Reglas aditivas y multiplicativas PDF

Title Reglas aditivas y multiplicativas
Course Estadística I
Institution Universidad Siglo 21
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Reglas aditivas y multiplicativas...


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Reglas aditivas y multiplicativas

Herramientas Matemáticas III Estadística I

Representación gráfica. Diagramas de Venn Se pueden representar las probabilidades a través de diagramas que permiten visualizar y apreciar las características que adquieren los diferentes casos y alternativas. Estos diagramas son los llamados Diagramas de Venn En ellos se pueden ubicar los eventos y el espacio muestral a través de figuras geométricas simples. El espacio conformado por todos los puntos muestrales se denomina espacio muestral. Y el diagrama de Venn es una forma distinta y a veces más clara de representar un espacio muestral por ejemplo, a través de un rectángulo. Estos diagramas permiten representar graficamente los distintos eventos como uniones o intersecciones de círculos o elipses, y es un medio muy adecuado para visualizar las relaciones entre conjuntos. A modo de ilustración, en la figura se muestra un conjunto universo U, dentro del cual se ubica otro conjunto A, representado por un área eliptica. Figura 1: Conjunto A dentro del conjunto Universo

U

A

Fuente: Elaboración propia

La figura siguiente muestra al conjunto A y a su complemento, Ᾱ.

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Figura 2: Conjunto y su complemento



Fuente: Elaboración propia

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los elementos del conjunto A son elementos del conjunto B, y todos los elementos del conjunto B son elementos del conjunto A. Expresamos esto con símbolos: A = B sii A ⊂ B y B ⊃ A. La unión entre dos conjuntos A y B se representa como A ∪ B, y es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Figura 3: Unión de conjuntos

Fuente: Matematicas aplicadas para la administración, economia y ciencias sociales, 4ta Edic. Frank S. Budnik

Nota: la unión de cualquier conjunto A y su complemento Ᾱ da como resultado el conjunto universo U, o bien: A ∪ Ᾱ = U. También, A ∪ ∅ = A. La intersección de dos conjuntos A y B, denotada por A ∩ B, es un conjunto que cuenta con todos los elementos pertenecientes a A y B conjuntamente.

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Figura 4: Intersección de conjuntos

Fuente:Matematicas aplicadas para la administración, economia y ciencias sociales, 4ta Edic. Frank S. Budnik

Regla aditiva Esta expresión nos entrega la probabilidad de la unión de eventos. Lleva el nombre de regla aditiva: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B). Deberíamos determinar qué expresión es la que nos determina la intersección de eventos; para ello, usaremos el siguiente ejemplo. ¿Cuál es la probabilidad de que, habiendo extraido del mazo una carta ≥ 6, esta sea par? Este es un ejemplo de probabilidad condicional, y se la expresa como: P(A/B). La expresión anterior se lee como probabilidad de ocurrencia de A según B. Si la carta obtenida es un número mayor o igual que 6, tendrá que ser el 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 o 13; solo ocho casos posibles y, de los cuales, solo cuatro cumplen con la condición de ser pares. Por lo tanto, si nos ajustamos a la definición clásica de probabilidades: casos favorables = 4; casos posibles = 8; 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 4 = = 0,5. 𝑃(𝐴⁄𝐵) = 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 8 Por otro lado, la condición que deberían cumplir los casos favorables es la de ser mayores o iguales que 6 y, adicionalmente, deberían cumplir con la condición de ser pares. O sea, deberían cumplir simultáneamente los eventos A y B, mientras que los casos posibles serán los eventos simples que constituyen a B, es decir, los valores mayores o iguales que 6. Podemos formular el caso anterior como sigue: 𝑃(𝐴⁄𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) . 𝑃(𝐵)

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La expresión señala que la probabilidad de ocurrencia de A según B es el cociente entre la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B y la probabilidad de B. Si recordamos que: 16 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = , 52 y que: 32 𝑃(𝐵) = , 52 reemplazando, tendremos:

16 52 𝑃(𝐴⁄ 𝐵) = 32 = 0,5. 52

Resultado al que habíamos llegado originalmente por razonamiento y aplicación del planteamiento clásico.

Regla de adición para eventos mutuamente excluyentes Hay circunstancias en que necesitamos saber si la probabilidad de que un evento u otro sucedan. Para ello debemos identificar previamente si son mutuamente excluyentes o no, si lo llegan a ser entonces aplicaremos la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes. Esta regla es: P(A o B) = P(A) + P(B). Figura 5: Eventos mutuamente excluyentes

A

B

Fuente: Elaboración propia

La probabilidad de que sucedan A o B cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes es igual a la suma de la probabilidad de que suceda el evento A y la probabilidad de que suceda el evento B.

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Regla de adición para eventos no mutuamente excluyentes Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, pueden presentarse simultaneamente, de esta manera deberíamos considerar que los elementos que participan de la intersección de ambos conjuntos los contaríamos dos veces, cuando en realidad solo lo hacen en una sola oportunidad. Para que no ocurra eso, modificaremos la regla de adición anteriormente citada para eventos mutuamente excluyentes: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AB). Figura 6: Eventos no mutuamente excluyentes

A

B

Fuente: Elaboración propia

𝐴 ∩ 𝐵. La regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes muestra que la probabilidad de que sucedan A o B es igual a la probabilidad de ocurrencia del evento A más la probabilidad de ocurrencia del evento B, menos la probabilidad de que A y B se presenten juntos, simbolizada como P(AB).

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Regla multiplicativa La anterior expresión de la regla aditiva nos entrega la probabilidad condicionada de ocurrencia de A según B y, también, nos brinda la posibilidad de obtener la regla multiplicativa trasponiendo el denominador del segundo miembro y multiplicando al primero: 𝑃(𝐴⁄𝐵). 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ). Intercambiando los eventos, podemos llegar a:

y, si consideramos que:

𝑃(𝐵⁄𝐴). 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴);

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴), podemos concluir en: 𝑃(𝐴⁄ 𝐵). 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 ⁄𝐴) . 𝑃(𝐴).

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Bibliografía de referencias Levin, R. y Rubin, D. (1996). Estadística para administradores. México DF: Pearson Educación.

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