Pruebas de hipotesis - Lecture notes 1 PDF

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Universidad Católica Andrés Bello Preparaduría Probabilidades y EstadísticasUNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO Urb. Montalbán – La Vega – Apartado 29068 Teléfono: 471-4148 Fax: 471- Caracas, 1021 - Venezuela ___________ Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Informática -----------------------P...

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Universidad Católica Andrés Bello Preparaduría Probabilidades y Estadísticas

UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO Urb. Montalbán – La Vega – Apartado 29068 Teléfono: 471-4148 Fax: 471-3043 Caracas, 1021 - Venezuela

___________ Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Informática -----------------------

PRUEBA DE HIPÓTESIS Debemos destacar que los problemas expuestos en esta sección son sacados de libros, guías, internet o cualquier otra herramienta bibliográfica. 1) (Prof. Rosaura Paladino) Suponga una variable aleatoria X para designar el peso de un pasajero de avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros. Como hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una muestra de 36 pasajeros de la cual se obtiene una media muestral x= 160 lbs. Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una distribución normal con desviación estándar de 30, con un nivel de significancia de 0,05. Se puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 lbs? Datos

n 36 x 160 30 0,05 H0 : 170 H1 :

170 170

Z H0 :

x n

160 170 30 / 36

10 5

H1 : Rechazo Ho si Z < - Z1No rechazo Ho si Z -Z1-

Z1

0 .05

Z 0,95

1,65

-2 < -1,65

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

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Universidad Católica Andrés Bello Preparaduría Probabilidades y Estadísticas

Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 lbs.

2) (Prof. Rosaura Paladino) El vicepresidente a cargo de las ventas de una corporación afirma que los vendedores tienen un promedio no mayor de 15 prospectos de ventas por semana y el desearía aumentar esta cifra. Se seleccionan 36 vendedores al azar para verificar su afirmación y registrar el número de contacto en una semana, seleccionado la forma aleatoria. De los resultados de la muestra se obtuvo una media de 17 prospectos y una varianza de 9. ¿Contradicen los hechos la afirmación del vicepresidente? 0,005 Datos

n

36

x 17 9 0,005 H0 : 15 H1 : 15 15

Z H0 :

17 15

x n

3 / 36

2 0,5

4

H1 : Rechazo Ho si Z < - Z1No rechazo Ho si Z -Z1-

Z1

0 .005

Z 0,995

2,58

4 > -2,58 No Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que los hechos contradicen a las afirmaciones del vicepresidente.

3) Se desea comprobar si la cantidad de dinero que un estudiante gasta en promedio es mayor que 87 Bs, seleccionando una muestra al azar de 49 estudiantes y se encuentra que la media es de 85 Bs, teniendo una desviación típica de 7,25 Bs. Con un coeficiente de confianza de 95%

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

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Datos

n

49

x 85 7,25 1 H0 : H1 :

0,95 87 87 87 Z

H0 :

x

85 87 n

7 ,25 / 49

2 1,036

,93

H1 : Rechazo Ho si Z> Z1 No rechazo Ho si Z

Z1

0 .05

Z 0,95

Z1

1,65

-1,93 < 1,65 No Rechazo H 0 - Esto quiere decir que la cantidad de dinero que gasta el estudiante es menor a 87 Bs.

4) (Prof. Rosaura Paladino) Una operación de montaje en una fabrica requiere de un período de entrenamiento de un mes para que un nuevo empleado alcance la máxima eficiencia. Se sugirió un nuevo método de entrenamiento, se tomaron dos grupos de 9 empleados cada uno; uno se entrenó con el método estándar y el otro con el nuevo y se midió el tiempo en minutos que necesito cada empleado para mostrar el diagnóstico final. Los resultados fueron: Y1 35,22 Y2 31,56

Y1i Y1 ) 2 195,26 Y2 i Y2 ) 2 160,22 Hay suficiente evidencia para indicar una diferencia en los promedios para los tiempos de los métodos. Utilice un nivel de confianza de 95% Datos

Y1

35,22

Y2

31,56

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

4

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S1

2

Y1i Y1 ) 2

2 2

S n1 n2

Y2 i Y2 )

195,26 2

160,22

9 9

1

0,95 0,05

H0 H1 2

n 2 1)S 2 (n 1 1)S 1 n1 n2 2

S2

(n1 1) S2

195,26 ( n1 1)

160,22 (n 2 1)

9 9 2

195, 26 160,22 22,2175 16

S2

S

1 n1

1 4,71 9

n2

S

22,2175

4,71

1 n2

35, 22 31,56

t

Tengo que contrastar con t (n1



(Y1 Y2 )

t

H0 :

n2 1)

2

1,648

1 9

2)

H1 : Rechazo Ho si |t| > t1- /2(n-1) No rechazo Ho si |t| t1- /2(n-1)

t 1

0 .05 2

(9 9 2)

t0,975 (16)

2,120

1,648 < 2,120

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No Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que no hay suficiente evidencia para indicar una diferencia en los promedios para los tiempos reales de los dos métodos.

5) (Prof. José Campos) Hilda Radner es propietaria de una empresa editora en Palo Alto, California. El negocio ha mejorado hace poco e Hilda piensa que los ingresos diarios son superiores a los 500 dólares del año pasado. Una muestra de 256 días revela una media de 520 dólares y una desviación típica de 80,70 dólares. Al nivel de significación del 1%. ¿Tiene razón Hilda? Datos

n

256

x

520 80,7 0,01

H0 : H1 :

500 500 500 Z

H0 :

x n

520 500 80,7 / 256

20 5,04

3,97

H1 : Rechazo Ho si Z> Z 1 No rechazo Ho si Z Z 1

Z1 0.01

Z 0,99

2,33

3,97 > 2,33 Rechazo H 0 - Esto quiere decir que los ingresos son mayores a 500 dólares. Hilda tiene razón.

6) (Prof. José Campos) Un número de 1993 de Datamation decía que la gente tardaba 34 horas de promedio en aprender un nuevo programa informático. ¿Está respaldada esta información al nivel de 10% si 35 personas emplearan una media de 40,58 horas; con una desviación típica de 19,7 horas?

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6

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Datos

n

35

x

40,58 19,7 0,1

H0 : H1 :

34 34 34 Z

H0 :

x

40,58 34 n

H1 : Rechazo Ho si |Z| > Z1- /2 No rechazo Ho si |Z| Z1-

Z1

0 .1

19,7 / 35

6,58 1,98 3,33

Z 0,95

/2

1,65

1,98 > 1,65 Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que la información no está respaldada.

7) (Prof. José Campos) Cuando un proceso de producción funciona correctamente produce frascos de champú con un peso promedio de 200 gr. Una muestra aleatoria de una remesa presentó los siguientes pesos: 214; 197; 197; 206; 208; 201; 197; 203; 209. Asumiendo que la distribución de los datos es normal, pruebe con un nivel de confianza del 95% si el proceso está funcionando correctamente. Datos

n 1

9

H0 : H1 :

0,95 200 200 200 x

214 197 197 206 208 201 197 203 209 1832 9 9

203,56

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

7

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S2

(214 203,56) 2

...

208 203,56)2

S2

300 8

197 203,56) 2 201 203,56)2

37,5  S

37,5

t

H0 :

x S/ n

197 203,56) 2 197 203,56) 2 8

206 203,56) 2 203 203,56) 2

.. 209 203,56) 2

6,12 203,56 200 6,12 / 9

3,56 2,04

1,75

H1 : Rechazo Ho si |t| > t1- /2(n-1) No rechazo Ho si |t| t1- /2(n-1)

t 1

0.05 2

(9 1)

t0,975 (8)

2,306

1,75 < 2,306 No Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que el proceso está funcionando correctamente.

8) (Prof. José Campos) Un informe reciente publicado en la revista Fortune establecía que más del 65% de los titulados universitarios dejan su primer trabajo antes de 2 años. Un estudio realizado por 2 profesores de gestión empresarial de la universidad de Colorado encontró que 352 de 488 recién graduados que fueron entrevistados se mantuvieron en su primer empleo menos de 2 años. Al nivel de 3%, ¿respaldan estos datos el estudio de Fortune? Datos

n

488

x 352 0,03 H0 : 0,65 H1 : P0

0,65 0,65

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

8

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ˆ p

Z

H0 : p

pˆ P0

 ˆp

352 488

0,72

0,72 0,65

P0 (1 P0 ) / n

H1 : p

p0

x n

0,65(1 0,65) / 488

0,07 0,0216

3,24

p0

Rechazo Ho si Z> Z 1 No rechazo Ho si Z Z 1

Z1

Z 0,97

0. 03

1,88

3,24 > 1,88 Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que los datos respaldan el estudio.

9) (Prof. José Campos) Honest John afirma que los propietarios de sus coches usados pueden recorrer una media de 10000 millas como mínimo sin necesidad de ninguna reparación importante. Con objeto de determinar el grado de honestidad de Honest John, se eligen 100 clientes y se halla que recorrieron una media de 9112 millas sin reparaciones, con una desviación típica de 207. Si resulta que los coches usados de John den una media de 10000 millas como mínimo sin averías, usted está dispuesto a comprarle su próximo coche. Si quiere estar seguro al 99% de que Honest John no miente, ¿cómo podría contrastar su afirmación? Datos

n

100

x 9112 207 1 H0 : H1 :

0,99 10000 10000 10000

Z

H0 :

x n

9112 10000 207 / 100

888 20,7

2,9

H1 :

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9

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Rechazo Ho si Z> Z 1 No rechazo Ho si Z Z 1

Z1 0.01

2,33

Z 0,99

-42,9 < 2,33 No Rechazo H 0 -

Esto quiere decir que los coches duran menos de 10000 millas, no se le compra el coche.

10) (Prof. José Campos) De una muestra de 361 propietarios de pequeños comercios que quebraron en un período determinado, 105 no tuvieron asesoramiento profesional antes de abrir el negocio. Por experiencia se sabe que lo que ha venido ocurriendo es que a lo sumo el 25% de los comercios que no reciben asesoramiento quiebran. Analice si estos resultados prueban que ha habido un aumento en el porcentaje de quiebras. Utilice un nivel del 90%. Datos

n

361

x 1

105 0,9 0,1

H0 :

0,25

H1 :

0,25

P0

0,25

ˆ p

Z

H0 : p

p0

pˆ

x n

P0

P0 (1 P0 ) / n

H1 : p

 ˆp

105 361

0,29

0,29 0,25 0,25(1 0,25) / 361

0,04 1,75 0 ,0228

p0

Rechazo Ho si Z < -Z1No rechazo Ho si Z -Z1-

Z1

0 .1

Z 0,9

1,29

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras

10

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1,75 > -1,29 No Rechazo H 0 - Esto quiere decir que más del 25% de los comercios tuvieron asesoramiento profesional.

Preparador: Eduardo Lakatos Contreras...