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REDES DE TUBERÍAS Solución por el MÉTODO DE HARDY-CROSS ¿Qué son las redes de distribución? Pueden ser redes de distribución de agua potable en un municipio, o redes de gas doméstico, o redes de distribución de agua en comunidades pequeñas o en una empresa localizada dentro de grandes construcciones...

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REDES DE TUBERÍAS Solución por el MÉTODO DE HARDY-CROSS Pablo GN

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REDES DE TUBERÍAS

Solución por el

MÉTODO DE HARDY-CROSS

¿Qué son las redes de distribución? Pueden ser redes de distribución de agua potable en un municipio, o redes de gas doméstico, o redes de distribución de agua en comunidades pequeñas o en una empresa localizada dentro de grandes construcciones, etc.; sin embargo, todas las redes de tuberías de aguas urbanas forman ramificaciones complicadas que se cierran y forman mallas de manera que el El cálculo de las redes es agua en un punto puede llegar laborioso y se hace por el por dos direcciones distintas, con método de la ventaja que el servicio no se aproximaciones sucesivas interrumpe, aun cuando haya (tanteo) diseñado por operaciones de mantenimiento Hardy Cross. preventivo y correctivo.

Método de Hardy-Cross y leyes de redes 1.- Ley de la pérdida de carga. En cada tubería se cumple la ecuación de Darcy-Weisbach:

ℎ𝐿 =

𝐿 𝑣2 𝑓 𝐷 2𝑔

Nos vamos a apoyar en la ecuación de continuidad: 𝑄 y 𝐴 16𝑄2 ; 𝜋𝐷4

𝑄 = 𝑣𝑎 ; de aquí despejamos 𝑣: 𝑣 =

𝑣2

=

𝑄2 𝐴2

=

elevamos 𝑣 al cuadrado:

Sustituímos 𝑣 2 en la ecuación de Darcy-Weisbach por su equivalencia en la ecn. de continuidad:

ℎ𝐿 =

𝐿 16𝑄2 𝑓 𝐷 (𝜋2 𝐷4 )(2𝑔)

=

𝐿 8𝑄2 𝑓 5 2 𝐷 𝜋 𝑔

= 𝛽𝑄2 ,

Tenemos entonces que ℎ𝐿 = 𝛽𝑄2 , donde 𝛽 = 𝑓

𝛽 se considera constante en todo el cálculo.

𝐿 8 𝐷5 𝜋2 𝑔

Método de Hardy-Cross y leyes de redes En realidad, 𝛽 depende de

𝐿 𝑓 , 𝐷

y a su vez 𝑓

depende de 𝑅𝑒 y de la rugosidad relativa

𝜖 . 𝐷

En los problemas de redes de tuberías se suelen despreciar las pérdidas secundarias en los nodos, pero se tienen en cuenta las pérdidas que se pueden obtener por los métodos conocidos, como el de la longitud equivalente Le. En el cálculo de redes de tuberías o de agua a las temperaturas normales, también se puede emplear la fórmula de Hazen-Williams.

Método de Hardy-Cross y leyes de redes 2.- Ley de nodos. El caudal que entra en un nodo (o nudo) debe ser igual a la suma de caudales que salen de ese mismo nodo. 𝑄=0

Si esta ley no se llega a cumplir, habría un consumo o pérdida de fluido, o un suministro. 3.- Ley de mallas. La suma algebraica de las pérdidas de carga en una malla es igual a cero: ℎ𝐿 = 0

Si esta ley no se cumpliera en el punto de partida utilizado para recorrer la malla, significa que habría dos presiones distintas.

Resumen del Método de Hardy-Cross Resumen del método de Hardy Cross. Sobre un croquis de la red se hace una distribución razonable de caudales (supuestos por quien realiza el cálculo) dibujando con flechas los sentidos estimados. Importa también anotar una numeración arábiga consecutiva en los nodos y números romanos en las mallas que componen la red. Algunas mallas comparten una tubería, tal como puede verse en el ramal 25 que es común a las mallas I y II de la figura que se muestra en la siguiente diapositiva.

Resumen del Método de Hardy-Cross Red mostrando nodos (números arábigos) y mallas (números romanos)

Resumen del Método de Hardy-Cross Se escribe la 1ª ley para el primer ramal: 2 ℎ𝐿(12) = 𝛽12 𝑄12 , donde

• ℎ𝐿(12) es la pérdida de carga en la tubería 1-2, en una primera aproximación; • 𝛽12 será constante para el primer ramal en todo el cálculo; • 𝑄12 es el gasto en la tubería 1-2 como primera aproximación (valor supuesto por quien realiza el cálculo). Se hace lo mismo con las restantes tuberías. Se escribe la suma de las pérdidas de carga para cada malla. En el caso de los ramales 1-2, 2-5, 5-6 y 6-1 de la malla I se escribe en la forma ℎ𝐿 =

𝛽𝑄 2

Resumen del Método de Hardy-Cross Se escoge para cada gasto Q de los ramales que forman una malla, un sentido como positivo, por ejemplo, el de las manecillas del reloj:

Resumen del Método de Hardy-Cross A las pérdidas correspondientes a los caudales que tienen el sentido de las manecillas del reloj, se les restarán las pérdidas correspondientes a los caudales cuyo sentido sea el contrario. Normalmente en esta primera aproximación la 3ª ley no se logra cumplir, por lo que se deben realizar ajustes a los cálculos, repitiéndolos como se indica a continuación. Se corrige el caudal de todas las tuberías dando un incremento de gasto DQ a cada valor de Q estimado inicialmente.

Resumen del Método de Hardy-Cross El incremento DQ es un valor que se obtiene para cada malla, por lo que entre una malla y otra, este DQ es diferente; de esta manera, se tiene que Q12 es el primer gasto (estimado) y ′ 𝑄12 será el primer valor corregido, al que le seguirán los de las demás ramas o tuberías de la malla, y se hará lo mismo en cada malla que sea parte de la red, con su correspondiente valor de DQ. Este incremento DQ se aplica para hacer que se cumpla la 3ª ley; así por ejemplo, en el primer ramal se tendrá que ′ 𝑄12 = 𝑄12 + D𝑄

′ 𝑄12 es el caudal de la 1ª tubería en su segunda aproximación (la primera aproximación fue el valor 𝑄12 que estimamos), por lo tanto, para cada tubería se obtendrá una segunda aproximación ℎ𝐿′ .

Resumen del Método de Hardy-Cross Como la ecuación se aplicará a todas las ramas de la malla, entonces se tiene en forma general como sigue: 𝑄 ′ = 𝑄 + 𝑄 donde

𝑄 ′ representa el caudal de cada tubería en su segunda aproximación (la primera aproximación fue el valor 𝑄 que estimamos); ahora, la segunda aproximación de las pérdidas de carga ℎ𝐿′ en se obtiene de: 2

′ ℎ𝐿′ 12 = 𝛽12 𝑄12 = 𝛽12 𝑄12 + ∆𝑄

2

2 = 𝛽12 𝑄12 + 2𝑄∆𝑄 + ∆𝑄2

Resumen del Método de Hardy-Cross Tomando en consideración que ∆𝑄 son incrementos de valores muy pequeños, podemos aplicar el criterio de que ∆𝑄 2 se desprecia, es decir, que ∆𝑄 2 ≅ 0

Ahora, ya que la 3ª ley indica que ℎ𝐿 = 0 tenemos: 2

ℎ𝐿′ = 𝜷𝑄 ′ = 𝜷𝑄 2 + 2∆𝑄𝜷𝑄 = 0

De la ecuación anterior tenemos que

𝜷𝑄 2 = −2∆𝑄𝜷𝑄;

Resumen del Método de Hardy-Cross 2

Tenemos entonces la ecuación ℎ𝐿′ = 𝜷𝑄 ′ = 𝜷𝑄 2 + 2∆𝑄𝜷𝑄 = 0 A partir de la ecuación anterior tenemos que 𝜷𝑄2 Despejando ∆𝑄 tenemos: ∆𝑄 = −

Sabemos que

2 𝜷𝑄

𝜷𝑄 2 = −2∆𝑄𝜷𝑄;

ℎ𝐿 = 𝜷𝑄 2 = 𝜷. 𝑸. 𝑸 por lo que

Sustituyendo 𝛽𝑄 por para cálculo de ∆𝑄:

𝒉𝒍 𝑸

𝒉𝒍 𝑸

= 𝜷𝑸;

tendremos una nueva presentación de la ecuación ℎ𝐿 ∆𝑄 = − ℎ 2 𝐿 𝑄

En las dos presentaciones de la ecuación, el numerador ℎ𝐿 es una suma algebraica y el denominador una suma aritmética....