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Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 Universidad de San Carlos de GuatemalaFacultad de IngenieríaMatemática Intermedia 2Ing. Benjamín PiedrasantaPROYECTO I:DIFERENCIAL TOTAL E INTEGRALES DOBLESSección: BGuatemala, 29 de marzo del 2,019.Integrantes del grupoRegistro...

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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 2 Ing. Benjamín Piedrasanta

PROYECTO I: DIFERENCIAL TOTAL E INTEGRALES DOBLES

Integrantes del grupo Registro Académico 201800617

Nombre completo Alexander Adolfo Escobar López

201801409

Gerardo Alejandro Prado Chojolán

201800724

Juan Pablo Chávez Roca

Sección: B Guatemala, 29 de marzo del 2,019.

Introducción Las matemáticas juegan un rol importante en cada una de las actividades que realizamos diariamente, aunque no sea perceptible a simple vista. Con el uso apropiado de los números y la matemática es posible encontrar ciertas funciones que describen sucesos de la vida cotidiana de forma precisa. Es por esto que, la matemática funciona como la mejor herramienta de los seres humanos para afrontar aquellos problemas y dar una solución apropiada a los mismos. Una de las tantas aplicaciones de la matemática es poder describir el movimiento de un objeto, en este caso un brazo robótico. Pudiendo modelar funciones que permiten conocer la posición en que se encontrarán al moverse, además de poder obtener el error que este brazo pueda tener por medio de diferenciales totales. Encontrando así, una gran manera de predecir el movimiento de un brazo robótico. Entre otras de las aplicaciones de la matemática se encuentra el poder encontrar el volumen de ciertas superficies a partir de las integrales múltiples, pudiendo calcular de manera eficaz y precisa esas propiedades. En el presente proyecto, se demuestra que un brazo robótico puede tener un posicionamiento descrito por medio de funciones en un plano (x,y), además de demostrar que el diferencial total para encontrar errores de la posición del brazo puede ser descrito por las funciones antes mencionadas. Así como, se calcula y demuestra que el volumen de un octavo de bicilindro puede ser calculado a partir de integrales dobles, teniendo una sola respuesta correcta. Por lo tanto, se concluye que la matemática cuenta con una increíble variedad de aplicaciones que prometen dar una solución a un problema en especial media vez se plantee correctamente.

Objetivos GENERAL



Aplicar los conocimientos de diferencial total e integrales múltiples para la resolución de problemas.

ESPECÍFICOS 

Predecir el posicionamiento de un brazo robótico por medio de funciones en un plano (x, y).



Demostrar que el diferencial total puede ser expresado en términos de las coordenadas rectangulares obtenidas a partir de las funciones de posicionamiento.



Calcular el error máximo en la coordenada x de la ubicación de la mano del brazo robótico por medio de diferenciales totales.



Encontrar el volumen de un bicilindro por medio de integrales dobles.



Realizar una maqueta del bicilindro y calcular mediante una hoja electrónica el volumen para compararlos.

Marco teórico Brazo Robótico: Un brazo robótico es un tipo de brazo mecánico que normalmente es programable con funciones parecidas a las de un brazo humano. Este puede ser la suma total del mecanismo o puede ser parte de un robot más complejo. Las partes de estos manipuladores o brazos son interconectadas a través de articulaciones que permiten tanto un movimiento rotacional como un desplazamiento lineal. Robot articulado: Un robot articulado es un robot cuyo brazo tiene alguna articulación rotatoria. Son accionados por distintos medios, como pueden ser motores eléctricos, o sistemas neumáticos.

Diferencial Total: En análisis matemático, el diferencial total de una función real de diversas variables reales es una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes son los del gradiente de la función. Sea 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) para la cual las primeras derivadas parciales 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 existen.

Entonces las diferenciales de x y y son 𝑑𝑥 = ∆𝑥 y 𝑑𝑦 = ∆𝑦 d. La diferencial de z es: 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦 )𝑑𝑦 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑦

Integrales Múltiples:

Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces la integral doble de f sobre R, denotada por∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴, se define como: 𝑛

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦 )𝑑𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥∗𝑘, 𝑦𝑘∗ )∆𝐴𝑘 ||𝑝||→0

𝑅

𝑘=1

Integral Iterada: Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, las cuales son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. 𝑏

𝑑

𝑏

𝑑

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 )𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦]𝑑𝑥 𝑎

𝑑

𝑐

𝑏

𝑎

𝑑

𝑐

𝑏

∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥]𝑑𝑦 𝑐

𝑎

𝑐

𝑎

Problema 1 Se forman dos triángulos rectángulos con la información proporcionada:

a) La ubicación de la unión del codo está dada por (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐), donde Xc = L cos(θ)

Yc = L sen (θ )

Encuentre las fórmulas correspondientes para la ubicación (𝑥𝑚, ) de la mano. Xm = ? Ym = ? Se plantean las dos ecuaciones que describen la posición de la mano viéndolo desde el codo: Xm = l cos (180- θ- φ) Ym = l sen(180- θ- φ)

Sustituyendo por la identidad: − cos( ɵ + 𝜙) Xm = l cos (180- θ- φ) 𝑠𝑒𝑛( ɵ + 𝜙) Ym = l sen(180- θ- φ)

Sabiendo que las ecuaciones anteriores describen la posición viéndolo desde el codo, para saber la posición de la mano se sumara las ecuaciones de la posición del codo: Xm = Xc – l cos(θ+ φ) Ym = Yc -l sen(θ+ φ)

Sustituyendo las ecuaciones de la ubicación del codo: R//

Xm = L cos(θ) – l cos(θ+ φ) Ym = L sen (θ) -l sen(θ+ φ)

b) Muestre que las diferenciales totales de X𝑚 y Y𝑚 pueden escribirse como: 𝑑X𝑚 = −Y𝑚𝑑𝜃 + (Y𝑐 − Y𝑚) 𝑑Y𝑚 = −X𝑚𝑑𝜃 + (X𝑐 − X𝑚)φ Ecuación del diferencial total para 𝑋𝑚 : Derivando 𝑋𝑚 respecto a ɵ:

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = 𝑋𝑚ɵ 𝑑ɵ + 𝑋𝑚𝜙 𝑑𝝋

𝑋𝑚ɵ = [(−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ)) − 𝑙 𝑠𝑒𝑛(180 − ɵ − 𝜑 ) ∗ (−1)]𝑑ɵ 𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙 𝑠𝑒𝑛( 180 − ɵ − 𝜑)]𝑑ɵ

Aplicando identidad del seno de una suma de ángulos: 0

-1

𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙[𝑠𝑒𝑛 (180)(cos(−ɵ) cos(−𝜑) − 𝑠𝑒𝑛(−ɵ)𝑠𝑒𝑛(−𝜑)) + cos (180)(𝑠𝑒𝑛(−ɵ) cos(−𝜑) + cos (−ɵ)𝑠𝑒𝑛(−𝜑))]]𝑑ɵ

Simplificando:

𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙[(cos(180)) (−𝑠𝑒𝑛(ɵ) (−cos(𝜑)) + (− cos(ɵ))(−𝑠𝑒𝑛(𝜑))]]𝑑ɵ -1

-1

𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙[−(cos(180) 𝑠𝑒𝑛(ɵ) cos(𝜑)) − (cos (180)cos(ɵ)𝑠𝑒𝑛(𝜑))]]𝑑ɵ sen(ɵ + 𝜑)

𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙[(𝑠𝑒𝑛(ɵ) cos(𝜑)) + (cos(ɵ)𝑠𝑒𝑛(𝜑))]]𝑑ɵ 𝑋𝑚ɵ = [−𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) + 𝑙𝑠𝑒𝑛(ɵ + 𝜑)]𝑑ɵ

Sustituyendo por la ecuación de Ym: Ym

𝑋𝑚ɵ = −[𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ) − 𝑙𝑠𝑒𝑛(ɵ + 𝜑)]𝑑ɵ 𝑋𝑚ɵ = −𝑌𝑚 𝑑ɵ

Despejando de la ecuación de 𝑌𝑚 , 𝑙𝑠𝑒𝑛(θ + φ) : Ym = L sen (θ) - l sen(θ+ φ) 𝑌𝑚 = 𝑌𝑐 − 𝑙𝑠𝑒𝑛( θ + φ) 𝑙𝑠𝑒𝑛(θ + φ) = 𝑌𝑐 − 𝑌𝑚

Derivando 𝑋𝑚 respecto a 𝜑: 𝑋𝑚𝜑 = −𝑙 𝑠𝑒𝑛(180 − ɵ − 𝜑) ∗ (−1) 𝑑𝜑 Aplicando identidad del seno de una suma de ángulos: sen(ɵ + 𝜑)

𝑋𝑚𝜑 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛 (180 − ɵ − 𝜑) 𝑑𝜑 𝑋𝑚𝜑 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛(θ + φ) 𝑑𝜑

Sustituyendo la ecuación de 𝑙𝑠𝑒𝑛(θ + φ) en términos de 𝑌𝑐 𝑦 𝑌𝑚 : 𝑋𝑚𝜑 = (𝑌𝑐 − 𝑌𝑚 ) 𝑑𝜑

Montando las derivadas parciales: 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = 𝑋𝑚ɵ 𝑑ɵ + 𝑋𝑚𝜙 𝑑𝝋

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = −𝑌𝑚ɵ 𝑑ɵ + (𝑌𝑐 − 𝑌𝑚 )𝑑𝝋

Ecuación del diferencial total para 𝑌𝑚 : Derivando 𝑌𝑚 respecto a ɵ:

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑌𝑚 = 𝑌𝑚ɵ 𝑑ɵ + 𝑌𝑚𝜙 𝑑𝝋

𝑌𝑚ɵ = [(𝐿 𝑐𝑜𝑠(ɵ)) − 𝑙 𝑐𝑜𝑠(ɵ + 𝜑) ∗ (1)]𝑑ɵ

Aplicando la identidad y sustituyendo por la ecuación de Xm :

Xm 𝑌𝑚ɵ = [(𝐿 𝑐𝑜𝑠(ɵ)) − 𝑙 𝑐𝑜𝑠(ɵ + 𝜑)]𝑑ɵ

cos(ɵ + 𝜑)

𝑌𝑚ɵ = [(𝐿 𝑐𝑜𝑠(ɵ)) − 𝑙 [cos(ɵ) cos(𝜑) + 𝑠𝑒𝑛(ɵ)𝑠𝑒𝑛(𝜑)]]𝑑ɵ 𝑌𝑚ɵ = 𝑋𝑚 𝑑ɵ

Derivando 𝑌𝑚 respecto a 𝜑: 𝑌𝑚𝜑 = −𝑙 𝑐𝑜𝑠 (ɵ + 𝜑) ∗ (1) 𝑑𝜑 𝑌𝑚𝜑 = −𝑙 𝑐𝑜𝑠(ɵ + 𝜑)𝑑𝜑

Despejando de 𝑋𝑚 , −𝑙 cos(ɵ + 𝜑 ) Xm = L cos(θ) – l cos(θ+ φ) 𝑋𝑚 = 𝑋𝑐 − 𝑙 cos(ɵ + 𝜑)

−𝑙 cos(ɵ + 𝜑 ) = 𝑋𝑀 − 𝑋𝑐

Sustituyendo la ecuación anterior en la derivada de 𝑌𝑚 respecto de 𝜑: 𝑌𝑚𝜑 = (𝑋𝑚 − 𝑋𝑐 )𝑑𝜑

Montando las derivadas parciales: 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑌𝑚 = 𝑌𝑚ɵ 𝑑ɵ + 𝑌𝑚𝜙 𝑑𝜑

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑌𝑚 = 𝑋𝑚 𝑑ɵ + (𝑋𝑚 − 𝑋𝑐 )𝑑𝜑

c) Suponga que 𝐿 = 𝑙 y que el brazo está ubicado de manera que alcanza el punto (𝐿, 𝐿). Suponga también que el error en la medición de cada uno de los ángulos 𝜃 y 𝜑 es a lo más de ±1°. Calcule el error máximo aproximado en la coordenada 𝑥 de la ubicación de la mano, para cada una de las dos posiciones posibles. Datos obtenidos del problema: L=l

𝑑𝜃 = ±1° 𝑑𝜑 = ±1°

P(L,L)

Se construye el brazo en su primera forma:

𝜃 = 90°

𝜑 = 90° Ecuación de diferencial total para 𝑋𝑚 : Ecuación para 𝑌𝑚 :

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = −𝑌𝑚ɵ 𝑑ɵ + (𝑌𝑐 − 𝑌𝑚 )𝑑𝝋 𝑌𝑚 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛 (𝜃) − 𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜑)

Sustituyendo los ángulos: 1

0

𝑌𝑚 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛 (90) − 𝐿 𝑠𝑒𝑛( 90 + 90) Ecuación para 𝑌𝑐 :

𝑌𝑚 = 𝐿

𝑌𝑐 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ)

Sustituyendo los ángulos 1 𝑌𝑐 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛(90) 𝑌𝑐 = 𝐿

Sustituyendo en la diferenciación total de 𝑋𝑚 : 0 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = −𝐿(±1°) + (𝐿 − 𝐿)(±1°) 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = ±𝐿

Se construye el brazo en su segunda forma:

𝜃 = 0°

Ecuación de diferencial total para 𝑋𝑚 : Ecuación para 𝑌𝑚 :

𝜑 = 90°

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = −𝑌𝑚ɵ 𝑑ɵ + (𝑌𝑐 − 𝑌𝑚 )𝑑𝝋 𝑌𝑚 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛 (𝜃) − 𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 𝜑)

Sustituyendo los ángulos: 0 𝑌𝑚 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛(0) − 𝐿𝑠𝑒𝑛(0 + 90) 𝑌𝑚 = −𝐿

1

Ecuación para 𝑌𝑐 :

𝑌𝑐 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛(ɵ)

Sustituyendo los ángulos: 0 𝑌𝑐 = 𝐿 𝑠𝑒𝑛(0) 𝑌𝑐 = 0

Sustituyendo en la diferenciación total de 𝑋𝑚 :

𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = −(−𝐿)(±1°) + (0 − (−𝐿))(±1°) 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = ±𝐿 ± 𝐿 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝑚 = ±2𝐿

Problema 2 Solido acotado por los cilindros 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 y 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑟 2 , llamado bicilindro Un octavo del solido en 𝑅 3 :

Analizando el área en el plano xy

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝒙 = √𝒓𝟐 − 𝒚𝟐 ∆𝒚 = 𝒅𝒙𝒅𝒚

Del segundo cilindro se tiene 𝑟 2 = 𝑧 2 + 𝑦 2 , despejando z se tiene: 𝑧 = √𝑟 2 − 𝑦 2

Analizando las tres integrales dadas, observando que solo tenemos un octavo del sólido, se debe de multiplicar por 8 para obtener el volumen total del sólido, por lo

que la integral doble a) la descartamos. Se observa que al integrar al usar un ∆𝑦 =

𝑑𝑥𝑑𝑦 se tiene que despejar la x de la ecuación del primer cilindro, obteniendo 𝑥 =

√𝑟 2 − 𝑦 2 siendo está el límite superior de la primera integral, por lo que la integral doble c) la descartamos. Integral correcta b).

2 2 𝑟 √𝑟 −𝑦

𝑉 = 8∫ ∫ 0

0

𝑟

(√𝑟 2 − 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦) √𝑟 2 −𝑦 2

𝑉 = 8 ∫ [𝑥√𝑟 2 − 𝑦 2 ] |0 0

V=

𝑟

𝑑𝑦

8 ∫ [(√𝑟2 − 𝑦2)( √𝑟2 − 𝑦2)] 𝑑𝑦 0

V=

𝑟

8 ∫(𝑟2 − 𝑦2 )𝑑𝑦 0

𝑉 = 8 [𝑟 2 𝑦 −

𝑦3 𝑟 ]| 3 0

𝑉 = 8 [𝑟 3 −

𝑟3 ] 3

2 𝑉 = 8 [ 𝑟3 ] 3 𝑉=

16 3 𝑟 3

𝑉=

16 3 𝑟 3

Cuando r=7cm

𝑉= 𝑽=

16 (7)3 3

𝟓𝟒𝟖𝟖 𝟑

𝒄𝒎𝟑

Conclusiones 

La utilización de diferenciales totales es un método que simplifica el cálculo y estimación para conocer el error máximo en una medición. Proveyendo de un valor a tomar en cuenta para la resolución de un problema.



El posicionamiento de la mano de un brazo robótico puede ser descrito por medio de funciones trigonométricas que utilizan el ángulo formado entre las articulaciones (hombro y codo), en coordenadas rectangulares.



El diferencial total, obtenido a partir de las funciones del posicionamiento, puede ser expresado en términos de las coordenadas rectangulares por medio del despeje y sustitución de las funciones de posicionamiento previamente obtenidas.



El error máximo obtenido en la coordenada x de la ubicación de la mano para los dos casos donde las coordenadas son (L, L) son expresados en términos de la longitud L del brazo. En el primer caso, en brazo inferior vertical y superior horizontal es de ±L, mientras que en el segundo caso de brazo inferior horizontal y superior vertical es de ±2L.



La integral doble que permite calcular el volumen del bicilindro es la del inciso b, devolviendo un valor de 1829,33 cm 3.



El tener una maqueta permite comparar de forma más eficaz y gráfica el valor teórico con uno aproximado ya que nos brinda una estimación de la certeza con la cual se realiza la maqueta. Mostrando un de forma más visual lo que realizamos por medio de cálculos matemáticos.

Bibliografía Basanta, I. (2008). Ingridbasanta Blogspot. Obtenido de http://ingridbasanta.blogspot.com/2008/02/fpga-aplicado-un-brazo-mecnico.html Dennis G. Zill, W. S. (2011). Cálculo, Trascendentes Tempranas. México D.F.: McGrawHill. Larson, E. (2006). Cálculo Larson Hostetler Edwards. México D.F.: McGrawHill. Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables, Trascendentes Tempranas. México D.F.: CENGAGE LEARNING....