Proyecto Final Ecuaciones F PDF

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CENTRO DE Y SUPERIOR Escuela de Ecuaciones Diferenciales Proyecto Final de las ecuaciones diferenciales: Presentado por: Mexicali, B., a 9 de junio de 2018. Indice Marco Desarrollo...........................................................................................................................

Description

CENTRO DE ENSEÑANZA TÉCNICA Y SUPERIOR

Escuela de Ingeniería Ecuaciones Diferenciales

Proyecto Final Aplicación de las ecuaciones diferenciales: Presión atmosférica

Presentado por:

Mexicali, B.C., a 9 de junio de 2018.

Indice Introducción....................................................................................................................................2 Marco Teórico................................................................................................................................3 Desarrollo.......................................................................................................................................6 Conclusión......................................................................................................................................8 Bibliografía.....................................................................................................................................9

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Introducción

Las ecuaciones diferenciales tienen múltiples usos en la vida real. Estas ecuaciones y sus aplicaciones cumplen con un propósito dependiendo del área en el que se utilicen. En la clase de Ecuaciones Diferenciales se vio cómo funcionan y como se interpretan los datos para casos de la vida real. También se vieron ciertas de las aplicaciones que pueden tener y como se usan para diferentes casos. Este trabajo consiste en mostrar detalladamente una de las muchas aplicaciones que pueden tener las ecuaciones diferenciales. Se escogió el tema de presión atmosférica y se verá cómo se puede obtener mediante estas ecuaciones. Se escogió este tema ya que la presión atmosférica es un factor de gran importancia en la tierra. Se explicará la información que fue necesaria para realizar este trabajo lo cual incluye datos sobre las ecuaciones diferenciales, así como de la presión atmosférica. Por último, se mostrará paso a paso que formulas se necesitan para obtener la presión atmosférica, así como el proceso para obtenerla.

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Marco Teórico Ecuación diferencial Una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan las razones de cambio y la ecuación define la relación entre ellas. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. Ecuación diferencial lineal: es una ecuación diferencial que tiene soluciones que pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras soluciones. Ecuación diferencial primer orden: una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Ecuación diferencial segundo orden: Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función x = x(t) es una ecuación de la forma x’’ + a(t) x’ + b(t) x = f(t) Ecuación diferencial homogénea: “Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y’ = f (x , y ) , es homogénea si la función f (x , y ) es homogénea de orden cero.” (Figueroa M, (s.f))

Orden de una ecuación diferencial: las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una

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ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente. Ejemplos de orden en ecuaciones: I.

Ecuación diferencial de primer orden: y’ + y(x) = f(x)

II.

Ecuación diferencial de segundo orden: y’’ + 4y = 0

III.

Ecuación diferencial de tercer orden: xy’’’ – 2xy’’ + 4y’ = 0

Grado de la ecuación: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinímica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Presión atmosférica: “La presión atmosférica es el peso de la columna de aire que hay sobre cualquier punto o lugar de la tierra y es por tanto el peso por unidad de superficie.

Presión Atmosférica = Peso de la columna de aire / Unidad de la superficie

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Cuanto mayor es la altura, menor es la presión atmosférica y cuanto menor es la altura y más se acerque a nivel del mar, mayor será la presión.” (Sail and Trip(s.f)) Presión barométrica: presión ejercida por la atmósfera de la tierra en un punto dado, equivalente

a

la

presión

ejercida

por

una

columna

de

mercurio.

Formula: P = masa / volumen

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Desarrollo Cálculos: Está demostrado que la tasa de cambio de la presión respecto a la altura tiene la forma: ∆ P −mg P = kT ∆h Donde P es la presión expresad en mmHg, h es la altura a la que se mide expresada en m, m es la masa molar del aire terrestre, g es la gravedad, k es la constante universal del gas en el aire y T es la temperatura del aire en K(grados kelvin). Se requiere obtener la presión cuando el cambio de altura tiende a cero, por lo tanto, se toma la forma de una derivada. dP −mg = P dh kT De esta manera se queda una ecuación diferencial que se puede resolver mediante ecuaciones separables sin ningún problema. Primero se separan las variables cada una de un lado de la igualdad. dP =−mg P dh kT dP =−mg dh P kT Seguido se procede a integrar cada lado de la igualdad. dP −mg dh kT ∫

∫P=

ln|P|+C 1= ln|P|=

−mg h+C 2 kT

−mg h+C kT

Ya que se integró, se debe despejar la variable P utilizando Euler.

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−mg h +C kT

e ln|P|=e P=e

−mg h kT

C

∙e

P(h)=C e

−mgh kT

Para obtener el valor de la constante C utilizaremos los valores iniciales de que en una altura h=0 la presión barométrica tiene un valor de P 0. Por lo que con esta constante ya se obtiene la ecuación de la presión en cualquier altura h. P(h)= P0 e

−mgh kT

En esta fórmula el mgh es la energía potencial gravitacional y kT es la energía térmica. Ejemplo de aplicación: Encontrar la presión atmosférica a 30km de altura a 26.85 grados Celsius, tomando en cuenta que la presión a nivel del mar es de 760 mmHg. (la masa molar del aire,”m”, es 0.029, la constante universal de gas para el aire K es 8.31 P(h)=P0 e

−mgh kT

Se reemplazan valores en la ecuación, transformando 30km a metros y 26.85 grados Celsius a Kelvin. P(30000)=760 e

−0.029(9.81)(30000) (8.31)( 300 )

P(30000)=760 e−3.42 P(30000 )=24.86❑ A una altura de 30km, la presión atmosférica se reduce a 24.86mmHg. Con esta ecuación de presión se pueden obtener otros datos así como la de la altura, siempre y cuando se tenga la presión inicial y la presión final. Es de alta utilidad para cualquier tipo de cálculos relacionados al tema.

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Conclusión En este trabajo se pudo ver cómo nos pueden servir las ecuaciones diferenciales en la vida real. Hay distintas formas en las que se pueden usar en diferentes áreas y en este trabajo se vio una la cual es para obtener la presión atmosférica. Investigamos la formula necesaria para obtener una ecuación diferencial sobre la presión atmosférica y poderla resolver. Pudimos observar que se puede obtener la presión atmosférica si se tienen ciertos datos los cuales son la altura y la temperatura. El método con el cual resolvimos la ecuación fue el método de ecuaciones separables. Mediante la realización de este trabajo se pudo aplicar lo aprendido en clase de manera práctica. Usamos lo que aprendimos sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales y al hacer este trabajo todo quedo más claro. Al buscar opciones para hacer este trabajo vimos que las ecuaciones tienen muchas aplicaciones y que también son de gran importancia en las áreas en las que se utilizan.

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Bibliografía -Instituto Tecnológico de Costa Rica (Figueroa, G (s.f)) “Ecuaciones Diferenciales”. Recuperado de: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap2-geo/node3.html -Kha Academy (s.f) “Ecuaciones Lineales” Recuperado de: https://es.khanacademy.org/math/differential-equations/first-orderdifferential-equations -Sail and Trip (s.f) “Presión Atmosférica”. Recuperado de: https://sailandtrip.com/presion-atmosferica/

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