Prova d\'esame - Fisica I - 29 Giugno 2015 PDF

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Fisica I Torino, 29 giugno 2015Cognome:Nome:N: ASia dato un corpo puntiforme di massam. All’istante iniziale il corpo ha velocità inizialev 0 = 2g R√diretta come in figura. Il corpo scivola per un trattoL=Rlungo un piano orizzontale con coefficiente di attritoμd= 12 fino a incontrare una guida semic...

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Fisica I Cognome:

Torino, 29 giugno 2015 Nome:

N. matr:

A

√ Sia dato un corpo puntiforme di massa m. All’istante iniziale il corpo ha velocità iniziale v0 = 2 g R diretta come in figura. Il corpo scivola per un tratto L = R lungo un piano orizzontale con coefficiente 1 di attrito µd = 2 fino a incontrare una guida semicircolare di raggio R priva di attrito. Determinare: a) La velocità del corpo quando giunge alla base della guida semicircolare. [3 punti] b) La reazione vincolare della guida sul corpo e la velocità del corpo quando passa nella posizione P individuata dall’angolo θ . [5 punti] c) Se durante il moto il corpo si arresta oppure si distacca dalla guida semicircolare, calcolando l’eventuale angolo di arresto o di distacco. [5 punti]

Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.

a) Determiniamo la velocità alla base della guida usando il teorema dell’energia cinetica: 1 1 m (2 g R) = m g R m v20 = 2 2 1 µd = 1 mgR ⇒ = EK in − µd m g L = 2 2

EK in = 1 m v2fin = EK fin 2

vfin =

√

gR

b) Determiniamo la velocità del corpo nella posizione individuata dall’angolo di configurazione θ usando la conservazione dell’energia (la guida semicircolare è liscia):

1  ˙ 2 m R θ + m g (R − R cos θ) = EK θ + EP θ = EK fin 2 1 m v2θ = Kθ = EK fin + m g R (cos θ − 1) 2 p p vθ = g R + 2 g R (cos θ − 1) = g R(2 cos θ − 1) 2 ˙ m ar = − m R θ = −N + m g cos θ v2 2 N = m R θ˙ + m g cos θ = m θ + m g cos θ = m g (3 cos θ − 1) R Eθ =

c) Determiniamo gli eventuali angoli di arresto o di distacco annullando le espressioni per vθ, N ricavate al punto precedente: 1 1 = cos θarresto > cos θdistacco = 3 2 ⇒ θarresto < θdistacco quindi si ha arresto a θ = arccos(1/2) = π /3.

Fisica I Cognome:

Torino, 29 giugno 2015 Nome:

N. matr:

A

Un sistema meccanico è composto da due carrucole cilindriche di raggi R1 ed R2 e masse M1 e M2 sulle quali passa un filo inestensibile e di massa trascurabile come in figura. a) Inizialmente il sistema reca agli estremi due masse m1 ed m2 uguali e si trova all’equilibrio. Determinare in queste condizioni la tensione T2 che il filo esercita sulla massa m2? [3 punti] b) Se ora la massa m2 viene triplicata (m2 = 3 m1), qual è la nuova tensione T2 esercitata dal filo sulla massa m2? [4 punti] c) Sempre considerando m2 = 3 m1 si immagini ora di inserire tra la massa m2 ed il suolo una molla di costante elastica k. Si consideri inizialmente il sistema fermo e la molla non deformata. Quando il sistema viene lasciato libero, quale sarà la massima compressione della molla? [5 punti]

Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.

a) Siccome m1 = m2, il sistema inizialmente in equilibrio resta in equilibrio ai tempi successivi. In questo caso la tensione ai capi di ognuna delle carrucole massive è la stessa e la tensione nel filo è T1 = T2 = m1 g = m2 g . b) Quando la massa m2 viene triplicata il sistema non è più in equilibrio ed è necessario studiarne le equazioni del moto. Il sistema ha un grado di libertà. Scegliamo come coordinata di configurazione la quota x = x2 della massa m2:

che è legata agli angoli di configurazione ϕ = ϕ1 e ϕ2 delle due carrucole dalle relazioni cinematiche: x = R1 ϕ1 = R2 ϕ2 Sarà conveniente anche scegliere l’origine del sistema di coordinate in modo da avere x(0) = 0. Dopo aver disegnato i relativi diagrammi di corpo libero scriviamo le equazioni di Newton per le due masse m1, m2 e le equazioni del momento angolare per le due carrucole (consideriamo qui fin dall’inizio la presenza della molla; ponendo k = 0 si riotterrà il caso senza molla). Nelle equazioni del momento angolare per le carrucole scegliamo il polo in corrispondenza delle cerniere in modo che nelle equazioni non compaiano le corrispondenti reazioni vincolari: m1 x¨ = m1 g − T1

m2 x¨ = −m2 g + T2 − k x 1 ¨ = R1 (T1 − T3) (ϕ ¨ = x¨ /R1) M R2 ϕ 2 1 1 1 R M2 R 2 2 1 ϕ ¨ = R2 (T3 − T2) 2 R2 sommando membro a membro: (m1 + m2) x¨ = (m1 − m2) g + T2 − T1 − k x 1 (M1 + M2) x¨ = T1 − T2 2 sommando nuovamente membro a membro: (m1 − m2) g − k x x¨ = 1 (M1 + M2) + (m1 + m2) 2 per k = 0: M1 + M2 + 4 m2 T1 = m1 g − m1 x¨ = m g M1 + M2 + 2 (m1 + m2) 1 M1 + M2 + 4 m 1 T2 = m2 x¨ + m2 g = m g M1 + M2 + 2 (m1 + m2) 2 e ponendo m2 = 3 m1: M1 + M2 + 4 m 1 T2 = 3 m1 g M1 + M2 + 8 m 1

c) Consideriamo ora il caso in cui sia presente la molla (k > 0): (m1 − m2) g − k x (M1 + M2) + (m1 + m2) (m1 − m2) g m2 =3m1 2 m1 g xeq = − = k k x(t) = xeq + A cos ω t + B sin ω t x¨ =

1 2

x˙(t) = −A ω sin ω t + B ω cos ω t r 2k ω = M1 + M2 + 2 (m1 + m2) x(0) = xeq + A = 0 ⇒ A = − xeq ⇒

x˙(0) = B ω ⇒ B = 0 x(t) = (1 − cos ω t) xeq 4 m1 g ∆x = 2 |xeq| = k

Un metodo di risoluzione più rapido consiste nello sfruttare il fatto che l’energia meccanica del sistema è conservata e che i termini cinetici si annullano sia all’istante iniziale (perché il sistema è inizialmente in quiete) sia nell’istante (“finale”) di massima compressione ∆x della molla (che è un punto di inversione per il moto dei corpi che compongono il sistema): 1 −m1 g x + m2 g x = Ein = Efin = − m1 g (x − ∆x) + m2 g (x − ∆x) + k ∆x2 2 2 (m2 − m1) g m2 =3m1 4 m1 g = ⇒ ∆x = k k

Fisica I Cognome:

Torino, 29 giugno 2015 Nome:

N. matr:

A

Si consideri una mole di gas perfetto monoatomico che compie il ciclo motore reversibile ABCA composto da una compressione isobara AB con VA = 2 VB, da un riscaldamento isocoro BC con pC = 2 pB, e da un tratto rettilineo reversibile CA. 1. Disegnare il diagramma del ciclo nel piano p -V e calcolare (in funzione di pA, VA) gli scambi energetici del gas con l’ambiente nelle varie trasformazioni. [5 punti] 2. Si calcoli il rendimento del ciclo. Il risultato cambierebbe se il gas fosse biatomico? [3 punti] 3. Calcolare la variazione di entropia SC − SA. [3 punti]

Regole per lo svolgimento della prova scritta: 1. si possono portare al tavolo solo gli strumenti per scrivere e un documento di identificazione; non è permesso in particolare portare con sé calcolatrici, telefoni cellulari, libri, appunti o fogli propri; 2. per il regolare svolgimento della prova è necessario mantenere il massimo silenzio, non scambiare informazioni con i colleghi, e attenersi alle indicazioni che verranno fornite; 3. al momento dell’inizio della prova si provvederà a scrivere il proprio nome, cognome e numero di matricola su tutti i fogli degli esercizi e sui fogli di brutta; 4. lo svolgimento e i risultati dovranno essere riportati in bella utilizzando il fronte e il retro dei fogli degli esercizi; i fogli di brutta non verranno presi in considerazione ai fini della valutazione della prova, ma dovranno comunque essere consegnati; 5. è possibile uscire dall’aula consegnando il compito, ma non è consentito il rientro; 6. al termine della prova si prega di rimanere seduti attendendo che i fogli vengano ritirati; 7. l’inosservanza delle regole comporta l’annullamento della prova.

a) Utilizzando la legge dei gas troviamo: 1 T 2 A = 2 TB = TA

TB = TC

cV WAB ∆UAB QAB

per un gas ideale monoatomico: 5 3 R, cp = = R 2 2   1 1 = pA (VB − VA) = − 1 pA V A = − pA V A < 0 2 2   13 3 1 − 1 n c V TA = − R TA = − p A V A = n c V (TB − TA) = 2 2 2 4   1 1 5 5 = n c p (TB − TA) = − 1 n c p TA = − R TA = − pA V A < 0 2 2 2 4

WBC = 0 QBC = ∆UBC = n cV (TC − TB) = n cV WCA ∆UCA QCA



1−

 3 1 13 p V > 0 R TA = TA = 4 A A 22 2

  11 1 3 1 1 (1 + 2) pA VA = 1− (VA − VC) (pA + pC) = 3 pA V A = = p V 2 2 2 2 2 4 A A = 0 3 int = = LCA + ∆ECA R TA > 0 4

Se alternativamente il tratto CA fosse stato irreversibile ma fosse stato noto il lavoro totale 1 in un ciclo Wtot = 4 pA VA, gli scambi energetici lungo il tratto CA avrebbero potuto essere calcolati nel modo seguente: 1 pA V A 4 3 = Wtot − (WAB + WBC) = p V 4 A A 3 = Qtot − (QAB + QBC) = pA V A 4

Wtot = Qtot = WCA QCA

b) Il rendimento è: |QAB| 5 1 = 1− = QBC + QCA 6 6 e in generale: cp quindi se il gas fosse stato monoatomico il risultato sarebbe cambiato η = 1− 3 cV + 2 R

η = 1−

c) Utilizzando il fatto che l’entropia è una funzione di stato: Z A Z B n c p dT n cV dT δQ + = T T T C B C 3 5 TB TA = − R ln 2 + R ln 2 = R ln 2 = n cV ln + n c p ln TB TC 2 2 = −∆SCA = − R ln 2

∆SCA =

SC − SA

Z

A

Alternativamente, poiché TA = TC , potrei scegliere come cammino l’isoterma reversibile tra A e C, ottentendo: R C δQisoterma R C pdV R C nRdV ∆SAC = A = A T = A V T V = −nR ln VAC = − R ln 2...