Representación en coordenadas polares (teoría y ejercicios propuestos) PDF

Preview

Summary

Representación en coordenadas polares (teoría y ejercicios propuestos)...

Description

1 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

Sistemas(de(coordenadas( La! representación! de! un! punto! en! el! espacio! en! un! sistema! de! ejes! cartesianos! (formado! por! tres! ejes! perpendiculares! entre! sí:! X,Y,Z)! se! puede! expresar! en! función!de!diferentes!coordenadas.!El!sistema!de!coordenadas!elegido!dependerá! de! la! simetría! del! problema! que! queremos! estudiar! para! poder! simplificar! la! formulación! matemática! del! mismo.! Los! sistemas! de! coordenadas! más! comúnmente!utilizados!son:! A)!Sistema!de!coordenadas!cartesianas!(x,y,z)! En! este! sistema! de! coordenadas! la! posición! de! un! punto! P! viene! dada! por! tres! números!(x,y,z)!que!representan!las!distancias!que!debemos!desplazarnos!desde!el! origen!de!coordenadas,!O,!paralelamente!al!eje!OX!(x),!al!eje!OY!(y)!y!al!eje!OZ!(z)! para!llegar!al!punto!P.!La!figura!1!muestra!este!sistema!de!coordenadas.!

Figura!1!

B)!Sistema!de!coordenadas!cilíndricas!(ρ,φ,z)! Este!sistema!de!coordenadas!se! utiliza!principalmente!para!tratar!problemas! con! simetría!cilíndrica!o!para!estudiar!movimiento!plano!de!objetos!en!dirección!radial! y!angular.!Un!punto!P!arbitrario!queda!definido!por!dos!distancias!y!un!ángulo.!ρ! representa!la!distancia!desde!el!origen!O!hasta!la!proyección!del!punto!P!sobre!el! plano!XY!(ver!figura!2),!z!representa!la!distancia!en!la!dirección!del!eje!OZ!desde!la! proyección!de!P!en!el!plano!XY!hasta!el!punto!P!y!φ!es!el!ángulo!que!forma!la!recta! ρ!con!el!eje!OX.!

! Figura!2!

!

2

Física!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

!

C)!Sistema!de!coordenadas!esféricas! Este!sistema!de!coordenadas!se! utiliza!principalmente!para!tratar!problemas! con! simetría!esférica!o!para!estudiar!movimiento!general!de!objetos!en!dirección!radial! y!angular.!Un!punto!P!arbitrario!queda!definido!por!una!distancia!y!dos!ángulos.!r! representa! la! distancia! desde! el! origen! O! hasta! el! punto! P! (ver! figura! 3),! θ! representa! el! ángulo! entre! el! eje! OZ! y! la! recta! OP! y! φ! es! el! ángulo! que! forma! el! plano!que!contiene!el!eje!OZ!y!al!punto!P!con!el!plano!OZX.!

! Figura!3!

El! punto! P! puede,! por! tanto! representarse! en! cualquiera! de! los! tres! sistemas.! Conocida! la! representación! del! punto! en! uno! de! los! sistemas! de! coordenadas! podemos!obtener!su!representación!en!los!otros!dos!a!través!de!las!relaciones:! ! Conocidos!(x,y,z)! y tanφ = , z = z) x ! y z 2 2 2 Esféricas → (r = x + y + z , tanφ = , cosθ = ) x r Cilíndricas → (ρ = x 2 + y 2 ,

Conocidos!(ρ,φ,z)!

Cartesianas → (x = ρ cos φ , y = ρ sinφ , Esféricas → (r = ρ 2 + z 2 ,

φ = φ,

z = z) z ! cosθ = ) r

Conocidos!(r,φ,θ)!

Cartesianas → (x = r sinθ cosφ , y = r sinθ sinφ, z = r cosθ ) z = r cosθ ) φ =φ , Cilíndricas → (ρ = r sin θ, ( ( ( !

!

3 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

Ejemplos:( ! Convertir!los!puntos!dados!a!los!otros!sistemas!de!coordenadas:! ( 1)(P(x,y,z)=(2,3,4)( ! Cilíndricas :

ρ = x 2 + y 2 = 4 + 9 = 13 y 3 φ = arctan = arctan = 56.31º x 2 z=4 P( ρ,φ, z ) = ( 13, 56.31º , 4) Esféricas :

!

r = x 2 + y 2 + z 2 = 4 + 9 + 16 = 29 y 3 = arctan = 56.31º x 2 z 4 = 42.03º θ = arcos = ar cos r 29

φ = arctan

P(r,φ ,θ ) = ( 29, 56.31º , 42.03º ) ! ( 2)(P(x,y,z)=(?2,4,3)( ! Cilíndricas :

ρ = x 2 + y 2 = 4 + 16 = 20 y 4 = 116.56º φ = arctan = arctan x −2 z=3 P( ρ,φ, z ) = ( 20,116.56º, 3) Esféricas : r = x 2 + y 2 + z 2 = 4 + 16 + 9 = 29 y 4 = 116.56º φ = arctan = arctan x −2 z 3 = 56.14º θ = arcos = ar cos r 29 P(r,φ ,θ ) = ( 29,116.56º,56.14º ) !

!

!

!

4 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

! 3)(P(ρ ρ ,φ φ ,z)=(10,45º,3)( ( Cartesianas : x = ρ cosφ = 10 cos 45 = 7.07 y = ρ sinφ = 10sin 45 = 7.07 z=3 P(x, y, z ) = (7.07, 7.07, 3) Esféricas :

!

r = ρ 2 + z 2 = 100 + 9 = 109 φ = 45º 3 z = 73.3º θ = arcos = ar cos r 109 P(r,φ ,θ ) = ( 109, 45º, 73.3º ) ! ( 4)(P(r,φ φ ,θ θ )=(3,20º,10º)( ( Cartesianas : x = r cos φ sinθ = 3cos 20 sin10 = 0.489 y = r sin φ sin θ = 3sin 20sin10 = 0.178 z = r cos θ = 3cos10 = 2.954 P(x, y, z ) = (0.489, 0.178,2.954) Cilíndricas :

ρ = r sinθ = 3sin10 = 0.521 φ = 20º z = r cos θ = 3cos10 = 2.954 P( ρ,φ, z ) = (0.521,20º ,2.954)

!

!

Física!

!

5 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

Representación(de(vectores(en(coordenadas(polares( ! Hemos! visto! como! representar! la! posición! de! un! punto! en! el! espacio! en! los! diferentes! sistemas! de! coordenadas.! En! este! apartado! estudiaremos! como! expresar! un! vector! en! otros! sistemas.! Las! componentes! de! un! vector! en! coordenadas!cartesianas!pueden!expresarse!como:! !  V = (V x ,Vy ,Vz ) = Vx ˆi + Vy ˆj + Vz kˆ ! ! Las!componentes!del!vector!son!las!proyecciones!del!vector!V!sobre!los!tres!ejes!de! coordenadas!y!representan!la!distancia!que!debemos!desplazarnos!paralelamente! a!cada!uno!de!los!ejes,!desde!el!origen!del!vector,!para!llegar!hasta!su!extremo.! ! Matemáticamente!denominamos!base!a!un!conjunto!de!tres!vectores!unitarios!no! coplanarios! a! partir! de! los! cuales! podemos! generar! todo! el! conjunto! de! vectores! del! espacio.! En! la! base! de! coordenadas! cartesianas! estos! tres! vectores! unitarios! son! ˆi , jˆ y kˆ ! y! siempre! indican! las! direcciones! de! los! ejes! OX,! OY! y! OZ! respectivamente.! Este!sistema!de!coordenadas!es!el!que!utilizaremos!en!general!para!hacer!cálculos! de!producto!escalar,!vectorial,!...! En!esta!base!un!vector!tiene!las!mismas!componentes!independientemente!de!cual! sea! el! punto! del! espacio! donde! está! aplicado,! como! muestra! la! figura! 4! con! un! vector!V!contenido!en!el!plano!XY.! ! Coordenadas cartesianas: Las componentes del vector V(Vx, Vy) son iguales en todos los puntos del espacio!!

Figura!4!

! Esta! no! es! la! única! base! que! podemos! utilizar! para! representar! un! vector! y! en! Física!se!usan!otro!tipo!de!bases!como!la!base!en!coordenadas!cilíndricas!y!la!base! de!coordenadas!esféricas!por!ejemplo.! Para! aprender!como! usar! otro! tipo! de! bases! nos! centraremos!en! un! principio! en! vectores! contenidos! en! el! plano! XY! y! veremos! cómo! representar! un! vector! en! coordenadas! polares.! (Las! coordenadas! polares! son! las! coordenadas! cilíndricas! con!la!componente!z!igual!a!cero)!! La!base!de!coordenadas!polares!usa!los!vectores!unitarios:!

uˆ ρ, ˆuφ !

!

6 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

Estos! vectores! unitarios! apuntan! en! la! dirección! radial! y! en! la! dirección! perpendicular! a! ésta,! como! muestra! la! figura! 5.! Podemos! observar! que! estos! vectores! unitarios! cambian! de! orientación! en! diferentes! puntos! del! espacio,! mientras! que! i! y! j! siempre! apuntan! en! la! misma! dirección.! Podemos! escribir! los! vectores!unitarios!polares, uˆ ρ, ˆuφ !en!función!de! ˆi y ˆj !como!se!deduce!de!la!figura!5:! !

Figura!5!

Otra!base!en!la!que!la!orientación!de!los!vectores!unitarios!cambia!con!la!posición! del! punto! en! el! espacio! es! la! que! expresa! el! vector! aceleración! en! componentes! normal!y!tangencial.! El!vector!V!en!componentes!polares!puede!escribirse!como:!  V = Vρ uˆρ + Vφ uˆφ ! Estas! componentes! expresan! la! proyección! de! V! en! la! dirección! de! uˆ ρ y! en! la! dirección! de! uˆφ ! respectivamente.! Al! contrario! de! lo! que! sucede! en! la! base! cartesiana,! en! esta! caso! las! componentes! de! V! serán! diferentes! en! diferentes! puntos!del!espacio!puesto!que!las!direcciones!de!los!vectores!unitarios!cambian!en! los!diferentes!puntos!del!plano.!Esto!puede!verse!en!la!Figura!6:! !

Coordenadas polares: Las componentes del vector V(Vρ, Vφ) dependen del punto del espacio!!

Figura!6!

!

7 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

Relación!entre!las!componentes!de!un!vector!en!bases!diferentes! Una! vez! hemos! visto! como! podemos! representar! un! vector! en! bases! diferentes! queremos! ver! como! relacionar! las! componentes! entre! los! sistemas.! Puesto! que! sabemos! como! se! escriben! los! vectores! unitarios! polares! en! función! de! los! cartesianos!podemos!escribir:! !  V = V ρ uˆρ + Vφuˆφ = Vx iˆ + Vy ˆj  V = Vρ ⎡⎣ cosφ ˆi + sin φ ˆj ⎦⎤ + Vφ ⎡⎣− sinφ iˆ + cosφ ˆj ⎦⎤  V = ⎡⎣ Vρ cosφ − Vφ sinφ ⎤⎦ iˆ + ⎡⎣V ρ sinφ + Vφ cosφ ⎦⎤ ˆj Vx = Vρ cos φ − Vφ sinφ Vy = Vρ sin φ + Vφ cosφ Vρ = Vx cos φ + Vy sin φ Vφ = −Vx sin φ + Vy cos φ

! Las! expresiones! anteriores! nos! permiten! trasformar! las! coordenadas! cartesianas! del!vector!en!polares!y!viceversa.! !  Ejemplo( 1:( Dado% el% vector%de% componentes% V = 3ˆi + jˆ ,%expresarlo% en% componentes% polares:!

Utilizando!las!expresiones!que!acabamos!de!ver(

V ρ = V x cos φ + Vy sinφ = 3cos φ + sin φ V φ = −Vx sin φ + Vy cos φ = −3sin φ + cos φ !  V = V ρ uˆρ + Vφuˆφ = (3cos φ + sin φ )uˆ ρ + (cosφ − 3sinφ )uˆφ Las!componentes!de!V!dependen!del!punto!del!espacio!donde!situemos!el!vector:! Si!el!origen!del!vector!está!sobre!el!eje!x,!entonces!φ=0º!y!en!este!caso!  V = (3cos 0 + sin 0)uˆ ρ + (cos 0 − 3sin 0)uˆφ = 3uˆ ρ + uˆφ ! Si!el!origen!del!vector!se!encuentra!en!φ=45º!tendremos:!

 V = (3cos 45 + sin 45) uˆ ρ + (cos 45 − 3sin 45) uˆφ = 2 2uˆρ − 2 uˆφ ! Si!el!origen!del!vector!se!encuentra!en!φ=150º!  V = (3cos150 + sin150)uˆ ρ + (cos150 − 3sin150)uˆφ = −2.1uˆ ρ − 2.36 uˆ φ ! !

8 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

La!figura!siguiente!muestra!este!resultado! !

( (  Ejemplo( 2:( Dado% el% vector% de% componentes% W = 3uˆρ + 1uˆφ ,% expresarlo% en% componentes%cartesianas!

En!este!caso,!a!partir!de!las!expresiones!vistas!anteriormente!obtenemos! Wx = W ρ cos φ − Wφ sinφ = 3cosφ − sin φ ! Wy = W ρ sin φ + Wφ cosφ = 3sinφ + cos φ  W = Wxiˆ + Wy jˆ = (3cos φ − sin φ)iˆ + (3sin φ + cosφ ) ˆj Este!vector!depende!de!donde!esté!situado!su!origen:! a)!origen%sobre%la%recta% φ=0º%  En!este!caso!obtenemos! W = 3iˆ + jˆ ! b)!origen%sobre%la%recta%φ=45º!  En!este!caso!obtenemos! W = 2iˆ + 2 2 ˆj ! c)!origen%sobre%la%recta%φ =150º!  En!este!caso!obtenemos! W = −3.1iˆ + 0.63 jˆ ! !

!

9

Física!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

!

La!figura!siguiente!muestra!este!resultado!

( (  Ejemplo( 3:% Dado% el% vector% V = 3ˆi + jˆ con% origen% en% el% centro% de% coordenadas,% representar%este%vector%en%coordenadas%polares% Un!vector!con!origen!en!el!centro!de!coordenadas!siempre!apunta!en!una!dirección! radial!y!por!lo!tanto!su!componente!angular!siempre!es!cero.!! El!ángulo!φ!en!este!caso!corresponde!al!ángulo!que!el!vector!forma!con!el!eje!OX.! Vy Vy V Vx , sinφ = Por!lo!tanto!tenemos! cos φ = x = ! = V V V x2 + Vy2 V x2 + Vy 2

V ρ = Vx cos φ + Vy sin φ =

Vx2 2 x

2 y

V +V

Vφ = −Vx sin φ + Vy cos φ = −

+

VxVy 2 x

2 y

V +V

Vy2 2 x

V +V +

 2 2 V = V ρ uˆ ρ = Vx + Vy uˆρ

 En!el!caso!de!este!ejemplo!V = 10 uˆ ρ !

!

2 y

2 2 = Vx + Vy

VyVx Vx2 + Vy 2

=0

!

10 Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

Movimiento(de(una(partícula(en(un(plano(expresado(en(coordenadas(polares( Una! vez! hemos! visto! como! representar! las! componentes! de! un! vector! en! coordenadas! polares,! podemos! estudiar! como! escribir! las! expresiones! para! el! vector!de!posición,!velocidad!y!aceleración!de!un!cuerpo!en!coordenadas!polares.! Esta! representación! nos! permite! descomponer! el! movimiento! del! cuerpo! en! la! dirección! radial! y! angular! lo! cual! es! de! interés! en! numerosos! problemas! de! movimiento!plano.!En!la!figura!7!podemos!ver!las!componentes!de!la!velocidad!en! estas! direcciones! (esta! descomposición! nos! permite! estudiar! el! movimiento! del! pasador!en!la!dirección!de!la!guía!y!en!la!dirección!perpendicular!a!ésta).!

! Figura!7! !

Para! calcular! la! velocidad! y! aceleración,! en! primer! lugar! debemos! determinar! el! vector! de! posición! en! coordenadas! polares.! Ya! hemos! visto! que! el! vector! de! posición!en!coordenadas!cartesianas!se!escribe:!  r (t ) = x(t ) ˆi + y(t)jˆ + z(t) kˆ !

En!el!caso!de!movimiento!en!el!plano!XY:!  r (t) = x(t)iˆ + y(t) jˆ !

Si!escribimos!x!e!y!en!coordenadas!polares!obtenemos:!  r (t ) = x(t ) ˆi + y(t)jˆ = ρ (t )cosφ (t)iˆ + ρ (t )sinφ (t) ˆj = ρ(t) cos φ (t)iˆ + sinφ (t) jˆ !  r (t) = ρ (t)uˆρ (t )

(

)

El! vector! de! posición! siempre! apunta! en! la! dirección! radial! tal! como! muestra! la! figura!8!(no!tiene!componente!angular,!como!vimos!en!el!ejemplo!3)! !

11

Física!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

!

! Figura!8!

Vector!velocidad!en!coordenadas!polares! Conocida! la! trayectoria! podemos! calcular! la! velocidad! derivando! el! vector! de! posición.! En! coordenadas! cartesianas! tan! solo! derivamos! las! componentes! x(t)! e! y(t)!porque!los!vectores!unitarios! ˆi y ˆj son!constantes!y!su!derivada!es!cero.!

! ! Para! calcular! las! componentes! de! la! velocidad! en! coordenadas! polares,! procedemos!del!mismo!modo.!En!este!caso!los!vectores!unitarios! uˆρ ,uˆφ !ya!no!son! constantes!y!por!lo!tanto!su!derivada!no!es!cero:! !  duˆ (t )  dr (t) d( ρ(t) uˆ ρ (t )) d ρ (t ) ˆ = u ρ (t) + ρ (t ) ρ ! v(t) = = dt dt dt dt ! Podemos!calcular!las!derivadas!de!los!vectores!unitarios!del!siguiente!modo:! ! duˆρ(t ) d cosφ(t) ˆi + sin φ(t) jˆ d cos φ(t ) ˆ d sinφ (t ) ˆ d cos φ (t ) dφ (t ) ˆ d sinφ (t ) dφ (t ) ˆ j = = i+ j= i+ dt dt dt dt dφ dt dφ dt duˆρ(t ) dφ (t ) ˆ dφ (t ) ˆ d φ(t ) i + cos φ (t) j= − sin φ (t)iˆ + cos φ(t) jˆ = − sin φ (t) dt dt dt dt duˆ ρ (t ) dφ(t ) = uˆ (t ) dt dt φ !

(

)

(

!

)

12

Física!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

d uˆ φ (t ) dt d uˆ φ (t )

=

dt

= − cos φ(t)

dt duˆφ (t ) dt

(

d − sinφ (t)iˆ + cosφ(t) ˆj

=−

!

) = d(− sin φ (t )) ˆi + d cosφ (t ) ˆj = d(− sin φ(t )) dφ(t ) iˆ + d cos φ(t ) dφ (t ) ˆj dt

dt

dφ

dφ (t ) d φ (t ) ˆ dφ (t ) ˆ cos φ(t) iˆ + sin φ(t) jˆ j=− i − sin φ(t) dt dt dt

(

dt

dφ

)

dφ (t ) uˆρ (t ) dt

! Una! vez! calculadas! estas! derivadas! podemos! determinar! la! velocidad! en! coordenadas!polares:! !  duˆρ (t ) d ρ(t ) dφ (t )  dr (t) d( ρ(t) uˆ ρ (t )) d ρ (t ) = = uˆρ (t) + ρ (t ) uˆ ρ (t) + ρ (t) uˆ φ (t ) v(t) = = dt dt dt dt dt dt

d ρ(t ) dφ (t )  uˆρ (t) + ρ (t) uˆφ (t ) ! v(t) = vρ uˆρ + vφ uˆ φ = dt dt d ρ (t ) componente radial:v ρ = dt dφ (t ) componente angular:vφ = ρ (t) dt ! ! En!muchas!ocasiones! encontraremos!este!resultado! escrito!de!otro! modo!porque! la!derivada!temporal!también!se!puede!expresar!del!siguiente!modo:! ! dx = x ! dt ! Por!lo!tanto,!conocido!el!vector!de!posición!en!función!del!tiempo!en!coordenadas! polares!calcularemos!la!velocidad!utilizando!la!expresión:! !   dr (t) v(t) = dt ! d ρ(t ) dφ (t )  v(t) = vρ uˆρ + vφ uˆ φ = uˆρ (t) + ρ (t) uˆφ (t ) dt dt  v(t) = vρ uˆρ + vφ uˆ φ = ρ (t)uˆρ (t) + ρ(t)φ(t)uˆφ (t ) ! Vector!aceleración!en!coordenadas!polares! ! Una!vez!calculado!el!vector!velocidad!podemos!determinar!el!vector!aceleración!en! coordenadas!polares!del!mismo!modo.!Teniendo!en!cuenta!las!expresiones!para!las! derivadas! de! los! vectores! unitarios! obtenidas! anteriormente! la! aceleración! viene! dada!por!la!expresión:! ! ! !

dt

13

Física!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

!

 dφ (t )  dv(t) d ⎡ d ρ(t ) ⎤ = ⎢ uˆρ (t) + ρ (t) uˆφ (t ) ⎥ a(t) = dt ⎣ dt dt dt ⎦ 2 d ρ (t ) d uˆ ρ (t ) d ρ (t ) dφ (t ) d 2φ(t ) dφ (t ) d ˆuφ (t ) d ρ (t )  ˆ ˆ (t) + (t) + a(t) = ρ u uˆφ (t) + ρ (t) u (t) + ρ φ 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt 2 2 d ρ (t ) d ρ (t ) ⎛ d φ (t ) d φ (t )  ⎞ d ρ (t ) dφ (t ) a(t) = uˆ φ (t ) ⎟ + uˆ φ (t) + ρ(t) uˆ ρ (t) + uˆφ (t) + ⎜⎝ 2 ⎠ dt dt dt dt 2 dt dt d φ(t ) ⎛ dφ(t ) ⎞ uˆρ (t )⎟ + ρ (t) ⎜⎝ − ⎠ dt dt 2 ⎡ d 2 ρ(t )  ⎛ d φ(t ) ⎞ ⎤ ˆ a(t) = aρ uˆ ρ + aφuˆφ = ⎢ (t) ρ − ⎜⎝ ⎟ ⎥ uρ (t) + 2 dt ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ dt

componente radial:a ρ =

d 2 ρ(t ) ⎛ dφ(t ) ⎞ − ρ (t)⎜ 2 ⎝ dt ⎟⎠ dt

componente angular:a φ = ρ (t)

⎡ d 2φ(t ) d ρ (t ) d φ (t ) ⎤ (t) +2 ρ ⎥ uˆ φ (t ) ⎢ 2 dt dt dt ⎦ ⎣

2

d 2φ (t ) dρ (t ) dφ (t ) +2 2 dt dt dt

! ( RESUMEN( Expresión! de! la! trayectoria,! velocidad! y! aceleración! de! una! partícula! en! coordenadas!cartesianas!y!polares! ! Coordenadas!cartesianas:! !  r (t) = x(t)iˆ + y(t) jˆ + z(t) kˆ dx(t ) ˆ dy(t ) ˆ  j ≡ x(t)iˆ + y(t) ˆj v(t) = vx (t)iˆ + vy (t) ˆj = i+ ! dt dt dv (t) dv (t)  a(t) = ax (t)iˆ + ay (t) ˆj = x iˆ + y ˆj ≡ v x (t)iˆ + v y (t) ˆj = x(t)  iˆ + y(t) jˆ dt dt

! Coordenadas!polares:! !  r (t) = ρ (t)uˆρ d ρ (t ) dφ (t )  v(t) = vρ (t) uˆ ρ (t) + vφ (t)uˆφ (t) = uˆ ρ (t) + ρ (t) uˆ (t) ≡ ρ (t)uˆρ (t) + ρ (t)φ (t)uˆφ (t ) dt dt φ 2 ⎡ d 2ρ(t ) d 2 φ (t ) d ρ (t ) dφ (t ) ⎤ ⎡  ⎛ d φ(t ) ⎞ ⎤ ˆ (t) + u a(t) = aρ (t)uˆρ(t) + a φ (t)uˆφ (t) = ⎢ (t) − +2 (t) ρ ⎜ ⎥ ρ ⎥ uˆ φ (t) ≡ ⎢ρ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ dt dt dt dt ⎦ ⎢⎣ dt ⎥⎦ ⎣ ≡ ⎡⎣ ρ (t) − ρ (t)φ 2 (t )⎤⎦ uˆρ (t) + ⎡⎣ ρ (t)φ(t) + 2ρ(t)φ (t ) ⎤⎦uˆ φ (t )

!

!

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

! PROBLEMAS*PROPUESTOS! * * 1./! Las! componentes! cartesianas! de! un! punto! del! espacio! son! P(x,y,z):(3,2,;3).! Escribe!sus!componentes!en!los!sistemas!de!coordenadas!cilíndricas!y!esféricas! ! ! 2.;! Las! componentes! cilíndricas! de! un! punto! del! espacio! son! P(ρ,φ,z):(4,15º,;3).! Escribe!sus!componentes!en!los!sistemas!de!coordenadas!cartesianas!y!esféricas! ! ! 3./!Escribe!los!siguientes!vectores!en!coordenadas!polares:!  a)!V = 3ˆi + 4 ˆj .!Origen!del!vector!situado!en!el!punto!P:(3,1)!  b)!W = −2iˆ − ˆj .!Origen!del!vector!situado!en!el!punto!P:(;3,1)! ! ! 4./!Escribe!los!siguientes!vectores!en!coordenadas!cartesianas:!  a)!V = 3 uˆρ + 4 uˆφ .!Origen!del!vector!situado!en!el!punto!P:(3,1)!  b)!W = −2uˆρ − uˆ φ .!Origen!del!vector!situado!en!el!punto!P:(;3,1)! ! !  5./! Sobre! una! partícula! actúa! una! fuerza! temporal! F(t) .! Su! velocidad! viene! dada! por! v(t) = (sin(t)iˆ + 2tˆj)m / s .! Calcula! la! trayectoria! que! seguirá! la! partícula! sabiendo! que!en!t=0!se!encuentra!en!reposo!en!el!punto!r (0) = (−1,0)m .!Expresa!la!trayectoria! en!coordenadas!polares.! ! 6./* La!barra! OA,!de!longitud! L=0.9!m,! gira!alrededor! del!punto!O! de!modo! que!el! ángulo!con!la!horizontal!vale!φ(t)=0.15·t2! (t!en!segundos!y!ángulo!en!radianes).!El! collar!B!se!mueve!a!lo!largo!de!la!barra!de!forma!que!su!distancia!a!O!viene!dada! por!la!expresión!r=0.9;0.12·t2!(r!en!metros).!Determina!a)!Velocidad!y!aceleración! del! collarín! expresados! en! coordenadas! polares;! b)! Velocidad! relativa! de! B! respecto!de!la!barra.!

! ! !

Grado Ingeniería Industrial (Grupo D)

Física!

!

* * 7./*!Al!girar!la!barra!OA!de!la!figura,!el!pasador!P!se!mueve!a!lo!largo!de!la!parábola! BCD.! Sabiendo! que! la! ecuación! que! representa! el! movimiento!...