RGT TUT 06 - Sechstes Übungsblatt meines Regelungstechnik Tutoriums PDF

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Sechstes Übungsblatt meines Regelungstechnik Tutoriums...

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Hochschule Hannover Fakultät 1 – Elektro- und Informationstechnik

Regelungstechnik Tutorium

Daniel Tappe [email protected]

Theoretische Grundlagen Standardisierte Entwurfsverfahren ➢ Ziel: • Für bekannte, häufig vorkommende Strukturen sollen „standardisierte“ Regler- Entwurfsverfahren gefunden werden. Betragsoptimum / Dämpfungsvorgabe Reglerentwurf anhand des offenen Regelkreises ➢ Benötigte Form zur Anwendung des Verfahrens: Nach Kompensation von Regler-ÜF und Strecken-ÜF muss 𝐹0 (𝑠) IT1 verhalten aufweisen 𝐹0 (𝑠) =

 𝐾 𝐾 𝑠 𝑇𝐸 𝑠 + 1

𝐾= Reglerverstärkung 𝐾= Verstärkung der Strecke / des zu regelnden Systems 𝑇𝐸 = Zeitkonstante der Strecke / des zu regelnden Systems ➢ Offene Regelkreise dieser Form führen auf PT2 Führungsübertragungsfunktionen o Für 𝐷 = • •

1 √2

ist der Regelkreis „betragsoptimal“

𝐹𝑤 (𝑠) ist so dicht an 1 wie möglich (minimaler Regelfehler) 𝐹𝑤 (𝑠) weist im Betragsoptimum kein Maximum auf!

o Für 𝐷 <

1

√2

ergibt sich eine Betragsüberhöhung

Abbildung 1: Betragsoptimum (Quelle: RGT Skript von Prof. J.P. Blath)

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➢ Die Reglerverstärkung berechnet sich zu: = 𝐾

1 𝐾𝑇𝐸 4𝐷2

𝐷= Dämpfung / Dämpfungsvorgabe ➢ Des Weiteren gilt (gut für die Formelsammlung!): 𝐷=

1  𝐾𝑇𝐸 2√𝐾

o Die ungedämpfte Eigenfrequenz des geschlossenen Regelkreises ergibt sich zu: 𝜔0 =

1 2𝐷𝑇𝐸

➢ Resultat des Verfahrens  wird so bestimmt, dass der geschlossene Regelkreis die vorgegebene 𝐾 Dämpfung aufweist o Für den geschlossenen Regelkreis (𝐹𝑤 (𝑠)) ergibt sich PT2-Verhalten o PT2-Systeme sind schwingungsfähig o Folge: Dämpfung benötigt!

➢ Weitere Hinweise zur Dämpfungsvorgabe o Für integrierende Strecken sind keine integrierenden Regler möglich! (siehe symmetrisches Optimum) o Falls 𝐹0 (𝑠) nicht ausreichend kompensiert werden kann: • Ersatzmodell mit Summenzeitkonstante

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Symmetrisches Optimum Reglerentwurf anhand des offenen Regelkreises ➢ Die Idee: Maximierung der Phasenreserve ➢ Benötigte Form zur Anwendung des Verfahrens (nach Kompensation):  𝐹0 (𝑠) = 𝐾

𝑇 𝑠 + 1 𝐾 𝑠 𝑠(𝑇𝐸 𝑠 + 1)

Hinweis: Für 𝑇 = 𝑇𝐸 folgt 𝐹0 (𝑠) =

𝐾𝐾 𝑠2

Woraus wiederum folgt: ∠𝐹0 (𝑗𝜔) = −180° Somit wäre 𝜑𝑅 = 0 und der geschlossene Regelkreis wäre grenzstabil! ➢ Hier gilt deshalb:  = 𝑎 2 𝑇𝐸 𝑚𝑖𝑡 𝑎 > 1 𝑇 o Für die Vorgabe einer Phasenreserve gilt: 𝑎=

1 + sin (𝜑𝑅 ) cos (𝜑𝑅 )

o Für die Vorgabe eines Dämpfungsmaß gilt: 𝑎 = 2𝐷 + 1 Hierbei bildet D = 0,5 bzw. a = 2 die „Standardeinstellung“

➢ Die Reglerverstärkung ergibt sich dann zu: = 𝐾

1 𝑎 3 𝐾𝑇𝐸 2

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➢ Resultat des Verfahrens

Abbildung 2: Symmetrisches Optimum (Quelle: RGT Skript von Prof. J.P. Blath)

o Der Regler wird so ausgelegt, dass die Phase ihr Maximum bei 𝜔𝑚𝑎𝑥 aufweist • Dabei gilt 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐷 • Mit: 1 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 𝑎𝑇𝐸 ➢ Weitere Hinweise zum symmetrischen Optimum o Üblicherweise Anwendung auf Systeme (Strecken), welche durch Hintereinanderschaltung eines I-Gliedes und ein oder zwei PT1-Gliedern darstellen lassen (I- oder IT-Regelstrecken) o Als Regler wird typischerweise ein PI- oder PID-Regler verwendet o 𝐹𝑤 (𝑠) enthält einen PT2 Anteil • Somit lassen sich die Eigenschaften einen PT2-Gliedes anwenden (siehe „Wiederholung: PT2-Glied“) • Eine genauere Ausführung des PT2 Anteils ist im Skript von Prof. Blath auf Seite 72 zu finden.

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Weitere „Optimierung“ des symmetrischen Optimums Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises enthält Nullstellen, welche unteranderem großes Überschwingen in der Sprungantwort führen

Abbildung 3 Führungssprungantwort bei SO (Quelle: RGT Skript von Prof. J.P. Blath)

➢ Diese Nullstellen lassen sich durch einen Vorfilter kompensieren, wodurch sich die Überschwingweite reduziert.

Abbildung 4 Regelkreis mit Vorfilter (Quelle: RGT Skript von Prof. J.P. Blath)

➢ Die Übertragungsfunktion des Vorfilters berechnet sich zu: 𝑉 (𝑠 ) =

1 𝑎 2 𝑇𝐸 𝑠

+1

Abbildung 5 Effekt des Vorfilters (Quelle: RGT Skript von Prof. J.P. Blath)

ACHTUNG: • Gilt nur für den Reglerentwurf nach dem symmetrischen Optimum! 5 von 11

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PT1 – Näherung • • •

Die aufgeführten Verfahren wurden alle ausgehend von Systemen 1. Ordnung entwickelt. Es wäre allerdings wünschenswert diese klar definierten Verfahren auch auf Systeme höherer Ordnung anzuwenden. Dies erreicht man in dem man im System enthaltene PTn-Anteile durch einen PT1-Anteil annähert.

➢ Die Idee o In der Realität weist jedes System irgendwann Tiefpassverhalten auf o Wenn das Systeme eine dominante Polstelle aufweist, dann wird der Amplitudengang maßgeblich durch diese bestimmt. o Die Näherung sollte auch gelten, wenn keine der Polstellen dominant ist! ➢ Der Ansatz Hier wird die Übertragungsfunktion bewusst nicht in der Pol-Nullstellen-Form dargestellt! Die ursprüngliche Idee dieses Ansatzes ist die 3-dB-Grenzfrequenz, ohne die Berechnung der Polstellen abzuschätzen! o Allgemein gilt: 𝐺 (𝑠 ) =

1 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎 2 𝑠 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑠 𝑛 1 + 𝑏1 𝑠 + 𝑏2 𝑠 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑠 𝑛

o Für 𝑎1 und 𝑏1 gilt: 𝑎1 = 𝑇𝑁1 + 𝑇𝑁2 + ⋯ + 𝑇𝑁𝑛 𝑏1 = 𝑇𝑃1 + 𝑇𝑃2 + ⋯ + 𝑇𝑃𝑛 o Jetzt wird das System angenähert durch: 𝐺 (𝑠 ) =

1 + 𝑎1 𝑠 1 + 𝑏1 𝑠

Über die Pol-Nullstellen-Kompensation kann der Ausdruck vereinfacht werden zu: 𝐺 (𝑠 ) =

1 1 + 𝑇𝐸 𝑠

𝑇𝐸 = 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛𝑧𝑒𝑖𝑡𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑏1 − 𝑎1

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Wiederholung: PT2-Glied

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Beispielaufgabe: ➢ Reglerentwurf nach Betragsoptimum 𝑅 (𝑠) = 𝐾𝑅 (1 + 𝐺 (𝑠 ) =

1 ) 𝑇𝑁 𝑠

𝐾𝑃 (𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1)(𝑇3 𝑠 + 1)

Es gilt: 𝑇1 = 0,1 sec; 𝑇2 = 0,2 sec; 𝑇3 = 0,3 sec; 𝐾𝑃 =0,5

➢ Allgemeines Vorgehen zum Lösen dieser Aufgaben: 1. Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises aufstellen 2. Zeitkonstanten der Strecke mit Zeitkonstante des Reglers kompensieren (falls möglich) 3. Abgleich mit der benötigten Form für das jeweilige Verfahren Falls benötigte Form noch nicht erreicht: • Näherung mit Summenzeitkonstante 4. Koeffizienten Vergleich mit allgemeiner Übertragungsfunktion des jeweiligen Verfahrens 5. Berechnung der Reglerverstärkung

Hinweis: o Sollte der zu verwendende Regler nicht vorgegeben sein, sollte ein Abgleich zwischen der Streckenübertragungsfunktion und der allgemeinen Übertragungsfunktion des jeweiligen Verfahrens erfolgen. o Aus dem Abgleich lässt sich die benötigte Form des Reglers ableiten.

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➢ Lösungsweg:

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Übungsaufgaben Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen!

Aufgabe 1 Für die nachfolgende Strecke ist ein realer PID-Regler nach dem Betragsoptimum auszulegen. Es gilt: 𝐾 =1,5; 𝑇1 = 1,5 sec; 𝑇2 = 0,75 sec; 𝑇3 = 0,5 sec; 𝑇4 =0,1 sec Des Weiteren soll gelten:

𝑇𝑉 ′ 𝑇𝑑

𝐺 (𝑠 ) =

= 10

𝐾 (𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1)(𝑇3 𝑠 + 1)(𝑇4 𝑠 + 1)

Welche ungedämpfte Eigenfrequenz ergibt sich? Wie groß ist die Reglerverstärkung bei einem idealen PID-Regler? Lösung: 𝑇𝑁′=1,5 sec; 𝑇𝑉′ =0,75 sec; 𝐾𝑅 =

20 ; 27

𝜔0 ≈ 1

1 sec

; 𝐾𝑅,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 =

5 6

Aufgabe 2 Mithilfe des symmetrischen Optimums soll ein PI-Regler für folgende Strecke entworfen werden: 𝐺 (𝑠 ) =

𝐾 𝑇0 𝑠(𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1)

Es gilt: 𝐾=2; 𝑇0 = 2,414 sec; 𝑇1 = 1 sec; 𝑇2 = 0,5 sec a) Bestimmen Sie die Reglerparameter, sodass sich eine Phasenreserve von 45° 1 einstellt. Hinweis: 𝑠𝑖𝑛 (45°) = 𝑐𝑜𝑠(45°) = √2

1

Lösung: 𝑇𝑁 = 8,73 sec; 𝐾𝑅 = ; 3 b) Bestimmen Sie die Reglerparameter für die Standardeinstellung 5

Lösung: 𝑇𝑁 = 6 sec; 𝐾𝑅 ≈ 12; c) Entwerfen Sie einen Vorfilter für den Fall unter b)

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Aufgabe 3: Klausuraufgabe

Lösung: b) 𝑇𝑉′ = 𝑇1 ; 𝑇𝑁′ = 9𝑇3 ; 𝐾𝑅 =

𝑇2 3𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝑇3

c) 𝐹0 (𝑠) =

9𝑇3 𝑠 + 1 27𝑇32 𝑠 2 (𝑇3 𝑠 + 1)

d) Drei reelle Pole. (Siehe PT2-Glied) e) 𝑇𝑉 = 𝑇1 ; 𝐾𝑅 =

𝑇2 2𝐾1 𝐾2 𝐾3 𝑇3

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