Prova 30 Agosto 2010 PDF

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Midterm of 2010...

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´ MA673 - Elementos de Algebra Prof. Thiago Mello

Primeira prova 30/8/2010

Nome:............................................................................ RA:.................... Resolva as quest˜oes 5 e 6, e mais 3 quest˜oes entre 1,2,3 e 4. 1. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Se g ∈ G, mostre que gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H} ´e tamb´em um subgrupo de G. 2. Sejam G um grupo, x ∈ G e CG (x) = {y ∈ G | xy = yx}. (a) Mostre que CG (x) ´e subgrupo de G. (b) Mostre que x ∈ Z(G) se e somente se CG (x) = G. 3. Considere o grupo C − {0} com a opera¸c˜ao usual de multiplica¸c˜ao de n´ umeros complexos. (a) Mostre que S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ´e um subgrupo de C − {0}. (b) Mostre que se n > 0 ´e um inteiro, ent˜ ao {z ∈ S 1 | z n = 1} ´e um 1 subgrupo de S . 4. Sejam G e H grupos e eG e eH seus elementos neutros. Uma fun¸c˜ao ϕ : G −→ H ´e dita um homomorfismo (de grupos) se, para quaisquer x, y ∈ G, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). Para um homomorfismo ϕ, mostre que: (a) ϕ(eG ) = eH e ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 , para todo x ∈ G. (c) Im(ϕ) = {ϕ(x) | x ∈ G} ´e um subgrupo de G. 5. (a) Enuncie o Teorema de Lagrange. (b) Sejam p e q n´ umeros primos. Mostre que se |G| = p.q, ent˜ ao todo subgrupo H de G, tal que H 6= G ´e c´ıclico. 6. Seja  S3 o grupo de c˜oes  permuta¸  de {1, 2, 3}. Considere o subgrupo 1 2 3 1 2 3 H= , de S3 . 1 2 3 1 3 2 (a) Encontre um elemento β ∈ S3 de ordem 3. (b) Mostre que βH 6= Hβ ....