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Zusammenfassung Regelungstechnik

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Regelungstechnik Zusammenfassung

Inhalt (Stand: 01.08.97) 1 Allgemein .................................................................................................................................................................................2 2 Einschwingvorgang ................................................................................................................................................................4 3 Regelfaktor R ...........................................................................................................................................................................4 4 Pol, Nullstellen, charakteristische Gleichung .......................................................................................................................5 4.1 Allgemein ..........................................................................................................................................................................5 4.2 Pol / Nullstellenplan ..........................................................................................................................................................5 5 Sprungantwort, Impulsantwort ..............................................................................................................................................5 6 Parallele Zweige ......................................................................................................................................................................6 7 Schleifen ..................................................................................................................................................................................6 8 Flühlersche Regel ...................................................................................................................................................................6 9 Verschieben von Eingangsgrössen .......................................................................................................................................7 10 Verschieben von Übertragungsgliedern ..............................................................................................................................7 11 Standardisierte Form ............................................................................................................................................................7 11.1 Allgemein ........................................................................................................................................................................7 11.2 Regler Grundtypen ..........................................................................................................................................................8 11.3 Ideale / reale Regler ........................................................................................................................................................8 12 Wo sind welche Übertragungsglieder möglich ?................................................................................................................8 13 Anfangswertsatz....................................................................................................................................................................8 14 Endwertsatz ...........................................................................................................................................................................9 15 Führungsverhalten / Störverhalten ......................................................................................................................................9 15.1 Allgemein ........................................................................................................................................................................9 15.2 Führungsverhalten ........................................................................................................................................................10 15.3 Störverhalten ................................................................................................................................................................10 16 Störgrössenaufschaltung ...................................................................................................................................................11 16.1 Störtendenzaufschaltung ..............................................................................................................................................11 17 statisches / dynamisches Teilmodell .................................................................................................................................12 18 Forderungen an einen Regelkreis ......................................................................................................................................12 18.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................12 18.2 Gute Regelung ..............................................................................................................................................................12 19 Richtlinien für Bodediagramme .........................................................................................................................................13 19.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................13 19.2 Rekonstruktion des Bodediagrammes ..........................................................................................................................13 19.3 Richtlinien für den offenen Regelkreis ...........................................................................................................................14 20 Stabilität eines Regelkreises ..............................................................................................................................................14 20.1 Was ist „Stabilität“ ? ......................................................................................................................................................14 20.2 Allgemeine Definitionen ................................................................................................................................................15 20.3 Nyquist-Kriterium ..........................................................................................................................................................15 20.4 Hurwitz-Kriterium (ohne Bodediagramm / Ortskurve) ....................................................................................................16 21 Verbindung offener Regelkreis geschlossener Regelkreis .......................................................................................17 21.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................17 21.2 Abschätzung des Betragsverlaufes ...............................................................................................................................18 22 Auswahl des Regler-Typs ...................................................................................................................................................18 22.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................18 22.2 Einstellregeln nach Ziegler & Nichols ............................................................................................................................19 22.3 Weitere Verfahren.........................................................................................................................................................19 22.4 Dimensionieren eines Reglers ......................................................................................................................................20 23 Regelkreisgüte ....................................................................................................................................................................20 23.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................20 23.2 lineare Regelfläche .......................................................................................................................................................20 23.3 quadratische Regelfläche..............................................................................................................................................20 23.4 Betragsfläche ................................................................................................................................................................20 23.5 Zeitgewichtete absolute Regelfläche .............................................................................................................................20 24 Zustandsraumdarstellung (ZRD) ........................................................................................................................................21 24.1 Allgemein ......................................................................................................................................................................21 24.2 Normalformen ...............................................................................................................................................................22  1997 by I. 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24.3 Transformationen ..........................................................................................................................................................23 24.4 Steuerbarkeit (Föllinger S.446) .....................................................................................................................................28 24.5 Beobachtbarkeit (Föllinger S.451) .................................................................................................................................28 24.6 Bilden der Übertragungsfunktion im Zustandsraum.......................................................................................................28 24.7 Transitionsmatrix...........................................................................................................................................................29 24.8 Bestimmen der Ausgangsgrösse y................................................................................................................................29 24.9 Reglerentwurf im Zustandsraum (Föllinger S. 464) .......................................................................................................30 24.10 Zustandsbeobachter (Föllinger S. 501) .......................................................................................................................31 25 Matrizen ...............................................................................................................................................................................32 25.1 Bilden der Adjunkte .......................................................................................................................................................32 25.2 Inversion einer Matrix ....................................................................................................................................................32 25.3 Exp( Matrix )..................................................................................................................................................................32

1 Allgemein

Begriff Zustandsgrössen Führungsgrösse Regeldifferenz Stellbefehl Stellgrösse Objekt der Regelung Störgrösse

Erklärung Grössen im Innern des Regelkreises; ändern sich beim Regelvorgang Sollwert w, x s x d =xs - x i y s ; wird aus xd erzeugt y; leistungsstarker Stellbefehl y s Regelgrösse x z wirkt von aussen ein; kann in äquivalente Änderung der Stellgrösse y z umgerechnet werden R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Regelstrecke Messgrössenumformer Regler Stellglied Rückkopplung

statische Genauigkeit dynamische Genauigkeit

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R

R

liegt zwischen y und x wandelt Ist-Wert der Regelgrösse in proportionales Signal um vergleicht Soll- und Ist-Wert => x d und erzeugt ys erzeugt aus y s leistungsstarkes Signal y die Rückkopplung (Rückführung) beeinflusst das gesamte Regelverhalten R

R

R

R

R

Regeldifferenz in Beharrung Abweichung der Regelgrösse x von xs = f(t) während dem Einschwingvorgang R

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R

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Begriff

Erklärung

Direktregler Steuern Regeln

Regler ohne Hilfsenergie open loop control closed loop control

MIMO SISO LZI

multiple input, multiple output single input, single output linear zeitinvariant • Superposition möglich • ist proportional • Frequenz bleibt konstant linear zeitvariant ω=0 liegt in der Ortskurve auf der reellen Achse, xd (∞)=0, z.B. PT 1 liegt am nächsten beim Ursprung System n-ter Ordnung => Nennerpolynom ist n-ten Grades geht bis zur Eckfrequenz (-3dB Punkt) 1 ; K P = tanα xP = KP linke Halbebene (des Koordinatensystems) rechte Halbebene (des Koordinatensystems) bounded input, bounded output (begrenzte Signale am Eingang, begrenzte Signale am Ausgang => Endwert) Padé-Approximation („unendliche“ Reihe von PT1 -Gliedern; Föllinger S.412) Von allen Systemen mit derselben Betragskennlinie hat ein Minimumphasensystem die kleinste Phasenverschiebung (Totzeitglied); vgl Buch S. 194) alle Pole & Nullstellen in LHE Allpässe (Nullstellen in RHE, symmetrisch zu den Polen) 1 − T ⋅s z .B . G (s ) = ; ist BIBO stabil 1+ T⋅ s

LZV System mit Ausgleich

R

R

R

dominante Zeitkonstante Ordnung Bandbreite P-Band LHE RHE BIBO Totzeitapproximation

R

Minimumphasensystem

Nichtminimumphasensystem

R

wenn: • x s ≈ konst: Festwertregelung • x s = f(t): Folgeregelung, Nachlaufregelung R

R

R

R

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Einschwingvorgang

2 Einschwingvorgang Ziel: Regelfläche A soll minimal sein.

Symbol ∆x m1 t A|a% t a|a% x d (∞) Te R

R

R

R

R

R

Bedeutung 1. Überschwingweite: ∆xm1 / x(∞) (bezogen auf Ist-Endwert) Anregelzeit; Zeit, bis 1. Mal im Toleranzband (Schnelligkeit) Ausregelzeit; Zeit, ab dann immer im Toleranzband (Dämpfung) Regeldifferenz in Beharrung; Mass für Genauigkeit 2π ; stimmt für grenzstabile Systeme genau (ω0 =ωD ) ω0 ≈ Te R

R

R

R

R

R

3 Regelfaktor R R=

Betrag der Regeldifferenz xd2 (∞ ) mit Regelung xd2 (∞) = ∆ xz ( ∞ ) Betrag der Änderung ∆x z ( ∞) ohne Regelung

beachte: 0 < R < 1 • R=0: am besten • R=1: am schlechtesten

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Pol, Nullstellen, charakteristische Gleichung

4 Pol, Nullstellen, charakteristische Gleichung 4.1 Allgemein Übertragungsfunktion G(s ) =

Z (s ) N (s )

• Z(s) = 0: Nullstellen • N(s) = 0: Polstellen, charakteristische Gleichung wenn ein Pol im Ursprung liegt, so erfolgt kein Ausgleich. 4.2 Pol / Nullstellenplan für 0 < d < 1: d = sinϕ = ω0 =

δ ω0

1 = δ 2 +ω 2 T

ω0 : natürliche Frequenz, Frequenz an Stabilitätsgrenze R

R

5 Sprungantwort, Impulsantwort Die Sprungantwort und die Impulsantwort wird am Beispiel PT1 Regler untersucht: K G (s ) = 1 + Ts Sprungantwort v 1 (t) R

Impulsantwort v 2 (t)

R

R

L

u1( t) = σ ( t) => v1( t) → V1( s) =

v 1 (t ) = K (1 − e

−

t T

1 ⋅ G( s) s

L

u2 (t ) = δ (t ) => v 2 (t ) → V2 (s ) = 1⋅ G(s )

v 2 (t ) =

)

R

K − Tt ⋅e T

v 2 ( t ) = v 1( t ) = g( t ) = h (t )

g(t): Gewichtsfunktion, Impulsantwort

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Parallele Zweige

6 Parallele Zweige

G1

+ v

u

v = u ⋅ ( G 1 + G 2) = u ⋅ G

+ G2

7 Schleifen u

G=

v (+)

G1

r

G1 Z( s) = 1+ (− )G1G2 N( s)

Z(s): direkter Weg von „u“ nach „v“ N(s): Schleife von „u“ über „r“ wieder nach „u“ +1 wegen Rückkopplung

G2

8 Flühlersche Regel w +

1 G1

8

2 G2

9 +

-

+

3 G3

10

-

4 G4

n

5 G5 6 G6 7 G7

Berechnung prinzipiell:

Berechnung hier: G (s ) =

G1G 2G 3G 4 1 + G3 G4G 5 + G 2G 3G 6 + G 1G 2G 3G 4G 7

Beachte: Minuszeichen bei Summenpunkten können verschoben werden. Dadurch werden die Vorzeichen von nachfolgenden Summenpunkten invertiert.

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Verschieben von Eingangsgrössen

9 Verschieben von Eingangsgrössen

z

1 u

z

Gz

+ 2

u

3

+

Gz =

+ v*

v=v*+z

1 Gv

4

Gv

+

10 Verschieben von Übertragungsgliedern u w

x

d G1

+

G0 = G1G 2

-

G2

x

w 1/G2

x

s

u

d G2

+

d

x G1

-

G=

1 G0 ⋅ G 2 1+ G 0

x

11 Standardisierte Form 11.1 Allgemein Jedes Übertragungsglied kann in die standardisierte Form gebracht werden. Z(s): Polynom m. Ordnung 1+ b 1s + b 2s 2 + b 3s 3+ ... K Z (s ) = r⋅ G (s ) = K ⋅ 2 3 N(s): Polynom n. Ordnung 1+ a1 s + a2 s + a3 s + ... s N(s ) Ist nur realisierbar, wenn m ≤ n

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Wo sind welche Übertragungsglieder möglich ?

11.2 Regler Grundtypen P-Verhalten

v(∞ ) = K ⋅ u0

r=0

mit Ausgleich

I-Verhalten

v(∞ ) = ∞

r>0

ohne Ausgleich

D-Verhalten

v(∞ ) = 0

r

x dF

2 +

-

-

1 G0

G 0 = G 1G 2G 3G 4 ;alle Übertragungsglieder

Regler P

G dF =

in Beharrung 1 x d (∞ ) = x s0 ⋅ 1+ K sr x ( t) 1 lim d = lim = lim r =0 t →∞ x s→0 K s →0 s + K s 1+ r s

I

x dF (s) 1 = x s (s) 1 + G0

Ergebnis bleibende Regeldifferenz (Propo...