Mica 1.56-1.60 Benceno 1.504 Glicerina 1.47 Agua 1.333 Alcohol etílico 1.362 Aceite de 1.46 oliva Tabla 1. Índice de refracción de diversas sustancias. Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual

de Física elemental. Edt. Mir (1975), pág. 209 MATERIALES UTILIZADOS Los materiales utilizados en esta práctica fueron: Material Banco Óptico Diafragma de una ranura Disco de Hartl Foco luminoso Lente de f =+50 mm , 40 ∅ Sección de lente semicircular R=+25 mm Soporte para el foco y el disco Soporte para el diafragma Transformador S . 12 V −20 W

1 1 1 1 1 1 2 1 1

MONTAJE Y PROCEDIMIENTO

Figura 4. Montaje experimental. Dispositivo marca ENOSA Se preparó el montaje de la figura 4, en el cual situamos el foco luminoso con el recuadro marcado en el banco óptico tal que su filamento coincidió con el cero de la escala. Luego, colocamos la lente en la división, 5cm, para así obtener rayos de luz paralelos. Después de tener el montaje anterior, situamos la sección del lente semicircular sobre el disco de Hartl de forma que se cara plana mirara al foco luminoso, y coincidiese exactamente con el diámetro (90°-90°). Por su parte, el centro de la cara plana de la lente lo hicimos coincidir con el centro del disco. Realizamos luego la conexión del foco luminoso y situando el disco convenientemente para obtener sobre él un rayo nítido que coincidiese exactamente con el diámetro (0°-180°). Para comprobar que el montaje estuviese bien mostramos que el rayo al incidir sobre el centro de la lente no sufría ninguna desviación. Corroborada la pertinencia del montaje, se comenzó a girar el disco, tal como se muestra en la figura 5, de forma que el rayo incidente formara un ángulo (medible) con la normal y para ciertos ángulos se midió de igual manera el ángulo que forma el rayo refractado con la normal. Los resultados obtenidos se adjuntan en la tabla 2.

Figura 5. Girando el círculo se va cambiando de ángulo de incidencia y se mide en la escala graduada el ángulo de refracción. RESULTADOS Y ANÁLISIS Luego de ir girando el disco (sin olvidar nunca que el punto de incidencia del rayo luminoso en la lente sea justamente su centro) se midió los valores de los ángulo de refracción que obtuvimos respectivamente para los ángulos de incidencia: 25°, 30°, 40°, 45°, 50°, 60° y 75°, tal como se mencionó en la sección anterior. Los valores fueron anotados en la tabla de resultados (tabla 2), en la cual se condensa también los valores de los senos de los ángulos de incidencia y refracción (1 y 2, respectivamente) y se calcula además el cociente

θ1 (incident 15,0 25,0 30,0 40,0 45,0 50,0 60,0 75,0

sinθ 1 . En efecto, sinθ 2

θ2 (refractado sin θ 1

sin θ 2

sinθ 1 sinθ 2

10,2 0,26 0,18 16,5 0,42 0,28 20,0 0,50 0,34 26,1 0,64 0,44 28,8 0,71 0,48 31,4 0,77 0,52 36,0 0,87 0,59 42,0 0,97 0,67 Tabla 2. Resultado experimental

1,46 1,49 1,46 1,46 1,47 1,47 1,47 1,44

Comprobaremos en esta sección la ley de Snell de la refracción,

n1 sinθ 1=n2 sin θ2 Donde

n1=1

es el índice de refracción del aire y

n2

es el índice de refracción del vidrio

usado en la práctica, el cual queremos determinar. Para tal fin, grafiquemos de sin θ2 . En efecto,

sin θ 1 en función

0.80 0.70 f(x) = 0.69 x − 0 R² = 1

0.60

Sin(2)

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

Sin(1)

Figura 6. Gráfica, resultados experimentales. Ley de Snell de la refracción Al hacer la regresión nos percatamos que la gráfica que más se ajusta corresponde a la de regresión lineal de la forma y=mx +b=0.6899 x−0,0045 ≈ 0.6899 x . Luego, tenemos que

1 sin θ2=0.6899 sin θ1 ↔sin θ 1= sin θ2 0.6899 Que al compararla con la ecuación que nos ofrece la literatura, asumiendo que el medio 1, por ser aire, tiene un índice de refracción igual a n1 =1 , llegamos a que el lente (vidrio) tiene un índice de refracción igual a

n2=

1 =1.45 . 0.6899

Por último, notamos que, en promedio, el valor encontrado

n2

equivale al cociente

sinθ 1 , sinθ 2

calculado para cada uno de los ángulos incidentes y su respectivo ángulo de refracción. CONCLUSIONES 

Dada la literatura es posible afirmar que la asignación de orden en los ángulos de incidencia y refracción depende los índices de refracción de los medios, separados por la interfaz en la que incide el rayo luminoso. En la expresión matemática

n2 < n1 , el ángulo de refracción

θ2

n1 sinθ 1=n2 sin θ2 , se observa que si

es mayor que el ángulo de incidencia. En nuestro caso, dado que los ángulos de incidencia fueron mayores que los ángulos de refracción, eventualmente el índice de refracción del vidrio debía ser mayor que 1 (índice de refracción del aire). Efectivamente, al hacer el cálculo en la sección anterior, llegamos a:

n2=1.45>1 =n1



Gracias a lo anterior, se concluye que cuando un rayo luminoso procedente del aire ( n1=1 ) sufre refracción al pasar al vidrio ( n2=1.45>1=n1 ), el rayo refractado se acerca a la normal.

sinθ 1 sinθ 2

son sensiblemente iguales y este cociente es mayor que la unidad.



Los cocientes



En la refracción de un rayo de luz se cumple que la relación



Hemos enunciado la ley que rige el fenómeno de la refracción. A continuación señalamos las partes importantes de este fenómeno. Esto se representa en esquema de la figura 7.

sinθ 1 sinθ 2

=constante .

Figura 7. Esquema de la refracción de la luz. AGRADECIMIENTOS La práctica se hizo bajo la supervisión del Prof. Dr. Hernán Garrido Vertel y del auxiliar de laboratorio ###, a quienes nos gustaría expresar nuestro más profundo agradecimiento, por hacer posible la realización de esta práctica experimental y, por ende, la escritura de este texto. Se agradece también al Departamento de Física y Electrónica por prestar las instalaciones y materiales para realizar el montaje experimental y poder obtener los datos de esta experiencia.

REFERENCIAS [1] Javier E. Hasbun. On the optical path length in refracting media. Am. J. Phys. 86 (4) April 2018, pp. 268-274 [2]...