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Capitolo 1 Forza eletricaCampo eletrostaico1 ELETTRICHE. ISOLANTI E CONDUTTORI Tra le interazioni fondamentali esisteni in natura la prima ad essere scoperta e studiata quanitaivamente è stata l'interazione gravitazionale. Il modulo della forza gravitazionale, l'espressione:Due corpi di masse m 1 e ...

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Capitolo 1 Forza elettrica Campo elettrostatico 1.1 CARICHE ELETTRICHE. ISOLANTI E CONDUTTORI Tra le interazioni fondamentali esistenti in natura la prima ad essere scoperta e studiata quantitativamente è stata l'interazione gravitazionale. Il modulo della forza gravitazionale, l'espressione:

Due corpi di masse m1

e m2, posti a distanza r molto grande rispetto alle

dimensioni dei corpi stessi, interagiscono con una forza attrattiva la cui intensità è proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. La costante γ = 6.67 · 10-11 Nm2/kg2 descrive l'intensità dell'interazione. Un'altra interazione fondamentale, che gioca un ruolo essenziale nella costituzione della materia, è quella elettromagnetica. Un aspetto particolare dell'interazione elettromagnetica è la forza elettrica. Nel VI secolo a.C. in Grecia antica: si notò che l’ambra, se sfregata con la lana, acquisisce la proprietà di attrarre piccoli oggetti, come piume e paglia, mentre si osservava che alcuni minerali ricchi di ferro attraevano la limatura di ferro, Nel 1600 Gilbert chiamò elettrizzati i materiali che acquistavano la proprietà di attirare i corpuscoli leggeri e forza elettrica la forza che si manifestava. I corpi che si caricano per strofinio sono detti isolanti, in quanto capaci di trattenere la carica elettrica, mentre altri che non trattengono la carica sono detti conduttori. Possiamo spiegare il fenomeno dell’elettrizzazione facendo l’ipotesi che esistano due tipi di carica elettrica. Seguendo una convenzione che risale al fisico statunitense Benjamin Franklin chiamiamo: ■ carica elettrica positiva quella degli oggetti che si comportano come il vetro; ■ carica elettrica negativa quella degli oggetti che si comportano come la plastica.

Diciamo allora che: se due corpi hanno cariche elettriche dello stesso segno, si respingono; invece, se hanno cariche elettriche di segni opposti, si attraggono. L'elettroscopio a foglie L’elettroscopio è uno strumento che indica se un oggetto è carico. È formato da un’asta metallica verticale, collegata in alto a un pomello conduttore e in basso a due foglie conduttrici molto sottili. L’asta e le foglie sono chiuse in un recipiente di vetro che serve da protezione e da sostegno. Un oggetto è carico se, messo a contatto con il pomello dell’elettroscopio, fa divaricare le sue foglie 1.2 STRUTTURA ELETTRICA DELLA MATERIA I fenomeni descritti finora si spiegano in modo coerente con l'ipotesi della preesistenza delle cariche elettriche nei corpi, ovvero con l'ipotesi che i costituenti elementari della materia possiedono carica elettrica. Per le nostre considerazioni possiamo dire che la materia stabile che ci circonda è formata da tre costituenti elementari, il protone p, il neutrone n, l'elettrone e. La massa del protone è eguale alla massa del neutrone , la massa dell'elettrone è 1840 volte più piccola, me= 9.11 · 10-31 kg. I tre costituenti si aggregano in strutture che si chiamano atomi. Precisamente, un certo numero di protoni e neutroni, legati dall'interazione forte, costituiscono il nucleo dell'atomo; attorno al nucleo si muove un numero di elettroni, eguale al numero di protoni, sotto l'azione elettrica attrattiva esercitata dal nucleo. La composizione di un atomo è descritta da due numeri: il numero atomico Z che dà il numero di protoni ed elettroni esistenti nell'atomo; il numero di massa A = Z + N, somma del numero Z di protoni e N di neutroni che formano il nucleo dell'atomo. Poiché il numero di protoni in ogni atomo è eguale al numero di elettroni, la carica elettrica totale, somma delle singole cariche, è nulla e l'atomo quindi è neutro. Le proprietà di massa di un atomo sono rappresentate dal numero di massa. Le proprietà elettriche di un atomo sono invece descritte dal numero atomico Z.

Gli elettroni di un atomo, specialmente quelli periferici, sono più o meno legati al nucleo: da ciò deriva la differenza tra materiali isolanti e conduttori. Negli isolanti gli elettroni sono ben vincolati al nucleo e non possono spostarsi attraverso il corpo: gli isolanti non trasportano facilmente la carica. Nei conduttori alcune delle cariche microscopiche si muovono liberamente. Un processo di carica per strofinio è un processo in cui vengono separate, attraverso un agente meccanico, delle cariche ( elettroni) e trasferite da un corpo ad un altro. Si noti che lo spostamento riguarda un numero intero di elettroni, cioè la carica trasferita può assumere solo valori multipli interi della carica elementare. Prima di uno strofinio due corpi sono tutti neutri, dopo lo strofinio si caricano rispettivamente negativamente e positivamente. Questa proprietà fondamentale è nota come principio di conservazione della carica elettrica: in un sistema elettricamente isolato la somma algebrica di tutte le cariche elettriche rimane costante nel tempo ovvero si conserva. Quando ad un atomo vengono aggiunti o tolti elettroni si forma rispettivamente uno ione negativo o uno ione positivo; in particolare il fenomeno di sottrazione di elettroni di chiama ionizzazione . 1.3 LA LEGGE DI COULOMB Come abbiamo visto, due corpi che hanno cariche dello stesso segno si respingono e due che hanno cariche di segno opposto si attraggono. Se i due corpi sono puntiformi, ciò vuol dire che la forza elettrica dell’uno sull’altro è sempre diretta lungo la linea che li congiunge, ma non ha sempre lo stesso verso.

Se le due cariche sono entrambe positive o entrambe negative, i due vettori forza F e -F puntano verso l’esterno: le forze sono repulsive. Se una delle due cariche è positiva e l’altra è negativa, i due vettori forza puntano verso l’interno: le forze sono attrattive. La legge di Coulomb dice in che misura due cariche puntiformi si attraggono o si respingono. Secondo questa legge:

la forza elettrica che due cariche puntiformi esercitano l’una sull’altra è: ■ direttamente proporzionale a ciascuna carica; ■ inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

La costante k che compare dipende dalla scelta delle unità di misura e dal mezzo in cui le cariche sono immerse, mezzo di norma isolante che per le sue proprietà elettriche viene chiamato dielettrico. Il valore di k nel vuoto; risulta k = 8.9875 · 109 Nm2/C2, Per ragioni pratiche è più conveniente esprimere k come

Ora possiamo quindi scrivere:

( 1.5) Forma vettoriale della Legge di Coulomb

Valore

Carica Elementare e=1.6022*10^-19C

La legge ( 1.5) deve essere scritta in termini vettoriali, trattandosi dell' espressione di una forza. Abbiamo già detto che la direzione della forza è quella della retta congiungente le due cariche puntiformi;

Se q e q0 hanno lo stesso segno ( q q0 > O), la forza ha lo stesso verso di u, è cioè repulsiva,; se invece q e q0 hanno segno opposto (q q0 < O) F ha verso opposto ad u, è attrattiva, In accordo con il principio di azione e reazione la forza che q0 esercita su q è - F. 1.4 CAMPO ELETTROSTATICO Le forze elettriche agenti su una carica q0 dovute alle cariche circostanti si sommano come vettori: vige cioè il principio di sovrapposizione.

Se consideriamo tre cariche puntiformi, fisse in un sistema di riferimento inerziale, q1,q2,q0 La carica q1 esercita la forza F1 su q0 e la carica q2 esercita la forza F2; quando entrambe le cariche sono presenti, la forza F su q0 è data dalla somma vettoriale di F1 e F2 • Per ciascuna forza vale una formula tipo : se indichiamo con r1 e r2 rispettivamente la distanza da q1 a q0 e da q2 a q0 e con u1 e u2 i relativi versori, uscenti dalle cariche, possiamo scrivere.

Generalizzando

Il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di cariche ferme è definito come la forza elettrostatica risultante F che agisce su una carica di prova q0 posta in P divisa per la carica q0 stessa.

Nel sistema internazionale di unità di misura il campo elettrostatico, rapporto tra una forza e una carica, si misura in newton/ coulomb (N/C).In generale nel caso

(1.11) possiamo scrivere Il campo elettrostatico in un punto P prodotto da un sistema discreto di cariche è uguale alle somma dei campi elettrostatici prodotti singolarmente dalla cariche. F ( x, y, z) = q0 E ( x, y, z)

1.5 CAMPO ELETTROSTATICO PRODOTTO DA UNA DISTRIBUZIONE CONTINUA DI CARICHE Abbiamo rilevato che le cariche di interesse nei problemi elettrostatici corrispondono a un numero molto grande di cariche elementari; inoltre nella maggior parte dei casi pratici queste cariche non sono concentrate in un unico punto, o in una regione estremamente ristretta, ma sono distribuite nello spazio con una ben determinata geometria. Tali distribuzioni spaziali di carica sono naturalmente sorgenti di un campo elettrostatico: nelle normali applicazioni non si è interessati tanto alla conoscenza del campo elettrostatico locale che esiste in prossimità di ciascuna carica, quanto piuttosto al al campo elettrostatico medio nei punti distanti dalle cariche, punti dai quali la distribuzione di carica è vista come una distribuzione continua. La distanza in questione deve essere molto grande rispetto alla distanza media tra le cariche elementari, che è dell'ordine di 10-10 m. Se la distribuzione di carica è continua il campo elettrostatico che essa crea in un punto P si può ottenere dividendo, figura 1.18, la carica in elementi infinitesimi dq. Il campo elettrostatico prodotto da dq in un punto P distante r' si scrive utilizzando ( 1.11) in quanto dq è approssimabile, per questo calcolo, ad una carica puntiforme:

1.5 LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTROSTATICO L'introduzione del concetto di campo elettrostatico mette in evidenza che la presenza di un sistema di cariche, modifica lo spazio circostante nel senso che una carica di prova posta in un qualsiasi punto risente della forza (1.13), attribuita all'interazione con il campo elettrostatico. Partendo da una generica posizione e muovendosi per tratti infinitesimi successivi, ciascuno parallelo e concorde al campo elettrostatico in quel dato punto, si ottiene una linea che è detta linea di forza o linea del campo elettrostatico: pertanto in ogni suo punto tale linea per definizione è tangente al campo e il suo verso di percorrenza indica il verso del campo. Se si traccia un certo numero di linee di forza si ha una rappresentazione grafica complessiva del campo in tutto lo spazio, come vedremo negli esempi che seguono. Nel caso di una carica puntiforme, il cui

campo è dato da (1.11), le linee di forza hanno direzione radiale con origine sulla carica e sono uscenti da questa se è positiva, entranti se è negativa. Si vede dalla figura 1.23 che le linee si infittiscono man mano che ci si avvicina alla sorgente del campo e ciò indica che l'intensità del campo è crescente.

In ogni punto dello spazio che non sia occupato da cariche puntiformi passa una e una sola linea di campo. le linee del campo elettrico sono tangenti in ogni punto al vettore campo elettrico ■ sono orientate nel verso del campo; ■ hanno densità direttamente proporzionale all’intensità del campo= le linee di forza si addensano dove l'intensità del campo elettrostatico èmaggiore; ■ le linee di forza hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative; qualora ci siano solo cariche di uno stesso segno le linee di forza si chiudono all'infinito. Nel caso di cariche di segno opposto, ma eguali in modulo, figura 1.24a, tutte le linee che partono dalle cariche positive si chiudono su quelle negative, alcune passando eventualmente per l'infinito; se le cariche sono dello stesso segno, come in figura 1.24b, tutte le linee che provengono dalle cariche si chiudono all'infinito;se invece le cariche non sono eguali in modulo, alcune linee terminano o provengono dall'infinito, come in figura 1.25 ( +q, - q/2). Un campo elettrostatico uniforme è rappresentato da linee parallele (costanza di direzione e verso) ed equidistanti ( costanza del modulo)

1.6 MOTO DI UNA CARICA IN UN CAMPO ELETTROSTATICO Supponiamo di immettere una carica q di piccole dimensioni, puntiforme, in una zona di spazio in cui esiste un campo elettrostatico generato da un sistema di cariche ferme, che non vengono perturbate in alcun modo dalla presenza della carica. Questa, di m -assa m, è sottoposta alla forza (1.13) e la legge della dinamica di Newton, in condizioni non relativistiche, si scrive:

Integrando la (1.21) si determinano posizione e velocità della carica, note posizione e velocità iniziali. Se E è uniforme (costante in modulo e in direzione) l'accelerazione a è una costante del moto. Se la carica q è positiva l'accelerazione sarà nel verso di E, se la carica q è negativa sarà nel verso opposto....