Riassunto teoria Fisica I PDF

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Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32Teoria Orale Fisica ILezione 1Teoria degli erroriUna misura è un’osservazione di una grandezza fisica X attraverso la comparazione con un campionemediante strumenti appositi. Il risultato che si ottiene è dato da Xstima +- incert...

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Teoria Orale Fisica I Lezione 1 Teoria degli errori Una misura è un’osservazione di una grandezza fisica X attraverso la comparazione con un campione mediante strumenti appositi. Il risultato che si ottiene è dato da Xstima +- incertezza sull’unità di misura. Per quanto riguarda Xstima si tratta del risultato letto sullo strumento o ricavato dall’elaborazione statistica di un certo numero N di letture dello strumento (es. media). L’unità di misura che segue il numero consiste nella comparazione con un campione di riferimento. L’incertezza quantifica invece quanto la stima della misura sia accurata e precisa.

Lezione 2 Teoria degli errori L’incertezza sull’unità di misura viene indicata con δX che si assume essere l’incertezza dovuta ad errori casuali, cioè errori accidentali. Le cifre significative con cui esprimere la misura dipendono dalle cifre significative usate per rappresentare l’incertezza. Il valor medio è considerato la miglior stima di una grandezza misurata N volte. Si definisce scarto di ciascuna misurazione effettuata la differenza tra la misurazione i-esima e il valor medio ottenuto da tutte le misurazioni effettuate. Bisogna però tenere conto del fatto che la sommatoria degli scarti non può essere considerata una buona misura di incertezza in quanto per qualunque misura la sommatoria degli scarti è pari a zero.

Inoltre, bisogna ricordare che la media sugli scarti non è una buona misura dell’incertezza media. L’incertezza media su una singola misura può invece essere calcolata tramite la deviazione standard o la varianza (deviazione standard al quadrato).

L’incertezza sul valor medio può quindi essere espressa attraverso la deviazione standard sul valor medio. Per il Teorema del Limite Centrale si ha che: “Per valori grandi di N, l’insieme di tutte le possibili medie campionarie di campioni di N dati hanno approssimativamente una distribuzione normale di media µ e deviazione standard σ/√N, dove µ e σ sono rispettivamente media e deviazione standard della popolazione da cui si sceglie il campione”. Metodo dei minimi quadrati

Supponendo di misurare con strumenti appropriati due grandezze fisiche a cui si associano due variabili X e Y e supponendo di avere una relazione lineare data da Y = A + BX, per stimare i due parametri date diverse misure di x e y, si può utilizzare il metodo della regressione lineare o adattamento dei minimi quadrati per una retta. Il metodo dei minimi quadrati si può estendere per la stima dei parametri di un polinomio.

Lezione 3 Cinematica Un sistema di riferimento (SR) è una porzione di universo isolabile dove si possono compiere misurazioni, è diverso dal sistema di coordinate (SC). Un punto materiale è un oggetto di dimensioni molto piccole rispetto al SR, è in moto se le misure della sua distanza rispetto a un punto fisso nel SR variano. Il moto di un punto materiale può essere rappresentato in un piano cartesiano che abbia sulle ascisse il tempo e sulle ordinate x(t). La velocità media del punto materiale può essere espressa come rapporto tra Δx e Δt, dove il primo è lo spostamento e il secondo è l’intervallo temporale in cui lo spostamento avviene. Nel Sistema Internazionale la velocità media si misura in m/s, può anche essere misurata in km/h. Per distinguere moti con la stessa velocità media si può considerare la velocità istantanea che è data dalla derivata prima di x(t) rispetto al tempo. Dal punto di vista geometrico la velocità istantanea in un dato momento t0 è la pendenza della retta tangente alla curva in un dato punto x0.

Lezione 4 Cinematica La legge oraria del moto di un punto materiale è data dalla somma dello spostamento all’istante iniziale x(t0) e l’integrale tra l’istante iniziale e un certo istante t della velocità in dt. Il grafico velocità-tempo rappresenterà quindi il grafico della derivata della curva nel grafico spostamento-tempo. L’accelerazione media di un punto materiale è definita come il rapporto tra Δv e Δt. Le dimensioni fisiche dell’accelerazione media nel SI sono m/s2. Anche in questo caso si può parlare di accelerazione istantanea che è la derivata prima della velocità rispetto al tempo e quindi anche la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo. L’accelerazione istantanea è la pendenza della retta tangente la curva v(t) a un certo istante t0. Si aggiunge quindi una nuova legge oraria del moto in una dimensione del punto materiale che è data dalla somma della velocità all’istante iniziale t0 e l’integrale tra l’istante iniziale e un certo istante t dell’accelerazione in dt. Da qui si può ricavare la legge oraria del moto uniformemente accelerato che è x(t) = x0 + v t + ½ a t2, mentre la velocità nel moto uniformente accelerato diventa v(t) = v0 + a t. Un esempio di moto in una dimensione è il moto di caduta di un grave che è un moto uniformemente accelerato con accelerazione pari in modulo a g (forza di gravità).

Lezione 5 Moti in 1D

Altro esempio di moto in 1D è il moto smorzato, in questo caso l’accelerazione è pari a a(t) = -k v(t), con [k] = [T-1], la velocità v(t) = v(0) e-k t e lo spostamento x(t) = x(0) + v(0)/k (1 – e-k t).

Il moto armonico semplice è un moto che avviene in una dimensione e che fa oscillare il punto materiale intorno alla sua posizione di equilibrio. L’equazione dello spostamento è x(t) = A sin(ωt + ϕ), dove A è l’ampiezza espressa in m, ω è la pulsazione espressa in rad/s, ϕ è la fase iniziale espressa in radianti, cambiare la fase è equivalente a ridefinire l’origine dei tempi. Il valore del seno varia tra -1 e 1, quindi il punto materiale si muove tra A e -A rispetto all’origine.

Il periodo dell’oscillazione può essere calcolato come T = 2π/ω espresso in secondi. La velocità nel moto armonico semplice può essere ricavata come derivata rispetto al tempo dello spostamento, quindi v(t) = ωA cos(ωt + ϕ) e l’accelerazione è la derivata seconda dello spostamento o la derivata prima della velocità e quindi a(t) = -ω2A sin(ωt + ϕ). La velocità ha valore massimo nel centro di oscillazione dove vale ωA e si annulla agli estremi, dove si inverte il senso del moto. L’accelerazione si annulla nel centro di oscillazione e assume valore massimo agli estremi (|ω2A|). Essendo a(t) = -ω2x(t) ed essendo a(t) = d2x/dt2, si ricava d2x/dt2 + ω2x(t) = 0 che è l’equazione differenziale del moto armonico. Vettori Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla moltiplicazione del modulo dei due vettori per il coseno dell’angolo compreso tra i due. Il prodotto vettoriale è dato invece dalla moltiplicazione del modulo dei due vettori per il seno dell’angolo compreso tra i due.

Lezione 7 Moti in 2D e 3D Il moto parabolico è un esempio di moto in due dimensioni per cui si possono dividere le equazioni del moto sui due assi x e y di un sistema cartesiano scelto come riferimento. In generale si ha che un moto parabolico, per esempio di un oggetto lanciato con una certa velocità iniziale inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale e quindi soggetto alla forza di gravità, sarà dato da vx(t) = v(0) cos α, vy(t) = v(0) sin α. Lungo x si avrà un moto rettilineo uniforme, mentre lungo y un moto uniformemente accelerato. La gittata in un moto parabolico può essere calcolata uguagliando la componente x e la componente y dello spostamento all’istante zero e ponendola uguale a zero. In questo modo si può ricavare il tempo impiegato dal corpo per percorrere la gittata che, se sostituito nell’equazione del moto lungo l’asse x, ci fornisce la gittata in metri.

Altra tipologia di moto in due dimensioni è il moto circolare uniforme, per cui il punto materiale si muove lungo una circonferenza con velocità costante. Formalmente il moto circolare uniforme è dato da due moti armonici semplici nelle due direzioni degli assi del sistema cartesiano.

L’accelerazione normale o centripeta è sempre diversa da zero. La velocità angolare ω è data dal rapporto tra la velocità e il R della circonferenza su cui il punto materiale si muove, mentre il periodo T = 2π/ω. Le equazioni del moto circolare uniforme sono:

Il moto circolare uniformemente accelerato è un moto in due dimensioni in cui il punto materiale si sposta su una circonferenza di raggio R, la differenza rispetto al moto circolare uniforme è che in questo caso l’accelerazione tangenziale non è nulla e bisogna perciò introdurre l’accelerazione angolare α. L’accelerazione angolare è data dall’accelerazione tangenziale fratto R e si misura in rad/s2. L’accelerazione istantanea in questo caso è pari a:

Le equazioni del moto circolare uniformemente accelerato diventano:

Lezione 10 Moti relativi La descrizione del moto dipende dal sistema di riferimento, nel caso in cui si abbiano due sistemi di riferimento diversi, in cui uno si trova in una particolare posizione rispetto a un altro, le leggi del moto potrebbero cambiare. Per questo si introducono le leggi di trasformazione tra sistemi di riferimento così da poter determinare spostamento, velocità e accelerazione in un sistema oppure nell’altro. Consideriamo quindi un sistema di riferimento SR e un sistema di riferimento SR’. Le leggi di trasformazione tra i due sistemi saranno:

In particolare, la velocità v o’ (t) è detta velocità di trascinamento, che più precisamente è pari a:

Per l’accelerazione vale invece la seguente formula:

Un SR inerziale è un sistema in cui un punto materiale in moto nel SR si trova a distanza molto grande da qualunque altro oggetto e si muove di moto rettilineo uniforme (la velocità può essere anche pari a zero). Nel caso di due SR, si ha la seguente definizione: SR’ è un SRI se e solo se il punto materiale isolato si muove in modo rettilineo uniforme rispetto ad esso, ovvero di moto rettilineo uniforme rispetto al SRI. I SR non inerziali sono quei sistemi che hanno un moto accelerato (uniforme o meno) rispetto a un SRI. Dinamica del punto materiale Limiti di validità delle 3 leggi: valgono nei sistemi di riferimento inerziali, le velocità non devono essere prossime a quelle della luce, gli oggetti in studio non devono avere una massa comparabile o inferiore a quella atomica. La prima legge della dinamica, detta anche Legge d’inerzia o prima legge di Newton, dice che in un SRI vale il principio di inerzia, ovvero un corpo isolato (non soggetto a forze o soggetto a forze la cui risultante è nulla) in quiete resta in quiete, mentre un corpo in moto rettilineo uniforme continuerà a muoversi con moto rettilineo uniforme. La seconda legge della dinamica, o seconda legge di Newton, dice che se un corpo di massa m in un SRI si muove con accelerazione a, è soggetto a una forza pari a F = ma. L’effetto della forza è quello di imprimere un’accelerazione a un oggetto. La forza si misura in N, 1 N = 1 kg m/s2. Da questa legge si può dedurre che date n forze Fi agenti su un corpo di massa m in un SRI, la forza totale agente su di esso è data dalla sommatoria delle n forze = sommatoria delle n accelerazioni per la massa del corpo. La massa è anche detta massa inerziale, ovvero l’inerzia dell’oggetto a variare il proprio stato di moto. La terza legge della dinamica, o principio di azione e reazione, dice che l’interazione tra due corpi 1,2 di massa m1, m2 in un SRI produce una forza F21 = m1a1 sul corpo 1 e una forza uguale in modulo e contraria in verso F12 = m2a2 = -F21 sul corpo 2.

Lezione 11 Dinamica Per quanto riguarda le forze applicate a corpi, il punto di applicazione del vettore forza è la posizione del punto materiale a cui viene applicata la forza, non è la posizione del punto materiale che applica la forza. In generale, la forza esercitata da un corpo non è rilevante nella descrizione del suo moto, al contrario, è la reazione uguale e contraria esercitata su tale corpo a contribuire nella definizione delle equazioni del moto del corpo. Per generalizzare la prima legge di newton si può sostituire il termine “forza” con “risultante delle forze”, per cui si ha che la risultante delle forze applicate a un corpo è pari alla massa del corpo moltiplicata per la sommatoria delle accelerazioni.

Se un corpo soggetto all’azione di una forza (o della risultante delle forze) resta fermo, allora deve esserci una reazione dell’ambiente circostante che prende il nome di reazione vincolare. La reazione vincolare N è un forza uguale e opposta a una forza esercitata da un corpo, generalmente ha l’effetto di limitare il moto del corpo nello spazio. Il vettore quantità di moto è un vettore dato dal prodotto della massa per il vettore velocità, si misura in Ns. La seconda legge della dinamica può essere riformulata in modo più generale vedendo la forza come una variazione della quantità di moto del corpo, per cui si ha:

Il teorema dell’impulso afferma che l’impulso applicato a un corpo al tempo t è pari alla variazione della sua quantità di moto in quell’intervallo di tempo, ovvero quantità di moto finale meno quantità di moto iniziale.

Da questo consegue direttamente che se la risultante delle forze è nulla allora anche delta p sarà nullo e quindi la quantità di moto si conserva in quell’intervallo di tempo. Riassumendo, le tre leggi di Newton nella loro forma generale sono:

Esempi di forze Un primo esempio di forza è la forza peso che è la forza dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra sui corpi. In generale, è esercitata da tutti i corpi, ma nella maggior parte dei casi è trascurabile. L’unica forza di attrazione gravitazionale che è apprezzabile è quella dovuta ai pianeti. La forza peso è data dal prodotto della massa del corpo per l’accelerazione di gravità g. Per quanto riguarda l’equazione del moto, un corpo soggetto alla sola forza peso sperimenta un’accelerazione pari a g, quindi il moto sarà di tipo uniformemente accelerato. La reazione vincolare alla forza peso è la reazione che si oppone alla forza peso quando un corpo è a contatto con un altro, ad esempio un piano (orizzontale o inclinato) o la superficie terrestre. Se il corpo è in quiete, la reazione vincolare è pari alla forza peso in modulo e opposta in verso. Per un corpo su un piano inclinato la reazione vincolare alla forza peso è uguale in modulo alla componente y della forza peso, è quindi perpendicolare al piano inclinato. Di conseguenza, l’accelerazione che il corpo subisce non è pari a g ma sarà pari a g moltiplicato per il seno dell’angolo di inclinazione del piano.

Altro esempio di forza è la forza elastica, ovvero la forza di richiamo di una molla che viene spostata dalla sua posizione di equilibrio, richiama la molla verso la sua posizione di riposo. La forza di richiamo elastica è pari a -k Δx, dove k è la costante elastica caratteristica per ciascuna molla e determinata empiricamente, mentre Δx è la distanza da un punto O di equilibrio della molla verso cui la forza è diretta a ogni istante t. La forza elastica è sempre opposta allo spostamento. Un oggetto esteso è un insieme di punti materiali collegati da molle, la conseguenza è che ogni forza applicata agli estremi del corpo si propaga internamente e risulta applicata ad ogni punto interno, un esempio è il filo ideale, ovvero un oggetto unidimensionale di lunghezza fissa. La tensione del filo è la forza esercitata sul filo quando è teso. Lezione 12 Esempi di forze Altro esempio di forza è la forza di attrito, ovvero la forza di contatto che determina la difficoltà a muovere un oggetto. La quantificazione dell’attrito è ottenuta attraverso esperimenti ed è espressa attraverso due coefficienti di attrito, uno per l’attrito statico e uno per quello dinamico. Fisicamente, l’attrito è un fenomeno macroscopico che è dovuto ad interazioni elettromagnetiche fra i costituenti dei materiali. L’attrito statico è la resistenza al cambiamento da uno stato di quiete a uno stato di moto ed è calcolato come prodotto tra μs (coefficiente di attrito statico) e la reazione vincolare. Finché la forza applicata rimane minore o uguale a questo prodotto, il corpo non si muove e la forza di attrito statico è pari alla forza esercitata. Non appena la forza esercitata diventa maggiore del prodotto μsN, il corpo vince la forza di attrito e si mette in moto. L’attrito dinamico è la resistenza al cambiamento in uno stato di moto, per esempio fa da resistenza all’accalerazione. È dato dal prodotto tra il coefficiente di attrito dinamico μd e la reazione normale. Il coefficiente di attrito statico è sempre maggiore o uguale a quello di attrito dinamico, il che conferma quantitativamente che è più difficile mettere in moto un oggetto piuttosto che variare la sua velocità una volta che questo ègià in moto. La forza di attrito può avere verso opposto al moto o stesso verso del moto. L’attrito viscoso è la resistenza al cambiamento di moto in un fluido, che sia liquido o gas. La forza di attrito viscoso è data dal prodotto tra -k costante positiva e la velocità all’istante t.

Lezione 13 Esempi di forze Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale di massa m appeso a un filo inestensibile trascurabile di lunghezza L. Le forze agenti sul punto materiale sono la forza peso e la tensione del filo. Il punto materiale si muove oscillando su un arco di circonferenza di raggio L. La legge oraria del pendolo semplice è espressa nella forma:

è importante ricordare che omega non è la velocità angolare in quanto non si tratta di moto circolare uniforme. Dinamica nei sistemi non inerziali

Ricordando le formule per la trasformazione tra sistemi di riferimento:

Nel caso in cui i due sistemi di riferimento non siano entrambi inerziali, in particolare nel caso in SR sia inerziale e SR’ non lo sia, si avrà che:

Le forze dovute a interazioni tra corpi saranno calcolate come m per a in quanto per loro valgono le leggi di Newton, mentre le forze apparenti non soddisfano le leggi di Newton e dovranno essere calcolate come Fapp = m a’(t) – m a(t). Alcuni esempi di forza apparente sono la forza centrifuga, la forza di coriolis e la forza peso apparente. In merito a quest’ultima, un esempio può essere la forza peso calcolata all’interno di un ascensore, in quanto, a seconda dell’accelerazione dell’ascensore la forza peso avrà valori diversi.

Da qui si possono enunciare i due principi di equivalenza della relatività generale. Il principio di equivalenza debole afferma che la massa inerziale come misura di resistenza a un cambiamento di moto è equivalente alla massa gravitazionale come misura dell’attrazione tra due corpi. Il principio di equivalenza forte, invece, afferma che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, ovvero in qualunque campo gravitazionale si può scegliere un sistema di riferimento non inerziale tale che i risultati di un esperimento sono indipendenti dal campo.

Lezione 14 Dinamica nei SRnI Prendiamo un corpo di massa m che percorre un’orbita circolare intorno a un punto O e due sistemi di riferimento. Il sistema di riferimento SR è fisso e ha origine coincidente con O, il sistema di riferimento SR’ ha anch’esso origine coincidente con O ma ruota rispetto ad esso così come ruota la massa m intorno a O. L’accelerazione subita dal corpo calcolata rispetto ai due sistemi di riferimento non sarà identica, in particolare:

Nel sistema di riferimento SR si osserva il corpo in caduta libera, soggetto all’accelerazione centripeta generata dall’attrazione gravitazionale che è diretta verso il centro della Terra. Nel sistema di riferimento SR’ la forza di gravità è compensata dalla forza centrifuga, uguale in modulo ma opposta in verso all’accelerazione centripeta. Per questo si dice che un satellite come la Luna è in caduta libera attratto dalla Terra, ma non precipita perché nel suo sistema di riferimento l’accelerazione centripeta è compensata dall’accelerazione centrifuga. Lavoro e energia Il lavoro è definito formalmente come prodotto scalare di forza per spostamento e si misura in J = N m. Se la risultante delle forze applicate a un corpo è zero, allora il lavoro fatto sul corpo dalla sommatoria delle forze è nullo.

La potenza può essere definita come potenza media, data dal rapporto tra il lavoro e il tempo, oppure come potenza istantanea ...