Quinta Lista - Trigonometria PDF

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Exercícios sobe Trigonometria, definição, propriedades...

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Quinta Lista - Trigonometria Professores: Jefferson A. R. da Cunha, Luiz G. R. Genovese e Osni Silva

Introdução O termo trigonometria tem origem no grego trigono → triângulo e métron→medida. No estudo da trigonometria temos como objetivo principal a resolução de triângulos, no sentido de determinar seus três lados e três ângulos. As primeiras relações trigonométricas já eram conhecidas pelos egípcios e babilônicos em 1600 A.C. Na antiguidade, muitos avanços na trigonometria se devem principalmente as aplicações em astronomia: •

Aristarco (310-230 A.C.), desenvolveu um consistente método para estimar o raio da lua e do sol bem como de suas distâncias relativas a terra.

•

Eratóstenes (276-194 A.C.) calculou uma das mais famosas estimativas para o perímetro da circunferência da terra e seu raio. Para isso, comparou posições relativas de sombras exatamente ao meio dia do solstício de verão em duas cidades: Siene e Alexandria. Assim, obteve que o ângulo α da figura abaixo era cerca de 1/50 do círculo.

Sabendo que a distância entre as duas cidades era cerca de 925 Km, estimou que o perímetro da Terra seria de cerca de 925×50 = 46.250 km, sendo que o valor correto é de 40.075 km. Medida de ângulos e arcos •

Sistema sexagesimal (unidade graus)

Definição: O ângulo de 1 grau denotado por 1◦ é a

parte do ângulo reto 90◦. O grau admite dois

submúltiplos: ◦ Minuto denotado por 0 e é definido como 10=1/60 do grau; ◦ Segundo denotado por 00 e é definido como 100=1/60 do minuto = 1/3600 do grau •

Sistema circular (unidade radiano)

Definimos um ângulo em radianos (rad) por meio de um círculo, seu arco de circunferência e seu raio. Como observado na figura abaixo, considerando AB = l e OB = R, o ângulo α em radianos é definido como:

Quando R = l, teremos 1 rad. Definido assim, α não tem dimensão: rad = metrometro ((mm)) Conversão entre graus e radianos Sabendo que uma circunferência tem um comprimento l = 2πR podemos relacionar este valor com a volta completa de 360◦ desta circunferência:

. Assim existe a equivalência de 360◦ ↔ 2π

rad ou (÷2) 180◦ ↔ π rad e também (÷2) 90◦ ↔ π/2 rad Funções Trigonométricas do triângulo retângulo Para o triângulo retângulo da figura abaixo podemos definir as seguintes funções trigonométricas:

Sendo a notação acima escrita como: seno→sen; cosseno→cos; tangente→tg; secante→sec; cossecante→cossec; cotangente→cotg

Atividades Construa um ciclo trigonométrico colocando os ângulos principais em pares de graus e radianos

1.

como exemplificado a seguir, para os quatro quadrantes: (0◦ ,0rad), (30◦ , π/6 rad), (45◦ , π/4 rad ), (60◦ , π/3 rad) e (90◦ , π/2 rad). Exprima em radianos:

2.

(a) 210◦

(b) 240◦

(c) 270◦

R: 7π/6 (b) 4π/3 (c) 3π/2 Exprima em graus:

3.

(a) (π/6)rad (b) (π/4)rad

(c) (π/3)rad

R: (a) 30 ◦ (b) 45◦ (c) 60◦ Exprimir 30◦ 150 para radianos. (Considere π = 3,14) R:

4.

0,53rad 5.

Transformar 12◦ em radianos. R: 0,209rad

6.

Achar três ângulos, em graus, sabendo que a soma do primeiro com o segundo é 12◦ , a do segundo com o terceiro é 9◦ e a soma do primeiro com o terceiro é π/36rad. R: 4◦ ; 8◦ ; 1◦

7.

Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rd? R: 6◦

8.

Converter 2/π em graus. (Considere π=3,14). R: 36◦ 310

9.

Encontre o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2h 15min. R: 22◦ 300

10.

Encontre o menor ângulo formado pelos ponteiros de um minutos. R: 12,56 cm relógio às 9h 10min. R: 145◦

12. A que horas, da noite, os ponteiros de um relógio coincidem 11.

O ponteiro dos minutos mede 10cm. Determine o com- entre os números 8 e 9 do mostrador? R: 20h 43min 37 , 2 primento do arco quando a sua extremidade descreve 12 segundos...