Regla de Simpson 3-8 (Implementacion Estructurada) PDF

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Explicacion del metodo de Simpson 3/8...

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Universidad Autónoma de Baja California

Programación y Métodos Numéricos Regla de Simpson 3/8 (Implementación Estructurada) Docente: Serrano Zepeda Rogelio Integrantes:

Grupo: 529

Cordero Sandoval Megan Deniz Pérez Diego Hernández Romero José Ángel Muñoz Rodríguez Edward Noe Tijuana B.C

27/05/2020

Índice

Temas

Págs.

Introducción

3

Marco Teórico

4

Explicación (Método Numérico)

5-7

Desarrollo (Método Numérico)

8 - 11

Ejercicios

12

Conclusiones

13

Reflexiones Personales Referencias Bibliográficas

14 - 15 16

2

Introducción

Muy recurrente se suelen encontrar problemas en los que se deben integrar funciones que están definidas en forma tabular o en forma gráfica, y no como funciones tal cuales, para ello se utilizan los métodos numéricos, ya que son más efectivos, rápidos y precisos, al integrar estamos buscando una aproximación al área bajo la curva. Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son los procedimientos más comunes de integración numérica, se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar, estas son: - La regla de integración Trapezoidal. - La regla de Simpson. Estas reglas están diseñadas para casos en los que los datos a integrarse están espaciados de manera uniforme. En esta ocasión nuestro equipo desarrollará y dará una explicación e información del método de Simpson ⅜ ya que existe otro el cual es el método de Simpson ⅓ estos métodos proporcionan resultados similares, aunque la función corresponda a un polinomio de grado superior a tres; estas dos expresiones son las que producen menores errores en la estimación de la integral, pero hay que tomar en cuenta que tienen restricciones en su aplicación. También se puede calcular el valor de la integral combinando las dos expresiones anteriores, utilizándose por tramos, en que sean aplicables.

3

Marco Teórico La idea de usar la formula h A= ( y 0 +4 y 1+ y 2) 3 Para aproximar el área bajo una curva se conoce como regla de Simpson. Pero esta regla se usa desde mucho tiempo antes de que Thomas Simpson (1720-1761) naciera. Es otro de los simpáticos vuelcos de la historia que uno de los matemáticos mas capaces de la Inglaterra del siglo XVIII sea recordado no por sus éxitos textos ni por sus contribuciones al análisis matemático, sino por una regla que nunca fue suya, que nunca reclamo como tal y que lleva su nombre solo porque la menciono en un libro que escribió. [ CITATION 2 \l 2058 ] La fórmula fue utilizada por primera vez por Evangelista Torricelli, pero debe su nombre al matemático Inglés Thomas Simpson. Corresponde a la regla del tonel que Johannes Kepler ya había formulado en 1615. Sobre la historia de su surgimiento, Kepler informa en la dedicatoria de su publicación posterior: Después de que la primera esposa de Kepler había muerto en Praga en 1611, Kepler se casó nuevamente. Para la boda compró algunos toneles de vino. Puesto ya el vino en la bodega, el vendedor concurrió con una vara de medir y determinó el contenido para todos los barriles sin pensar o calcular, utilizando un mismo método, consistente en que introducía la punta de metal de la vara de medir a través de la piquera , en diagonal hacia los bordes de ambos fondos y la marca en la piquera arrojaba la medida del volumen del contenido. Kepler se sorprendió con aquello de que una diagonal a través del medio del barril pudiera dar una medida sobre el volumen contenido y puso en duda la exactitud de este método, debido a que, por ejemplo, un barril muy bajo que tuviera una base algo más ancha y por eso un volumen contenido mucho menor podría tener el mismo radio a la vista. [ CITATION 1 \l 2058 ]

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Explicación Además de la regla del trapecio, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral es utilizar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, se pueden conectar con un polinomio de tercer orden los puntos f(a), f(b) y el punto medio entre ellos. A las fórmulas que resultan de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama

reglas

de

Simpson.

Con la regla de Simpson es posible obtener una aproximación más precisa del área bajo una curva ya que se conectan grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva mediante parábolas de segundo grado, y al sumar las áreas bajo las parábolas se obtiene el área aproximada bajo la curva.[ CITATION 3 \l 2058 ] Esta regla a diferencia de la regla del trapecio, donde a mayor número de subdivisiones se obtiene una mejor aproximación, lo que hace es ajustar una curva de orden superior en lugar de la línea recta como sucede con la regla del trapecio.[ CITATION 3 \l 2058 ] De la misma manera como se hizo en la regla de trapecio, la regla de Simpson se puede ampliar si se subdivide el intervalo [a, b] en n subintervalos, todos de la misma longitud

h=

b−a . Cuando el número de subdivisiones que se haga sea igual a tres, n

entonces el método recibe el nombre de la Regla de Simpson 3/8. Se le da ese nombre debido al factor

3 h 8

Suponga que se tiene siguientes datos:

que aparece en la fórmula.[ CITATION 3 \l 2058 ] la función f(x) y los a

xm

f (a)

f (x m)

xn f (x n)

b

f (b)

5

Donde xm, xn son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo [a, b]. Para calcular el área bajo la curva aplicando la regla de Simpson 3/8 se utiliza la siguiente fórmula: b

∫ f ( x ) dx ≈ 83 h [ f ( a )+3 f ( x m ) +3 f ( x n ) + f ( b ) ] , con h= b−a 3 a

Es importante señalar que para la regla de Simpson 3/8 compuesta, el número de subintervalos solo puede ser un múltiplo de 3, en caso contrario no es posible aplicar la regla. El error estimado viene dado por la fórmula: 5

E x=

−3 h ( 4 ) f (ξ) 80

Algoritmo de Método Numérico

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Imagen 1.1

6

Diagrama de Flujo de Método Numérico

#include

#include

double a, b, x1, x2, fx1, fx2, h, fa, fb, w;

cout b;

h = (b - a)/3; x1 = h + a; x2 = a + (2*h); fa = exp(a) * log(a); fx1 = exp(x1) * log(x1); fx2 = exp(x2) * log(x2); fb = exp(b) * log(b); w = ((3.0 * h)/8) * ((fa) + (3.0 * fx1) + (3.0 * fx2) + (fb));

cout...