Proyecto. Aplicaciones de Análisis Numérico PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA PROFESOR: RODRIGUEZ GOMEZ JUAN ANGEL

PROYECTO. APLICACIONES DE ANÁLISIS NUMÉRICO EN DIVERSAS INGENIERÍAS. ANÁLISIS NUMÉRICO INTEGRANTES: 1. Manzo Ruiz Yocelyne 2. Morales Mata Montserrat 3. Pineda Hernández Isaac 4. Torres Martínez Eduardo

SEMESTRE: 2019-2 GRUPO: 01 FECHA DE ENTREGA: 13/05/2019

Contenido

1. Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería en Computación............3 2. Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Mecánica.......................6 3. Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Eléctrica Electrónica......7 4. Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Civil................................9 5. Bibliografía..........................................................................................................11 6. Mesografía..........................................................................................................11

Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería en Computación Computación Científica es la colección de herramientas, técnicas y teorías requeridas para resolver modelos matemáticos en ciencia e ingeniería usando un computador. La mayoría de estas herramientas, técnicas y teorías originalmente desarrolladas en matemáticas, fueron desarrolladas antes de la aparición de los computadores. A este conjunto de teorías y técnicas matemáticas se les llama Análisis Numérico y constituye una parte importante de la Computación Científica. Sin embargo, el desarrollo de los computadores, hizo que muchos de los métodos numéricos pensados para resolver problemas a mano fueran optimizados para su uso con computadores o abandonados definitivamente. Ahora debían considerarse factores como:  Lenguajes de programación 2

 Sistemas operativos  Manejo de grandes cantidades de datos  Correctitud de los programas  Por lo tanto, la Computación Científica incluye teorías y herramientas del Análisis Numérico teniendo en consideración los aspectos técnicos del uso de computadores. La computación científica, la cual introduce temas de muchas aplicaciones en el procesamiento de imágenes. Una de ellas es el uso directo de la descomposición de valor singular (SVD por sus siglas en inglés) para la compresión de imágenes. El procedimiento es muy simple. Consiste en el cálculo de la descomposición SVD de la imagen y luego utilizar sólo los valores singulares más significativos para reconstruirla usando las matrices obtenidas truncadas. En la siguiente figura (Porsche Boxter 2012) se muestran las imágenes obtenidas usando diferentes porcentajes de los valores singulares. En el año 1990, durante la Guerra del Golfo, los misiles Patriot se hicieron populares y se usaron principalmente para interceptar misiles balísticos. Después de diversas pruebas se probó su correcto funcionamiento, pero ocurrió un gran error que costó la vida de 28 soldados norteamericanos. El misil estaba diseñado para operar solo unas cuantas horas. La velocidad del misil que se quería interceptar (misil objetivo), era representada por un número de punto flotante, pero el tiempo del reloj interno del sistema se representaba por un entero, correspondiente a décimas de segundo. Antes de usar aquel tiempo, el número entero era multiplicado por una aproximación numérica de 1/10 (para transformar las décimas de segundos en segundos), representada en 24 bits.  En particular el valor 1/10 tiene una expansión binaria infinita, y fue truncado a los 24 bits. Recordemos:



El pequeño error de truncamiento, , multiplicado por un gran número, produjo

un gran error

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El sistema del misil Patriot estuvo corriendo 100 horas lo que produjo un error de 0,34[seg], es decir, el reloj del sistema se atrasó aprox. un tercio de segundo. Este ejemplo, es una aplicación concreta de los conceptos de aritmética de punto flotante (floating point arithmetic) y estabilidad de algoritmos (en este caso, un algoritmo inestable). Otra de las aplicaciones es en el ámbito del sistema de ecuaciones lineales es utilizarlas para resolver una gran variedad de problemas de caminos, incluyendo diversos problemas de optimización (maximizar o minimizar longitudes, capacidad mínima, probabilidad, etc.), enumeración de caminos, cuenta de caminos, y conexión. Para lograr lo anterior, se tratan a las componentes de las matrices como elementos de una estructura algebraica llamada semianillo o dioide (extensión de un monoide). En la solución de ciertos problemas de redes que tienen que ver con caminos, la matriz de conexión generalizada juega un papel central. Si los problemas se plantean adecuadamente, algunos algoritmos clásicos como los de Jacobi y Gauss–Seidel para resolver sistemas lineales de ecuaciones por iteración, pueden utilizarse para resolver una variedad muy grande de problemas de caminos en redes. Los algoritmos resultantes son fáciles de automatizar en lenguajes que manejan arreglos. Es más fácil manejar el sistema de ecuaciones por dichos métodos numéricos ya que en muchas ocasiones el sistema resultante es muy grande. Para trabajar con dicha optimización no solo se trabaja con ecuaciones lineales, sino también con estructuras no lineales a las cuales se les denominan “grafos”, mejor conocido como árbol. En la materia de Estructuras de datos y algoritmo II se le enseña al alumno lo que es un grafo, y un grafo de expansión mínimo (se utiliza cuando se trabaja sobre árboles ponderados).

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Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Mecánica El método de los elementos finitos es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales complejas en problemas de ingeniería y física. El método de los elementos finitos está pensado para usarse en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales en geometrías complicadads. El método de los elementos finitos se usa en el diseño y optimización de productos y aplicaciones en la industria y en la simulación.

El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos es en cuatro etapas: 1. El problema debe reformularse en forma variacional. 2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial) debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos. 3. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión tanto mejor será la aproximación numérica obtenida. 4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones

En este caso se hablará de cómo se utilizaron métodos numéricos para la determinación de la geometría del tanque de gasolina de un vehículo tipo fórmula. Primero se hace una aproximación incial de cómo se quiere la geometría con base en los cálculos hechos sobre el volumen que debe tener el tanque. Después de haber determinado el volumen mediante ecuaciones e integración numérica, y haber creado un CAD incial del tanque, se puede comenzar a hacer las simulaciones. Se agrega dentro del tanque unas placas llamadas baffles, que ayudan a que la salida hacia la bomba de gasolina siempre tenga suministro de combustible. De esto se trata básicamente el análsis de elemento finito. 5

Cada vez que se hace una simulación y se obtienen resultados, éstos se analizan para determinar si hay que hacer cambios en la geometría de los baffles.

Se cambió la geometría aproximadamente 5 veces, ya que no es sólo importante que la geometría de los baffles sea adecuada, funcional y eficiente, sino que también sea manufacturable. Es importante esto útlimo ya que aunque se tenga el mejor diseño de cualquier producto, si no es manufacturable o costeable, jamás va a pasar más allá de las ideas, se quedará como un muy buen plan, que jamás se podrá ejecutar.

Al final de las simulaciones y después de hablar con la empresa que iba a manufacturar el tanque de gasolina, se logró obtener la geometría final, la que cumple perfectamente con su función.

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L los métodos numéricos son un una herramienta muy importante que deben conocer los ingenieros, porque sin ellos se lograrían las mismas cosas pero en mucho más tiempo y con un mayor esfuerzo. Los métodos numéricos facilitan cálculos, ahorran tiempo, en general simplifican la ingeniería. Se puede conlcuir que los métodos numéricos son muy útiles en la ingeniería mecánica.

Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Eléctrica Electrónica. Hablando de los métodos numéricos y la aplicación en la Ingeniería Eléctrica Electrónica se facilita mencionar el flujo de potencia. El estudio del flujo de carga o también llamado flujo de potencia, distribución de carga, ente otros. Consiste en determinar el valor de los voltajes, intensidades de corriente, potencias activas y reactivas en diferentes puntos de una red eléctrica. Generalmente los resultados que se obtienen son el módulo y la fase de la tensión en cada barra, al igual que las potencias activas y reactivas entrantes en cada una de ellas. Los resultados que el analizar los métodos numéricos nos arrojan principales resultados como: - Evaluar el comportamiento del sistema existente en condiciones estacionarias normales o anormales. -

Estudiar alternativas para la planificación de nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes, hablamos de eficientizarían.

-

Estudiar la estabilidad transitoria y permanente de sistemas de potencia

-

Elaborar plan de contingencias ante fallo de un elemento de la red.

A diferencia de otros problemas que son considerados como la Teoría General de Circuitos, en los que teniendo un circuito se pueden presentar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, con ayuda del método de mallas apoyada de la Ley de Kirchoff, las ecuaciones que estas incógnitas ligan no son lineales, por lo que regresamos a los métodos matemáticos más recientes. En general estos métodos son iterativos por lo que permiten una rápida resolución al problema. La no linealidad del sistema de ecuaciones que son generadas está dada por dos factores, la relación de la potencia con el cuadrado de los voltajes y la presencia de funciones trigonométricas en los ángulos de los voltajes de barra, como se muestra en el desarrollo de las ecuaciones de errores de potencia. Se emplea la ayuda del cálculo de los términos de los sumatorios constitutivas de las ecuaciones de potencia netas activa y reactiva de barra para evaluar todos los términos de la matriz Jacobiana del método de Newton-Raphson. 7

Las ecuaciones de potencia son funciones no lineales de las magnitudes y ángulos de los voltajes de barra. Si se especifican las potencias de generación y carga en todas las barras, el vector solución contiene las magnitudes y ángulos de los voltajes llamadas variables de estado. Dado que el balance de potencia en un sistema eléctrico no puede ser conocido, debido a la presencia de pérdidas en la red, la potencia en una de las barras no puede ser especificada. Esta barra es conocida como de compensación o referencia (barra Vθ), para la que se debe definir la magnitud y el ángulo de su voltaje. En otras barras es conveniente especificar tanto la potencia activa como la magnitud del voltaje debido a su capacidad de regulación de voltaje. A estas barras se las conoce como de generación o voltaje controlado (barra PV). El resto de las barras se las conoce como de carga (barras PQ). Una barra Vθ o PV puede ser aquella que tenga una gran capacidad de generación o un nodo de interconexión a un sistema de potencia del cual tome o entregue potencia activa y a la cual puede estar conectada una carga, que posea capacidad de mantener un voltaje especificado a sus terminales. Una barra PQ es aquella que tiene potencia de carga activa y reactiva, o un nodo de interconexión, cualquiera de las dos con una pequeña generación sin capacidad de control de voltaje. La solución del sistema de ecuaciones algebraicas no lineales puede encontrarse por los métodos de Gauss-Seidel o Newton-Raphson. Dadas las ventajas de tiempo de convergencia del segundo, tanto la academia como la industria han propuesto algunos desarrollos para disminuir los períodos de ejecución. La formulación del método se basa en la expansión de una función no lineal en Series de Taylor, truncándola en la primera derivada, razón por la que se convierte en un proceso iterativo. Con las ecuaciones generadas, se desarrolla un programa de flujos de potencia mediante el método Newton-Raphson formal, en el que los términos del Jacobiano se calculan a medida que los términos de las potencias activa y reactiva son evaluados. Podemos concluir que el método de Newton-Raphson formal para solución de flujos de potencia de sistemas eléctricos ha sido mejorado mediante el cálculo de los elementos de la matriz Jacobiana dentro de las ecuaciones de errores de potencia neta de barra, las mismas que siempre deben ser calculadas en los procesos iterativos de cualquier formulación. Las relaciones entre las derivadas efectivamente calculadas y el resto de los elementos del Jacobiano y las potencias netas de barra facilitan la evaluación completa del sistema matricial de ecuaciones.

Aplicación de los métodos numéricos en la Ingeniería Civil

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Bibliografía 1. Lay, David C. (2016). Álgebra Lineal y sus aplicaciones. (Quinta edición) . México : Pearson Educación. 2. GONZÁLEZ, Óscar. 2002. Análisis Estructural. México, D. F.: Editorial Limusa. S. A. de C. V. & Grupo Noriega Editores. 3. LUTHE, Rodolfo. 1971. Análisis Estructural. México: Representaciones y Servicios de Ingeniería, S. A. 4. NOBLE, Ben & DANIEL, James. 1989. Álgebra Lineal Aplicada. México: Prentice-Hall Hispanoamericana, S. A.

Mesografía 1. Játiva J., Constante G., Cabrera G. (2014) Flujo de Potencia por Newton-Raphson con el Jacobiano, Escuela Politécnico Nacional, Facultad de Ingeniería Eléctrica Electrónica, sitio web: https://revistapolitecnica.epn.edu.ec/ojs2/index.php/revista_politecnic a2/article/download/157/pdf 2. M.A. Murray–Lasso(2010) La aplicación del álgebra abstracta y las computadoras para la solución de problemas de caminos en redes orientadas. Recuperado el dia 29 de marzo de 2019 de http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S140577432010000100002. 3. Mecanica de medios continuos para ingenieros de: Xavier Oliver Olivella https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.3/36197/9788498802177.pd 4. Dr. Mousa Hussein. (2009). Llinear Algebra and Engineering Applications. 2019, de College of Engineering & College of Science https://faculty.uaeu.ac.ae/w_ahmed/differential/Lectures/Applications%20of %20Systems%20of%20Linear%20Equations.pdf 5. José Arturo Barreto Gutiérrez Caracas (2011) Algebra Lineal, Recuperado el 30 de marzo de 2019. http://www.abaco.com.ve/lineal/ProyectoCircuitos.pdf

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