Resumen Algebra mód 3,4 PDF

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Resumen módulo 3 y 4 de álgebra...

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Módulo 3 Determinante:

Aplicación a sistemas de ecuaciones En un sistema de ecuaciones cuadrado, el determinante sirve para “determinar” si posee solución única.

El sistema será compatible determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Si el determinante fuese cero podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones (SCI) o no tiene solución (SI).

Regla de Sarrus Para determinar, de forma rápida, el determinante de una matriz de orden 3. 

 Para matrices de orden superior usaremos una compilación de propiedades.  ● El determinante de la matriz transpuesta es igual al

determinante de la matriz original A. En símbolos, |AT |=|A|  ● Si se multiplica a todos los elementos de una línea cualquiera (fila o columna) de una matriz A por una constante α, el

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determinante de dicha matriz queda multiplicado por α.  Si se multiplica a todos los elementos de una matriz A de orden n por una misma constante α, el determinante de dicha matriz queda multiplicado por αn. En símbolos: |α.A|=αn.|A|  Si en una matriz A se cambian dos líneas paralelas entre sí, el determinante cambia de signo.  El determinante de una matriz diagonal o de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.  El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de dichas matrices. En símbolos:|A .B|=|A|.|B|  Si, en una matriz cuadrada A, a los elementos de una línea cualquiera les sumamos los elementos de otra línea paralela, previamente multiplicada por una misma constante o escalar α, el determinante de dicha matriz no se modifica.  El determinante de una matriz es cero sí -y sólo sí- sus líneas paralelas (filas o columnas) constituyen un conjunto de vectores L. D. 



Regla de Cramer También llamado método de los determinantes para resolver sistemas. Para aplicar esta regla, se deben calcular el determinante de la matriz de coeficientes y el de la matriz asociada a cada una de las incógnitas. 





 

Sistemas de ecuaciones equivalentes  Dos o más sistemas se dicen que son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Propiedad fundamental de equivalencia entre sistemas  Cuando resolvemos una ecuación o un sistema de ecuaciones estamos transformando nuestro sistema en otro sistema equivalente, cuya solución sea más fácil de hallar.   Las operaciones que transforman sistemas en sistemas equivalentes son: ● Adicionar a una de sus ecuaciones el producto de una constante no nula por otra de sus ecuaciones.  ● Multiplicar una ecuación por una constante no nula.  ● Intercambiar el orden de las ecuaciones. 

Si estas ideas las volcamos a conceptos matriciales se tienen las operaciones elementales por filas sobre matrices.  ● Operaciones elementales sobre matrices Las operaciones elementales por fila son: - Intercambio de dos filas paralelas. - Multiplicación de una fila por una constante no nula. - Adición a una fila, otra fila paralela previamente multiplicada por una  escalar distinto de cero.  ● Matrices equivalentes Dos matrices A y B se dicen equivalentesporfilassiunaseobtienea partirde  la otra, a través de una cantidad finita de operaciones elementales por fila. A~B  ● Matrices elementales Se llama matrices elementales a las matrices que se obtienen apartir  de la  matriz identidad realizando solo una de las operaciones elementales.

Se puede demostrar que la relación de equivalencia es transitiva, es decir, si A~B y B~C podemos asegurar que A  ~C.

Inversa de una matriz SI hay una matriz cuadrada A, y existe otra matriz cuadrada B del mismo orden , que cumpla con que: AxB=BxA=I Entonces B es la matriz inversa de A y se simboliza B = A-1 Recíprocamente A es la inversa de B

Existencia de la Inversa Se dice que A es inversible si y sólo si su determinante es distinto de cero. En caso de existir, esta es única. 

Matriz singular. Matriz regular Se dice que A es singular si su determinante es igual a cero. Se dice que A es regular si su determinante distinto de cero. 

Método de Jordan para obtener la inversa de una matriz 

Se parte de una matriz A que se amplía con la matriz identidad del mismo orden y se realizan las operaciones elementales sobre toda esa matriz ampliada hasta obtener como equivalente a la matriz A, la matriz identidad. 

 

Propiedades de la inversa  El producto de dos matrices inversas es conmutativo.



La inversa de un producto de matrices inversibles es igual al producto de las inversas en orden invertido.



La inversa de la matriz inversa es igual a la matriz original.

 La inversa del producto entre un escalar distinto de cero y una matriz es igual al producto entre la recíproca del escalar y la inversa de dicha matriz.

 La inversa de la transpuesta de una matriz es igual a la transpuesta de la inversa de dicha matriz.

 El determinante de la matriz inversa es igual al recíproco del determinante de la matriz original.



La inversa de una matriz diagonal regular es otra matriz diagonal que tiene en la diagonal principal a los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original.

 

Método de la inversa para resolver sistemas de ecuaciones -1

X=A

×B

  Módulo 4 

RANGO DE UNA MATRIZ 

El rango de una matriz A de orden m  xn está dado por el número máximo de líneas  paralelas  linealmente  independientes  que  posee  la  matriz.  Se simboliza:  r (A)  Se puede considerar el rango fila (cuando se cuenta el número máximo de filas linealmente independientes) o el rango columna (cuando se cuenta el número máximo de columnas linealmente independientes).



Algunos teoremas que suelen ser útiles cuando pensamos en el rango de una matriz se describen a continuación:  ● Rango fila es igual al rango columna  ● Matrices equivalentes por filas tienen el mismo rango Al realizar operaciones elementales por fila, la matriz no cambia el rango. Recordemos cuales son las operaciones elementales: - Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero. - Intercambiar filas entre sí. - Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar distinto de cero.

Entonces,  para  poder  determinar  el  rango  suele  ser  conveniente  efectuar sobre la matriz operaciones elementales por filas hasta encontrar una matriz  escalonada o una matriz  escalonada  reducida  por fila, en este caso el  rango será igual a todas las filas no nulas.

● Matriz escalonada Una matriz A se denomina escalonada cuando: - el primer elemento no nulo de cada fila es 1(pivote). - cada fila no nula tiene más ceros a la izquierda del pivote que la anterior. - si hay filas nulas, estas se ubican enlaparteinferiordela matrizcomo  últimas filas.  ● Matriz escalonada reducida por fila Una matriz A se denomina escalonada reducida por filas cuando: - el primer elemento no nulo de cada fila es 1(pivote). - cada fila no nula tiene más ceros a la izquierda del pivote que la anterior. - todos los elementos que están por encima y por debajo del pivote son ceros. - si hay filas nulas, estas se ubican como últimas filas.



Fábrica de ceros: Fa + Fb x cte

Fabrica de unos: Fa x cte

Propiedades del rango de una matriz 1. El rango de una matriz A de orden mxn no excede el número de filas o columnas que esta posee.  2. El rango de la matriz identidad es igual al orden de la matriz.  3. El rango de la matriz nula es igual a cero.  4. El rango de una matriz regular es igual al orden de la matriz.  5. El rango de una matriz es igual al rango  de su transpuesta.  6. El rango del producto entreunescalardistintodeceroy una matriz es igual al rango de dicha matriz.  7. El rango de un producto dematricesesmenoroigualal menor de los rangos de las matrices factores. 

Relación entre  características de las matrices de coeficientes de un sistema cuadrado de ecuaciones





Sistemas generales de ecuaciones lineales en forma de ecuación matricial Llamamos  ecuación  lineal  o  ecuación  de  primer  grado a  una igualdad  que relaciona a ciertos coeficientes, por lo general números reales, conunaomás incógnitas,  teniendo  en  cuenta  que  estas  incógnitas aparecen elevadas a la primera potencia.

a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + …………anxn=b

Buscar la solución de una ecuación es encontrar el conjunto de valores x1,x2, x3………….xn que satisfagan la ecuación. Si  trabajamos  con  varias  ecuaciones  relacionadas  entre  sí,  formarán  un sistema de ecuaciones lineales,  donde  la  solución  hallada debe satisfacer a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. En forma general, el sistema se expresa como:

Podremos  realizar  la  representación  matricial  del  sistema  de  la siguiente forma:



A .X=B Donde a es la matriz de coeficientes del sistema, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes.



Existen  otras  maneras de escribir  las  ecuaciones,  como  una  relación  entre matrices o vectores. Veamos, a continuación, algunas de ellas:

Matriz ampliada del sistema de ecuaciones La matriz ampliada del sistema surge de agregar el vector de términos independientes a la matriz de coeficientes. La denotaremos . En forma general, la matriz ampliada será:

Forma vectorial de un sistema de ecuaciones



Partiendode estas formas, buscaremos maneras de escribir el sistemapara que sea fácil su interpretación y resolución.

● Sistemas de ecuaciones equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales se denominan equivalentes cuando la solución de uno de ellos es también solución del otro. Para solucionar un sistema de ecuaciones, es necesario sustituir dicho sistema por otro equivalente de manera tal que nos conduzcarápidamentea su solución.  ● Propiedad de la equivalencia Se puede obtener un sistema equivalente a otro si: - Se le adiciona, a una de las ecuaciones, el producto de una constante no nula por otra de las ecuaciones. - Se intercambian el orden de las ecuaciones. - Se multiplica una ecuación por una constante distinta de cero.



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Homogéneo: Sus términos independientes son todos iguales a cero. No homogéneo: Sus términos independientes no son todos iguales a cero. Cuadrado: Posee igual número de ecuaciones que de incógnitas. Rectangular: Posee distinto número de ecuaciones y de incógnitas. SCD: Posee única solución. SCI: Posee infinitas soluciones. SI: No posee solución.







Teorema de Rouche Frobenius Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas será compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada correspondiente.

Luego r(A) = r(A│B)= 3 y el sistema, por el teorema, sería compatible.  El corolario que se desprende del teorema para saber si es determinado es el siguiente:  Sistema compatible determinado  Un sistema de m ecuaciones linealesconnincógnitasescompatibledeterminado si  y sólo si el rango de la matriz del sistema y la ampliada es igual al número  de incógnitas. En símbolos: r(A) = r(A│B) = n



Método de Gauss Jordan El método de Gauss-Jordan consiste en partir de la matriz ampliada del sistema y, mediante operaciones elementales por filas sobre dicha matriz, se busca la matriz escalonada reducida de A por filas. Con ello, se obtiene la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones equivalente al original pero cuya resolución es prácticamente inmediata y cuya caracterización en cuanto al tipo de soluciones resulta de aplicar el Teorema de Rouche – Frobenius.

Es  unmétodo de resolución de sistemasdeecuaciones lineales que se puede aplicar SIEMPRE

 ...