Ejercicios resueltos -Reglas de Inferencia y Reemplazo PDF

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FACULTAD DE INGENIERÍA Y SISTEMAS Lógica Proposicional Ciclo 02 – 2021 Período III

Ejercicios aplicando reglas de inferencia Docente Tutor: Cristela Fuentes ________________________________________________________________ Objetivo: Revisar los ejercicios y procedimiento utilizado para probar la validez de los argumentos Indicación: Un método más eficiente para probar la validez de un argumento extenso consiste en deducir su conclusión a partir de sus premisas mediante una serie de argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce como válido. Esta técnica es muy similar a los métodos ordinarios de argumentación. Para realizar los ejercicios debe tener presente las Reglas de Inferencia y Reemplazo.

Reglas de reemplazo para la construcción de pruebas formales de validez

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I.

Para cada uno de los siguientes argumentos, enunciar la regla de inferencia por la cual la conclusión se sigue de las premisas. 𝑶 ⊃ [(𝑷 ⊃ 𝑸) ∙ (𝑸 ⊃ 𝑷)] ∴ 𝑶 ⊃ (𝑷 ≡ 𝑸)

Se debe buscar entre las reglas y se identifica cual es la aplicada Se compara en el literal a) p = P ; q = Q entonces, (𝒑 ⊃ 𝒒) ∙ (𝒒 ⊃ 𝒑) ≡ (𝑷 ≡ 𝑸)

II.

Cada uno de los siguientes argumentos es una prueba formal de validez del argumento indicado. Enunciar la “justificación” de cada línea que no sea una premisa.

Premisa 2 Premisa 1 (𝑸 ∨ ~𝑹) ∨ 𝑺

Conclusión 2. ∼ 𝑸 ∨ (𝑹 ∙ ∼ 𝑸)⁄∴ 𝑹 ⊃ 𝑺 ----------------------------------------------------Justificación del Argumento para probar la validez 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

(∼ 𝑄 ∨ 𝑅) ∙ (∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄) (∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄 ) ∙ (∼ 𝑄 ∨ 𝑅 ) (∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄) ∼𝑄 𝑄 ∨ (∼ 𝑅 ∨ 𝑆) ∼𝑅 ∨𝑆 𝑅 ⊃𝑆

2, Distributiva 3, Conmutación 4, Simplificación 5, Tautología 1, Asociación 7,6 Silogismo Disyuntivo 8 Implicación Material

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Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Se comienza la justificación a partir del reglón 3 después de la conclusión, se toma el reglón 2. Entonces, se obtiene el reglón 3 por distribución.

∼ 𝑸 ∨ (𝑹 ∙ ∼ 𝑸)⁄∴

(∼ 𝑄 ∨ 𝑅) ∙ (∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄) Luego, se toma el renglón 3 para justificar el reglón 4 usando conmutación.

(∼ 𝑸 ∨ 𝑹) ∙ (∼ 𝑸 ∨ ∼ 𝑸)

(∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄) ∙ (∼ 𝑄 ∨ 𝑅)

Después se toma el reglón 4 para justificar el reglón 5, esta vez se hace por simplificación.

(∼ 𝑸 ∨ ∼ 𝑸) ∙ (∼ 𝑸 ∨ 𝑹)

(∼ 𝑄 ∨ ∼ 𝑄 )

Se toma el reglón 5 y aplicando la regla de tautología, resulta el reglón 6.

(∼ 𝑸 ∨ ∼ 𝑸)

∼𝑄

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Para encontrar el reglón 7, se toma el reglón 1 y se utiliza la ley distributiva.

(𝑄 ∨ ~𝑅) ∨ 𝑆

Como todavía no se ha usado los renglones 6 y 7, se usará para encontrar le reglón 8. Esta vez se utilizará el silogismo disyuntivo.

𝑸 ∨ (∼ 𝑹 ∨ 𝑺) ∼𝑸

∼𝑅 ∨𝑆

Por último se utiliza el renglón 8 y utilizando implicación material, se encontrará la respuesta que busca, que es la conclusión del argumento y así se demuestra la validez.

∼𝑅 ∨𝑆

𝑅 ⊃𝑆

III.

Para cada uno de los siguientes argumentos, añadir exactamente los dos enunciados que hacen falta a las premisas para producir una prueba formal de validez. Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos.

1. Dado el argumento: / ∴ (𝑲 ∙ 𝑳) ⊃ 𝑴

∼ 𝑲 ∨ (𝑳 ⊃ 𝑴)

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Construir la prueba de validez: Premisa 1

Conclusión

1. ∼ 𝐾 ∨ (𝐿 ⊃ 𝑀)/ ∴ (𝐾 ∙ 𝐿) ⊃ 𝑀 Justificación del Argumento para probar la validez 2. 𝐾 ⊃ (𝐿 ⊃ 𝑀) 3. (𝐾 ∙ 𝐿) ⊃ 𝑀

1, Implicación Material 2, Exportación

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Utilizando Implicación material en el reglón 1, se encuentra el reglón 2,

∼ 𝑲 ∨ (𝑳 ⊃ 𝑴)

𝐾 ⊃ (𝐿 ⊃ 𝑀)

Luego, se puede aplicar exportación al reglón 2, así se termina encontrando las dos premisas que faltaban.

𝑲 ⊃ (𝑳 ⊃ 𝑴)

(𝐾 ∙ 𝐿) ⊃ 𝑀

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2. Dado el argumento:

𝒁 ⊃𝑨

∼ 𝑨 ∨ 𝑩/∴ 𝒁 ⊃ 𝑩

Construir la prueba de validez: 1. 𝑍 ⊃ 𝐴 2. ∼ 𝐴 ∨ 𝐵/∴ 𝑍 ⊃ 𝐵 Justificación del Argumento para probar la validez 3. 𝐴 ⊃ 𝐵 4. 𝑍 ⊃ 𝐵

2, Implicación Material 1,3 Silogismo Hipotético

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Se empieza con el enunciado 2 y se aplica implicación material para obtener el enunciado 3.

∼𝑨 ∨𝑩

𝐴 ⊃𝐵 Luego, aplicando silogismo hipotético al enunciado 1 y 3 se encuentra el enunciado 4.

𝒁 ⊃𝑨 𝑨 ⊃𝑩

𝑍 ⊃𝐵

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IV.

Para cada uno de los siguientes argumentos, añadir los tres enunciados que hacen falta a las premisas para poder producir una prueba formal de validez. Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos.

1. Dado el argumento: [(𝑲 ∨ 𝑳) ∨ 𝑴] ∨ 𝑵/∴ (𝑵 ∨ 𝑲) ∨ (𝑳 ∨ 𝑴) Construir la prueba de validez:

1. [(𝐾 ∨ 𝐿) ∨ 𝑀] ∨ 𝑁/∴ (𝑁 ∨ 𝐾 ) ∨ (𝐿 ∨ 𝑀) Justificación del Argumento para probar la validez 2. [𝐾 ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)] ∨ 𝑁 3. 𝑁 ∨ [𝐾 ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)] 4. (𝑁 ∨ 𝐾 ) ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)

1, Asociación 2, Conmutación 3, Asociación

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Se toma el enunciado 1, se aplica asociación y se encuentra el enunciado 2.

[(𝑲 ∨ 𝑳) ∨ 𝑴] ∨ 𝑵

[𝐾 ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)] ∨ 𝑁

Luego, se aplica conmutación en el enunciado 2, se consigue el enunciado 3.

[𝑲 ∨ (𝑳 ∨ 𝑴)] ∨ 𝑵

𝑁 ∨ [𝐾 ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)]

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Se vuelve a utilizar asociación pero esta vez en el enunciado 3 y se finaliza encontrando el enunciado 4. 𝑵 ∨ [𝑲 ∨ (𝑳 ∨ 𝑴)]

(𝑁 ∨ 𝐾) ∨ (𝐿 ∨ 𝑀)

2. Dado el argumento: (𝒁 ∨ 𝑨) ∨ 𝑩 ∼ 𝑨/∴ 𝒁 ∨ 𝑩 Construir la prueba de validez: 1. (𝑍 ∨ 𝐴) ∨ 𝐵 2. ∼ 𝐴 /∴ 𝑍 ∨ 𝐵 Justificación del Argumento para probar la validez 3. (𝐴 ∨ 𝑍) ∨ 𝐵 4. 𝐴 ∨ (𝑍 ∨ 𝐵) 5. 𝑍 ∨ 𝐵

1, Conmutación 3, Asociación 4,2, Silogismo Disyuntivo

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Aplicando al enunciado 1 la ley de conmutación para encontrar enunciado 3.

(𝒁 ∨ 𝑨) ∨ 𝑩

(𝐴 ∨ 𝑍) ∨ 𝐵 Se toma el enunciado 3 y aplicándole asociación, se encuentra el enunciado 4.

(𝑨 ∨ 𝒁) ∨ 𝑩

𝐴 ∨ (𝑍 ∨ 𝐵)

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Por último, se aplica silogismo disyuntivo a los enunciados 2 y 4. ∼𝑨 𝑨 ∨ (𝒁 ∨ 𝑩)

𝑍 ∨𝐵

V.

Los ejercicios de esta serie corresponden a patrones frecuentes de inferencia que se hallan en pruebas más extensas de validez. La familiaridad con ellas será útil en el trabajo subsecuente. Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos.

1. Dado el argumento:

𝑲 ⊃ 𝑳 ∴ 𝑲 ⊃ (𝑳 ∨ 𝑴)

Construir la prueba de validez: 1. 𝐾 ⊃ 𝐿 ∴ 𝐾 ⊃ (𝐿 ∨ 𝑀) Justificación del Argumento para probar la validez 2. 3. 4. 5.

VI.

∼𝐾 ∨𝐿 (∼ 𝐾 ∨ 𝐿) ∨ 𝑀 ∼ 𝐾 ∨ (𝐿 ∨ 𝑀) 𝐾 ⊃ (𝐿 ∨ 𝑀)

1, Implicación Material 2, Adición 3, Asociación 4, Implicación Material

Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos.

1. Dado el argumento: [(𝑴 ∙ 𝑵) ∙ 𝑶] ⊃ 𝑷 𝑸 ⊃ [(𝑶 ∙ 𝑴) ∙ 𝑵] ∴∼𝑸 ∨𝑷

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Construir la prueba de validez: 1. [(𝑀 ∙ 𝑁) ∙ 𝑂] ⊃ 𝑃 2. 𝑄 ⊃ [(𝑂 ∙ 𝑀) ∙ 𝑁] ∴ ∼ 𝑄 ∨ 𝑃 Justificación del Argumento para probar la validez

3. 4. 5. 6.

[𝑂 ∙ (𝑀 ∙ 𝑁)] ⊃ 𝑃 [(𝑂 ∙ 𝑀) ∙ 𝑁] ⊃ 𝑃 𝑄 ⊃𝑃 ∼𝑄 ∨𝑃

1, Conmutación 3, Asociación 2,4, Silogismo Hipotético 5, Implicación Material

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Se toma el enunciado 1 y se le aplica conmutación encontrando así el enunciado 3. [(𝑴 ∙ 𝑵) ∙ 𝑶] ⊃ 𝑷

[𝑂 ∙ (𝑀 ∙ 𝑁)] ⊃ 𝑃

Para encontrar el enunciado 4, se aplica asociación al enunciado 3. [𝑶 ∙ (𝑴 ∙ 𝑵)] ⊃ 𝑷

[(𝑂 ∙ 𝑀) ∙ 𝑁] ⊃ 𝑃

De los enunciados 2 y 4 se obtiene el enunciado 5 y se aplica silogismo hipotético.

𝑸 ⊃ [(𝑶 ∙ 𝑴) ∙ 𝑵] ∴ ∼ 𝑸 ∨ 𝑷 [(𝑶 ∙ 𝑴) ∙ 𝑵] ⊃ 𝑷

𝑄 ⊃𝑃

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Para terminar se toma el enunciado 5 y se obtiene el enunciado 6, se aplica implicación material.

𝑸 ⊃𝑷

∼𝑄 ∨𝑃

2. Dado el argumento: [𝑯 ∨ (𝑰 ∨ 𝑱)] ⊃ (𝑲 ⊃ 𝑱) 𝑳 ⊃ [𝑰 ∨ (𝑱 ∨ 𝑯)] ∴ (𝑳 ∙ 𝑲) ⊃ 𝑱

Construir la prueba de validez: 1. [𝐻 ∨ (𝐼 ∨ 𝐽)] ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽 ) 2. 𝐿 ⊃ [𝐼 ∨ (𝐽 ∨ 𝐻)] ∴ (𝐿 ∙ 𝐾 ) ⊃ 𝐽 Justificación del Argumento para probar la validez 3. 4. 5. 6.

[(𝐼 ∨ 𝐽) ∨ 𝐻] ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽) [𝐼 ∨ (𝐽 ∨ 𝐻)] ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽 ) 𝐿 ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽) (𝐿 ∙ 𝐾) ⊃ 𝐽

1, Conmutación 3, Asociación 2,4, Silogismo Hipotético 5, Exportación

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Aplicando conmutación al enunciado 1, se encuentra el enunciado 3.

[𝑯 ∨ (𝑰 ∨ 𝑱)] ⊃ (𝑲 ⊃ 𝑱)

[(𝐼 ∨ 𝐽) ∨ 𝐻] ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽)

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Luego, por asociación en el enunciado 3, se encuentra el enunciado 4.

[(𝑰 ∨ 𝑱) ∨ 𝑯] ⊃ (𝑲 ⊃ 𝑱)

[𝐼 ∨ (𝐽 ∨ 𝐻)] ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽)

Ahora, se toma los enunciados 2 y 4, y aplicando silogismo hipotético se encuentra el enunciado 5. 𝑳 ⊃ [𝑰 ∨ (𝑱 ∨ 𝑯)] [𝑰 ∨ (𝑱 ∨ 𝑯)] ⊃ (𝑲 ⊃ 𝑱)

𝐿 ⊃ (𝐾 ⊃ 𝐽)

Por último, se toma el enunciado 5 y aplicándole exportación se encuentra el enunciado 6.

𝑳 ⊃ (𝑲 ⊃ 𝑱)

(𝐿 ∙ 𝐾) ⊃ 𝐽

VII.

Construir una prueba de validez para cada uno de los siguientes argumentos, usando en cada caso la notación sugerida. Problema 1: Si el papel tornasol se vuelve rojo, entonces la solución es un óxido. Luego, si el papel se vuelve rojo, entonces o la solución es un óxido o hay algo que anda mal. (R, A, W) Considerando: R= Si el papel tornasol se vuelve rojo A= la solución es un óxido W= hay algo que anda mal

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El argumento queda: 𝑅 ⊃ 𝐴 ∴ 𝑅 ⊃ (𝐴 ∨ 𝑊 ) Construir la prueba de validez:

1. 𝑅 ⊃ 𝐴 ∴ 𝑅 ⊃ (𝐴 ∨ 𝑊 ) Justificación del Argumento para probar la validez 2. 3. 4. 5.

∼𝑅 ∨𝐴 (∼ 𝑅 ∨ 𝐴) ∨ 𝑊 ∼ 𝑅 ∨ (𝐴 ∨ 𝑊 ) 𝑅 ⊃ (𝐴 ∨ 𝑊 )

1, Implicación Material 2, Adición 3, Asociación 4, Implicación Material

Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio:

Aplicando implicación material al enunciado 1, se conseguirá el enunciado 2.

𝑹 ⊃𝑨

∼𝑅 ∨𝐴

Luego, se aplica adición al enunciado 2, para obtener el enunciado 3.

∼𝑹 ∨𝑨

(∼ 𝑅 ∨ 𝐴) ∨ 𝑊

Para encontrar el enunciado 4, se aplica asociación al enunciado 3.

(∼ 𝑹 ∨ 𝑨) ∨ 𝑾

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∼ 𝑅 ∨ (𝐴 ∨ 𝑊 ) Por último, para encontrar el enunciado 5, se hace uso de implicación material en el enunciado 4.

∼ 𝑹 ∨ (𝑨 ∨ 𝑾) 𝑅 ⊃ (𝐴 ∨ 𝑊 )

Problema 2: Si las leyes son buenas y su cumplimiento es estricto, disminuirá el delito. Si el cumplimiento estricto de la ley hace disminuir el delito, entonces nuestro problema es de carácter práctico. Las leyes son buenas, luego nuestro problema es de carácter práctico. (B, E, D, P) Considerando: B= Las leyes son buenas E= Su cumplimiento es estricto D= Disminuirá el delito P= Nuestro problema es de carácter práctico El argumento queda: (𝐵 ∙ 𝐸) ⊃ 𝐷 (𝐸 ⊃ 𝐷) ⊃ 𝑃 𝐵 /∴ 𝑃 Construir la prueba de validez: 1. (𝐵 ∙ 𝐸 ) ⊃ 𝐷 2. (𝐸 ⊃ 𝐷) ⊃ 𝑃 3. 𝐵 /∴ 𝑃 Justificación del Argumento para probar la validez 4. 𝐵 ⊃ (𝐸 ⊃ 𝐷 ) 5. 𝐸 ⊃ 𝐷 6. 𝑃

1, Exportación 4,3 Modus Ponens 2,5 Modus Ponens

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Procedimiento Justificación del Argumento para probar la validez del ejercicio: Para encontrar el enunciado 4, se utiliza exportación en el enunciado 1.

(𝑩 ∙ 𝑬) ⊃ 𝑫

𝐵 ⊃ (𝐸 ⊃ 𝐷) Luego, se aplica modus ponens a los enunciados 4 y 3 para obtener el reglón 5. 𝑩 𝑩 ⊃ (𝑬 ⊃ 𝑫)

𝐸⊃𝐷 Para conseguir el enunciado 6, se toma los enunciados 2 y 5 aplicándole modus ponens.

(𝑬 ⊃ 𝑫) ⊃ 𝑷 𝑬⊃𝑫

𝑃...