Przestrzenie unitarne, unormowane, metryczne, ćw. 25,26,27,28,29,30 PDF

Preview

Summary

Download Przestrzenie unitarne, unormowane, metryczne, ćw. 25,26,27,28,29,30 PDF

Description

Przestrzenie unitarne, unormowane, metryczne (10 godz. lek.) Lista proponowanych zadań do wykonania na ćwiczeniach Ćwiczenie 25. zadania: 1, 2, 3a), 4a), 5. Ćwiczenie 26. zadania: 6a), 7, 8, 9, 10, 11, 12a). 1. W zadanej przestrzeni unitarnej a) b) c) d)

(X , ∘ ) , wyznacz iloczyn skalarny wskazanych elementów

X =ℝ , a=(-1,2,-3), b=(4,-5,6); X =C([ 0,2 π ] , ℝ ) , f (t)=t 2 , g (t )=1 ; X =C([ 0,2 π ] , ℝ ) , f (t)=sin t , g (t )=t ; X =C([− π , π ] , ℝ ) , f (t)=| t |, g(t )=t . 3

2. W zadanej przestrzeni unitarnej

(X , ∘ ) , wyznacz normę wskazanego elementu

3

a) X =ℝ , a=(4,-5,6); b) X =C([ 0,2 π ] , ℝ ) , f (t)=t 2 ; 1 c) X =C([ 0,2 π ] , ℝ ) , f (t)= t −π ; 2 d) X =C([− π , π ] , ℝ ) , f (t)=| t | . 3. W zadanej przestrzeni unitarnej

Odp: -32. Odp: 83/3; Odp: -2; Odp: 0.

Odp: √ 77 ; Odp: 325/5; Odp: 23/3; Odp: 23/3.

(E 3 , ∘ )

a) niech wektory u i v o długościach ∣u∣=1 i ∣v∣=2 tworzą kąt o mierze  =120o. Oblicz a =2u−v ; b=2 u +3v ) . cosinus kąta  między wektorami 

21 . Odp: cos β = −√ 7 b) niech wektory u i v o długościach ∣u∣= √ 3 i ∣v∣=2 tworzą kąt o mierze  =150o. Oblicz cosinus kąta  między wektorami  a =u +2 v ; b=2 u−v ) . Odp: cos β = 4. W zadanej przestrzeni unitarnej wiedząc, że

-11 . 2 √ 35

(E 3 , ∘ ) , oblicz miarę kąta  między wektorami u i v ,

a) ∣u∣= √ 2 i ∣v∣=3 oraz ( u  + v ) o (3 u + v )=3 ;

Odp: α =

3π ; 4

b) ∣u∣=∣v∣=2 oraz, że wektory 2 u + v i 4 u −5 v są prostopadłe; 1 Odp: α = π . 3 (E 3 , ∘ ) , oblicz normę iloczynu wektorowego u ×v wiedząc,

5. W zadanej przestrzeni unitarnej

że: 0

u∣=2 ; ∣v∣=3 ; |(u ;v )|=150 ; a) ∣

Odp: ∣u ×v∣=3 .

b) ∣u∣= √ 3 ; ∣v∣=2 ; u ∘ v =−3 ;

Odp: ∣u ×v∣= √ 3 .

6. W zadanej przestrzeni unitarnej a) równoległobok

(E 3 , ∘ )

D rozpięty na wektorach u i v ma pole area ( D)=10 [ j 2 ] . Oblicz pole

równoległoboku G rozpiętego na wektorach 3 u + v i u −2 v . Odp: area(G )=70[ j 2 ] . b) dane są wektory u i v o długościach ∣u∣=2 i ∣v∣=3 , tworzące kąt o mierze α =120 ° . Znajdź pole równoległoboku

G rozpiętego na wektorach u −2 v i 3 u + 2  v. Odp: area(G )=24[ j 2 ] .

7. W zadanej przestrzeni unitarnej (E 3 , ∘ ) dane są punkty A=(m , m−1,2) , B=(3,−1, m−3) , AB i  AC prostopadłe. C=( m−1,2 ,1) . Dla jakich wartości m ∈ℝ wektory  Odp: m=1∨m=2 . 8. W zadanej przestrzeni unitarnej (E 3 , ∘ ) , znajdź wartości parametrów a , b∈ ℝ , dla których wektor u =[ 1 /√ 3 , a , b] jest wersorem prostopadłym do wektora v = [ 1,1,1] . Odp: (a 1=

9. W zadanej przestrzeni unitarnej b= [ 4,1 ,5] .

−1− √ 3 −1+ √ 3 −1+ √3 −1− √ 3 ) . ∧b1 = )∨( a 2= ∧b 2 = 2 √3 2 √3 2 √3 2 √3

a =[ 2,1 ,−3] na wektor (E 3 , ∘ ) , znajdź rzut wektora 

[

]

4 1 5 a b = − ,− ,− . Odp:  7 7 7 3 AB ;  10. W zadanej przestrzeni unitarnej (E , ∘ ) , oblicz area S Δ ( AC ) o wierzchołkach A=( 0,0 ,2 ) , B=( 2,1 ,1 ) , C=(− 1,1 ,0 ) oraz wysokość h c . 1 210 AC )= √ 35 ; h c= √ AB ;  Odp: S Δ (  . 6 2 3 11. W zadanej przestrzeni unitarnej (E , ∘ ) , znajdź wektor n prostopadły do płaszczyzny trójkąta o wierzchołkach A=( 1,2,3 ) , B=( 4,3 ,2 ) , C=( 2,2 ,4 ) oraz obliczyć jego pole. 3 AB ;  AC )= √ 2 . Odp: n =[ 1,−4,−1 ] i S Δ (  2 3 12. W zadanej przestrzeni unitarnej (E , ∘ ) , oblicz objętość oraz wysokość h D czworościanu o wierzchołkach a) A=( 2,0 ,1 ) , B=( 1,3,2 ) , C=(− 1,2 ,0 ) , D=( 2,3 ,8 ) . AB ;  AC ;  AD )= 37 ; h D =37 √ 10 . Odp: V cz (  6 30 b) A=(2,1 ,−1) , B=( 0,1 ,3 ) , C=(− 2,3,1 ) i D=( 0,3 ,2 ) . 20 5 14  AB ;  AC ; A D )= ; hD= √ . Odp: V cz (  3 7

Lista proponowanych zadań do wykonania na ćwiczeniach, c.d. Ćwiczenie 27. zadania: 13, 14, 15, 16, 17a), 18, 19a), 20. Ćwiczenie 28. zadania: kolokwium IV. ( 10pkt ). Ćwiczenie 29. zadania: 21a), 22a), 23, 24a), 25, 26, 27. Ćwiczenie 30. zadania: 28, 29a), 29b) 30, 31a), 31b), 32, 33. W zadanej przestrzeni unitarnej

(E 3 , ∘ )

13. Znajdź postać parametryczną i równanie ogólne płaszczyzny H, gdy płaszczyzna ta przechodzi przez punkty A  (1,2,4) , B  (2,1,3) , C  (3, 1,5) . Odp:  x1  x10  u1t  v1 s  x1   1  3t  4s   w1( x1  x10)  w2 ( x2  x20 )  w3( x3  x30)  0 x 2  x 20  u 2t  v 2s  x 2  2  t  3s  x  x u t v s  x  4 t s 4 x1  7 x2  5 x3 30  0. 30 3 3   3 H:  3 ; H: . 14. Znajdź równanie płaszczyzny , przechodzącej przez punkty A  (1, 2,1) i B  ( 1,1,3) oraz prostopadłej do płaszczyzny H : 2x1  x2  x3  1  0 . Odp:  : 5 x1  2 x2  8 x3  17  0 . 15. Znajdź postać parametryczną, kierunkową i krawędziową prostej L, przechodzącej przez punkty A  (2, 1,1) i B  ( 1,1,3). Odp: x1  x10 x2  x20 x 3  x 30    x1  x10  u1 t  x1  2  3t u u u3    1 2 L : x 2 x 20  u 2t  2x  3x2  1 0 x 2  1  2t L : x1  2 x2  1 x3  1 L: 1   x  x  u t  x 1  2t x x  2 0 30 3   3  3 2 2 3 ; ;  2 3 . 16. Znajdź prostą L, przechodzącą przez punkt A  (2,3,1) i prostopadłą do płaszczyzny x1  2 x2  3 x3 1 H : 3x 1  3x 2  2x 3  1  0 . Odp: L : 3  3  2 .  17. Znajdź równanie płaszczyzny H, przechodzącej przez punkt x  3 x2 x3  2   . a) A  (3, 2,1) i prostopadłej do prostej L : 1 2 1 1 Odp: H : 2x1  x2  x3  5  0 .  x1  2x2 1  0 . b) A  (1, 4, 2) i prostopadłej do prostej L :   2 x1  x3  3  0 Odp: H : 2 x1  x2  4 x3  2  0. 18. Znajdź równanie płaszczyzny H, przechodzącej przez punkty A  (2,1,3) i B  (1,4, 2) oraz Odp: H : 13x 1  x 2  8x 3  1  0. równoległej do wektora u  [3,1,5].

19. Znajdź prostą K, przechodzącą przez punkt  x1  2 x2  x3  1  0 a) A  (1,2, 1) i równoległą do prostej L :  . 2 x 1  x 2  x 3  2  0 x1  1 x2  2 x  1 . Odp: K : 1  3 = 3 5 2 x1  x2  x3 1  0 . b) A  (0,1,1) i równoległą do prostej L :   x1  x2  x3  2  0 x 1 x 2  1 x 3 1 .  Odp: K : 2  1 3 20. Znajdź równanie płaszczyzny H, przechodzącej przez punkt x  1 x 2  3 x3  1   a) A  (1,2, 3) i prostą L : 1 . Odp: H : 7x 1  2x 2  4x 3  9  0 . 2 1 3  2 x1  x2  x3  3  0 . Odp: H : 39 x1  6 x2  23 x3  33  0. b) A  (2,7, 3) i prostą L :      x1 x2 2 x3 0 21. Wykaż, że proste L1 i L2 przecinają się. Znajdź r-nie płaszczyzny H zawierającej te proste.  x1  3x3  4  0 x  3 x 2  1 x 3 1   a) L1 : 1 ; L2 :  . Odp: A  (1,3,1); 1 2 1  x2  x3  2  0

H : x1  2 x2  5 x3  0 .  x  x  2 0 x  2 x2  4 x3  2 L1 :  1 3   L2 : 1    x 2 x 1 0  2 3 3 1 1 . b) ;

Odp:

A  ( 1,3,1);

H : x1  2 x2  5 x3  0. 22. Wykaż, że proste L1 i L2 są równoległe. Znajdź r-nie płaszczyzny H zawierającej te proste. x1  2x2  x3  2  0 x 1 x  2 x 3  2 a) L1 :  i L2 : 1  2 . Odp: H : 3 x1  9 x 2  2 x3  19  0.  2 x x x 1 0     1 1 3   3  1 2 x1  2 x2  3 x3  x1  x 2  2x 3  2  0  . b) L1 :  i L2 : 1  1 1  2x 1  x 2  3x 3  3  0

Odp: H : 4 x1  x2  5 x3  5  0.

23. Znajdź równanie płaszczyzny H zawierającej prostą L1 :  2x1  x2  x3  3  0 do prostej L2 :  .  x1  2x2  x3  5  0

x1  1 x2  3 x3  2 i równoległej   1 3 2

Odp: H : 13 x1 14 x2 11x3  51  0 .

24. Znajdź równanie rzutu prostopadłego K prostej L na płaszczyznę H , gdy x1 x2  2 x3 1   i H : x1  2 x 2  3x 3  4  0 . 1 1 1 x1  1 x2 x3   b) L : i H : x1  2 x2  3 x3  6  0 . 2 1 1 a) L :

 x1  2 x2  3x3  4  0 Odp: K : 5x  4x  x  9  0 .  1 2 3 x 1  2 x 2  3 x 3  6  0 Odp: K :  . 4x1  x 2  2x 3  4  0

x1  1 x2 x3   2 1 1 . ' Odp: A  (3, 1,1) .

25. Znajdź rzut prostopadły A’ punktu A  (1,2,8) na prostą L :

26. Znajdź rzut prostopadły A’ punktu A  (1,2, 1) na prostą przechodzącą przez punkty B  (0,1,1) i C  (1,2,3) . Odp: A' ( 1 3, 2 3,1 3). 27. Znaleźć punkt symetryczny do punktu A  (5,1,1) względem płaszczyzny H : 3x1  2x2  x3  0. Odp: A '  (1,5,1) . 28. Znajdź punkt symetryczny A’ do punktu A  (2,7,10) względem płaszczyzny przechodzącej przez punkt P  (3,2,2) i prostopadłej do wektora w  [1, 3,2] . Odp: A'  ( 4,11, 2) . 29. Oblicz odległość a) punktu A  (2, 1,3) od płaszczyzny H : 3x 1  4x 2  5x 3  6  0 ; Odp:

d ( A; H ) 

d ( A; H ) 

w  PA w

; (P H )  (w  H ) ;

3 3 ; 2

b) punktu A  (3,1,2) od płaszczyzny H, przechodzącej przez punkty B  (4, 1,2) , C  (3,0,1) , D  (1,0,3) ;

Odp: d( A; H) 

(u v )  PA u v

; (P  H )  (u // H )  (v // H ) ;

6 2 ; A ( 5 , 1 , 1 )   od płaszczyzny H : x  2 x  2 x  4  0 ; c) punktu 1 2 3 Odp: d ( A; H )  3 ; d( A; H) 

 x1  1  3t  2s  d) punktu A  (4,3,0) od płaszczyzny H :  x2  3  4 t  3 s dla t , s  R ;  x  2t  s  3 Odp: d ( A; H )  6  x1  x2  x3  0 30. Oblicz odległość punktu A  (3, 4,5) od prostej L :  . x1  x 2  x 3  2  0

Odp:

d ( A; L) 

u  PA u

d ( A; L ) 

3 22 . 2

; ( P  L)  (u // L) ;

31. Oblicz odległość między prostymi x 1  2x 2  3x 3  6  0  x  2 x2  x3  1  0 i L2 :  ; a) L1 :  1 x1  x2  0 2 x1  x2  3 x3  3  0 

Odp: d( L1; L2) 

d ( L1 ; L2 ) 

b) L1 :

u

; ( A  L1)  ( B  L2)  ( u // L1 // L2 ) ;

42 3 ;

x1  1 x2 x 1  x1  x 2  x 3  3  0   3 i L2 :  ; 1 1 1  2x1  2x 2  x 3  4  0 Odp: d ( L1; L2 )  d ( L1 ; L2 ) 

 x1  x 2  1  0  x1  x2  x3  0 c) L1 :  i L2 :  ;  x1  x 3  1  0  x2  x3 1  0  x1  x2  x3  0 2 x1  x2  2 x3  0 i L2 :  ; d) L1 :      x1 x 3 1 0  x1  x2  x3  3

e) L1 :

u  AB

x1  9 x 2  2 x3 3x  2 x2 14  0   i L2 :  1 . 4 1 3  x1  x3  2  0

(u v )  AB  ( A  L )  (u // L ) 1 1 ; ;  (B  L2 )  (v // L2 ) u v 10 14 ; Odp: d (L1 ; L2 )  2 ; Odp: d ( L1 ; L2 )  1 ; Odp: d ( L1 ; L2 )  7 .

 x1  x 2  x 3  2  0 znajdź punkt C równoodległy od punktów A  (1, 1,2) 32. Na prostej L :   2x 1  x 2  x 3  1  0 i B  (3,1,2) . Odp: C  (1,1,2) . x 1 x 2 x 3  1   znajdź punkt C równoodległy od płaszczyzn 33. Na prostej L : 1 2 1 1 H 1 : 3 x1  x2  2 x3  6  0 i H 2 : 2x 1  3x 2  x 3  2  0 . Odp: C  (2,2,2) ....