S INF El W5 PDF

Preview

Summary

Download S INF El W5 PDF

Description

Wykład 5. 1. Metoda prądów oczkowych Rozważmy obwód prądu stałego przedstawiony na rys. 1.1 w celu wyjaśnienia metody prądów oczkowych.

E1

R1

I1

Io1 R2 a)

R3

I2

E3 I3 c)

I5 E4

E6 I4

Io2

R5

Io3

R4

I6 R6

b) Rys. 1.1. Obwód prądu stałego o trzech oczkach liniowo niezależnych

Dla rozpatrywanego obwodu możemy napisać trzy równania liniowo niezależne dla węzłów a, b, i c na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa:

I1 − I2 − I4 = 0 I4 + I5 − I6 = 0 I6 − I3 − I1 = 0

(1.1)

−𝑅2𝐼2 + 𝑅3 𝐼3 − 𝐸3 − 𝑅1𝐼1 + 𝐸1 = 0 𝐸4 − 𝑅4 𝐼4 + 𝑅5𝐼5 + 𝑅2 𝐼2 = 0 −𝑅6𝐼6 − 𝐸6 + 𝐸3 − 𝑅3𝐼3 + 𝑅5 𝐼5 = 0

(1.2)

Na podstawie napięciowego prawa Kirchhoffa możemy napisać następujące trzy równania liniowo niezależne dla oczek o1, o2 i o3:

Korzystając z równań (1.1) możemy prądy I2, I3 oraz I5 wyrazić w zależności od prądów I1, I4, I6:

I2 = I1 − I4 I5 = I6 − I4 I3 = I6 − I1

(1.3)

1 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

Przekształcamy (1.2) korzystając z (1.3):

𝑅1𝐼1 + 𝑅2(𝐼1 − 𝐼4) − 𝑅3 (𝐼6 − 𝐼1) = 𝐸1 − 𝐸3 𝑅4 𝐼4 − 𝑅5 (𝐼6 − 𝐼4) − 𝑅2 (𝐼1 − 𝐼4 ) = 𝐸4 𝑅6 𝐼6 + 𝑅3 (𝐼6 − 𝐼1) + 𝑅5(𝐼6 − 𝐼4 ) = 𝐸3 − 𝐸6

(1.4)

Kolejny krok przekształceń:

𝑅1𝐼1 + 𝑅2𝐼1 − 𝑅2 𝐼4 − 𝑅3 𝐼6 + 𝑅3𝐼1 = 𝐸1 − 𝐸3 𝑅4 𝐼4 − 𝑅5 𝐼6 + 𝑅5 𝐼4 − 𝑅2 𝐼1 + 𝑅2 𝐼4 = 𝐸4 𝑅6 𝐼6 + 𝑅3 𝐼6 − 𝑅3 𝐼1 + 𝑅5 𝐼6 − 𝑅5 𝐼4 = 𝐸3 − 𝐸6

(1.5)

Porządkujemy powyższe równania względem prądów gałęziowych I1, I4, I6:

Przyjmując

(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼1 − 𝑅2𝐼4 − 𝑅3 𝐼6 = 𝐸1 − 𝐸3 −𝑅2𝐼1 + (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅2 )𝐼4 − 𝑅5 𝐼6 = 𝐸4 −𝑅3𝐼1 − 𝑅5𝐼4 + (𝑅6 + 𝑅3 + 𝑅5)𝐼6 = 𝐸3 − 𝐸6

(1.6)

𝐼o1 = 𝐼1; 𝐼o2 = 𝐼4; 𝐼o3 = 𝐼6

możemy równania (1.6) zapisać w postaci:

(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼01 − 𝑅2 𝐼o2 − 𝑅3 𝐼o3 = 𝐸1 − 𝐸3 −𝑅2𝐼o1 + (𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅2)𝐼o2 − 𝑅5 𝐼o3 = 𝐸4 −𝑅3𝐼o1 − 𝑅5 𝐼o2 + (𝑅6 + 𝑅3 + 𝑅5 )𝐼o3 = 𝐸3 − 𝐸6

Zapis macierzowy równań (1.7):

𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 −𝑅2 [ −𝑅3

−𝑅2 𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅2 −𝑅5

−𝑅3 𝐸1 − 𝐸6 𝐼𝑜1 𝐼 −𝑅5 ] [ 𝑜2] = [ 𝐸4 ] 𝐸3 − 𝐸6 𝑅6 + 𝑅3 + 𝑅5 𝐼𝑜3

(1.7)

(1.8)

Dla obwodu o trzech oczkach niezależnych otrzymuje się układ trzech równań. Ogólny zapis macierzowy dla metody prądów oczkowych:

𝐸11 𝑅11 𝑅12 𝑅13 𝐼o1 [ 𝑅21 𝑅22 𝑅23] [ 𝐼o2] = [ 𝐸22 ] 𝑅31 𝑅32 𝑅33 𝐼o3 𝐸33

(1.9)

Prądem oczkowym Io1, Io2, Io3 nazywamy wymyślony prąd płynący przez wszystkie gałęzie oczka. Prąd gałęziowy jest wypadkową prądów oczkowych płynących w danej gałęzi. Rezystancja własna oczka k-tego RKK jest równa sumie rezystancji wszystkich gałęzi tworzących oczko. Rezystancja własna oczka zawsze jest ze znakiem plus. Rezystancja wzajemna oczka k-tego z l-tym jest równa rezystancji gałęzi wspólnej oczka k-tego i l-tego. Rezystancja RKL = RLK. Znak rezystancji wzajemnej zależy od zwrotów prądów oczkowych we wspólnej gałęzi dwóch oczek. Jeżeli zwroty prądów oczkowych są zgodne, to rezystancja wzajemna ma znak plus, jeżeli zwroty są przeciwne to rezystancja wzajemna ma znak minus. Napięcie źródłowe oczkowe k-tego oczka EKK jest równe sumie napięć źródłowych wszystkich gałęzi tworzących oczko. Jeżeli zwrot prądu oczkowego jest zgodny ze zwrotem napięcia źródłowego to przyjmujemy znak plus. W przeciwnym wypadku przyjmujemy znak minus.

2 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

2. Metoda potencjałów węzłowych. W celu wyjaśnienia metody potencjałów węzłowych rozpatrzymy obwód elektryczny liniowy przedstawiony na rys. 2.1.

E1

G1

I1

G2

V1

I2

G3

V2

E3 I3

V3

I5 E4

E6 I4

G5

I6

G4

G6

V4 Rys. 2.1. Obwód prądu stałego z zaznaczonymi potencjałami węzłowymi Dla rozpatrywanego obwodu możemy napisać trzy równania liniowo niezależne na podstawie prądowego prawa Kirchhoffa dla węzłów 1, 2 i 3:

I1 − I2 − I4 = 0 I4 + I5 − I6 = 0 I6 − I3 − I1 = 0

(2.1)

Na podstawie prawa Ohma możemy napisać następujące sześć równań:

𝐼1 = 𝐺1(𝑉3 − 𝑉1 + 𝐸1) 𝐼2 = 𝐺2 (𝑉1 − 𝑉2 ) 𝐼3 = 𝐺3 (𝑉3 − 𝑉2 + 𝐸3) 𝐼4 = 𝐺4(𝑉1 − 𝑉4 + 𝐸4 ) 𝐼5 = 𝐺5 (𝑉2 − 𝑉4 ) 𝐼6 = 𝐺6 (𝑉4 − 𝑉3 − 𝐸6 )

(2.2)

Po podstawieniu równości (2.2) do równań (2.1) otrzymujemy:

𝐺1(𝑉3 − 𝑉1 + 𝐸1) − 𝐺2(𝑉1 − 𝑉2 ) − 𝐺4(𝑉1 − 𝑉4 + 𝐸4 ) = 0 𝐺2 (𝑉1 − 𝑉2 ) + 𝐺3 (𝑉3 − 𝑉2 + 𝐸3) − 𝐺5 (𝑉2 − 𝑉4) = 0 𝐺6 (𝑉4 − 𝑉3 − 𝐸6 ) − 𝐺3 (𝑉3 − 𝑉2 + 𝐸3 ) − 𝐺1 (𝑉3 − 𝑉1 + 𝐸1) = 0

(2.3)

Kolejny krok przekształceń:

𝐺1𝑉3 − 𝐺1𝑉1 + 𝐺1𝐸1 − 𝐺2 𝑉1 + 𝐺2 𝑉2 −𝐺4𝑉1 + 𝐺4𝑉4 − 𝐺4𝐸4 = 0 3

Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

𝐺2 𝑉1 − 𝐺2 𝑉2 + 𝐺3 𝑉3 − 𝐺3𝑉2 + 𝐺3 𝐸3−𝐺5 𝑉2 + 𝐺5 𝑉4 = 0 𝐺6 𝑉4 − 𝐺6𝑉3 + 𝐺6 𝐸6 − 𝐺3 𝑉3 + 𝐺3 𝑉2 −𝐺3𝐸3 − 𝐺1𝑉3 + 𝐺1𝑉1 − 𝐺1 𝐸1 = 0

(2.4)

Porządkujemy powyższe równania względem potencjałów węzłowych V1, V2, V3, V4:

(𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4)𝑉1 − 𝐺2𝑉2 − 𝐺1𝑉3 − 𝐺4𝑉4 = 𝐺1𝐸1 − 𝐺4𝐸4 −𝐺2𝑉1 + (𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3 )𝑉2 − 𝐺3 𝑉3 − 𝐺5𝑉4 = 𝐺3 𝐸3 −𝐺1𝑉1 − 𝐺3 𝑉2 (𝐺6 + 𝐺3 + 𝐺1 )𝑉3 − 𝐺6𝑉4 = −𝐺1𝐸1 − 𝐺3𝐸3 − 𝐺6𝐸6

(2.5)

Mamy trzy równania oraz cztery niewiadome. Zakładamy, że jeden węzeł ma określony potencjał V4 = 0V. Takie założenie jest dopuszczalne, ponieważ prądy w gałęziach nie zależą od wartości potencjałów, ale od różnicy potencjałów na zaciskach gałęzi. Węzeł, którego potencjał przyjmujemy równy zeru nazywamy węzłem odniesienia i oznaczamy symbolem uziemienia. Zapis macierzowy równań (2.5) przy uwzględnieniu V4 = 0V:

𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4 −𝐺2 [ −𝐺1

−𝐺2 𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3 −𝐺3

−𝐺1 𝑉1 𝐺1𝐸1 − 𝐺4𝐸4 −𝐺3 𝐺3 𝐸3 ] ] [ 𝑉2 ] = [ −𝐺1 𝐸1 − 𝐺3𝐸3 − 𝐺6 𝐸6 𝐺6 + 𝐺3 + 𝐺1 𝑉3

(2.6)

Ogólny zapis macierzowy dla metody potencjałów węzłowych:

𝐺11 𝐺12 𝐺13 𝑉1 𝐼ź𝑟1 [ 𝐺21 𝐺22 𝐺23] [ 𝑉2 ] = [ 𝐼ź𝑟2 ] 𝐺31 𝐺32 𝐺33 𝑉3 𝐼ź𝑟3

(2.7)

Konduktancja własna k-tego węzła GKK jest równa sumie konduktancji gałęzi zbiegających się w węźle. Niezależnie od zwrotów prądów gałęziowych, konduktancje własne przyjmujemy zawsze ze znakiem plus. Konduktancja wzajemna węzła k-tego z l-tym jest równa sumie konduktancji wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio węzeł k-ty z l-tym. Niezależnie od wyboru zwrotów prądów gałęziowych konduktancje wzajemne przyjmujemy zawsze ze znakiem minus. Prąd IźrK jest wypadkowym prądem źródłowym zasilający k-ty węzeł. Jest on równy sumie iloczynów konduktancji Gi i napięć źródłowych Ei gałęzi nalężących do k-tego węzła. Jeżeli do rozpatrywanego węzła jest dołączona gałąź zawierająca źródło prądu Iźri, to dodajemy wspomniany prąd do prądu źródłowego węzła IźrK. Iloczyn konduktancji Gi i napięć źródłowych Ei przyjmujemy ze znakiem plus, jeżeli zwrot napięcia źródłowego Ei jest w kierunku rozpatrywanego k-tego węzła, a w przeciwnym przypadku przyjmujemy znak minus. Podobnie postępujemy z prądem generowanym przez źródło prądu Iźri. 3. Wykorzystanie metody prądów oczkowych do rozwiązywania obwodów elektrycznych. Przykład 3.1. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę prądów oczkowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅1 = 2Ω, 𝑅2 = 2Ω, 𝑅3 = 4Ω, 𝑅4 = 2Ω, 𝑅5 = 6Ω, 𝑅6 = 2Ω, 𝐸2 = 20V, 𝐸3 = 40V, 𝐸5 = 20V. Dane:

4 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

R1

I2

Io1

E2

R2

I1

E3

R3

I4

I3

I6 E5

R4

Io2

Io3

R6

R5 I5

Równania dla metody prądów oczkowych:

(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼𝑜1 − 𝑅2 𝐼𝑜2 − 𝑅3 𝐼𝑜3 = 𝐸3 − 𝐸2 { −𝑅2 𝐼𝑜1 + (𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 )𝐼𝑜2 − 𝑅5 𝐼𝑜3 = 𝐸2 − 𝐸5 −𝑅3 𝐼𝑜1 − 𝑅5 𝐼𝑜2 + (𝑅3 + 𝑅5 + 𝑅6 )𝐼𝑜3 = 𝐸5 − 𝐸3

Równanie macierzowe:

𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 −𝑅2 [ −𝑅3

−𝑅2 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 −𝑅5

Równanie macierzowe z danymi:

𝐼𝑜1 8 −2 −4 20 [ −2 10 −6 ] ∙ [ 𝐼𝑜2] = [ 0 ] 𝐼𝑜3 −20 −4 −6 12

−𝑅3 𝐸3 − 𝐸2 𝐼𝑜1 −𝑅5 ] [ 𝐼𝑜2] = [ 𝐸2 − 𝐸5 ] 𝐸5 − 𝐸3 𝑅3 + 𝑅5 + 𝑅6 𝐼𝑜3

Prądy oczkowe:

𝐼𝑜1 = 1,739𝐴 𝐼𝑜2 = −0,435𝐴 𝐼𝑜3 = −1,304𝐴

Prądy gałęziowe:

𝐼1 = −𝐼𝑜1 = −1,739𝐴 𝐼2 = 𝐼𝑜2 − 𝐼𝑜1 = −2,174𝐴 𝐼3 = 𝐼𝑜1 − 𝐼𝑜3 = 3,043𝐴 𝐼4 = 𝐼𝑜2 = −0,435𝐴 𝐼5 = 𝐼o3 − 𝐼𝑜2 = −0,869𝐴 𝐼6 = 𝐼𝑜3 = −1,304𝐴 Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = 𝐸2𝐼2 + 𝐸3 𝐼3 + 𝐸5 𝐼5 = 60,860𝑊

Wersja: 27.03.2020

5 Politechnika Opolska

𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1𝐼12 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 + 𝑅5 𝐼52 + 𝑅6𝐼62 = 60,850𝑊 𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏

Przykład 3.2. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę prądów oczkowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅5 = 2Ω, 𝑅1 = 𝑅4 = 𝑅6 = 4Ω, 𝑘 = 0,5, 𝐸4 = 10V, 𝐸6 = 14V. Dane:

kI5

R1

I1

Io1 R2

I2

I4

E3

R3

I3 I5

I6

R4

R6 Io2

Io3

E4

R5

E6

Równania dla metody prądów oczkowych:

(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼o1 − 𝑅2𝐼o2 − 𝑅3 𝐼o3 = 𝑘𝐼5𝑅1 { −𝑅2 𝐼o1 + (𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 )𝐼o2 − 𝑅5 𝐼o3 = 𝐸4 −𝑅3 𝐼o1 − 𝑅5𝐼o2 + (𝑅3 + 𝑅5 + 𝑅6)𝐼o3 = 𝐸6

Prąd gałęziowy I5 wynosi:

𝐼5 = 𝐼o3 − 𝐼o2

Wówczas pierwsze równanie jest przekształcone następująco:

(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼o1 − 𝑅2 𝐼o2 − 𝑅3 𝐼o3 = 𝑘𝑅1𝐼o3 − 𝑘𝑅1𝐼o2 (𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝐼o1 + (−𝑅2 + 𝑘𝑅1)𝐼o2 + (−𝑅3 𝑘𝑅1 )𝐼o3 = 0 Równanie macierzowe:

𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 −𝑅2 [ −𝑅3

−𝑅2 + 𝑘𝑅1 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5 −𝑅5

Równanie macierzowe z danymi:

−𝑅3 − 𝑘𝑅1 𝐼o1 0 𝐸 𝐼 −𝑅5 ] [ o2] = [ 4 ] 𝑅3 + 𝑅5 + 𝑅6 𝐼o3 𝐸6

6 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

[

8 −2

80

−4 −2

Prądy oczkowe: ] [

−2= 1,32𝐴 −2 8 𝐼o1 𝐼o2 = 2,24𝐴 𝐼o3 = 2,64𝐴

𝐼02 𝐼01 𝐼03

10 0 ] ] = [ 14

Prądy gałęziowe:

𝐼1 = 𝐼o1 = 1,32𝐴 𝐼2 = 𝐼o2 − 𝐼o1 = 0,92𝐴 𝐼3 = 𝐼o1 − 𝐼o3 = −1,32𝐴 𝐼4 = 𝐼o2 = 2,24𝐴 𝐼5 = 𝐼o3 − 𝐼o2 = 0,40𝐴 𝐼6 = 𝐼o3 = 2,64𝐴 Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = (𝑘𝐼5 − 𝐼1)𝑅1𝑘𝐼5 + 𝐸4𝐼4 + 𝐸6 𝐼6 = 58,464 𝑊 𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1(𝑘𝐼5 − 𝐼1)2 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 + 𝑅5 𝐼52 + 𝑅6𝐼62 = 58,464 𝑊 𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏 Przykład 3.3. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę prądów oczkowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 2Ω, 𝑅3 = 6Ω, 𝐼ź𝑟1 = 10 𝐴, 𝐸3 = 12V, 𝐸5 = 6V. Dane:

Iźr1

Io1 R1

I1

I3

I2

R2

I4

I5

R3 Io2

R4

Io3

E5

E3

7 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

Ponieważ w górnej gałęzi jest idealne źródło prądu, to prąd oczkowy Io1 jest już znany. Równania dla metody prądów oczkowych:

𝐼−𝑅 =𝐼𝑜1 𝐼ź𝑟1 + (𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )𝐼𝑜2 − 𝑅4 𝐼𝑜3 = 𝐸3 𝑜1 1 { −𝑅2 𝐼𝑜1 − 𝑅4 𝐼𝑜2 + (𝑅2 + 𝑅4 )𝐼𝑜3 = 𝐸5 Równanie macierzowe:

1 −𝑅 [ 1 −𝑅

0 𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 −𝑅

0 −𝑅4

𝑅 +𝑅

2 4 2 4 Równanie macierzowe z danymi:

𝐼𝑜1 10 1 0 0 [ −2 10 −2 ] [ 𝐼𝑜2] = [ 12] 6 −2 −2 4 𝐼𝑜3

][

𝐼𝐼𝑜1 𝑜2 𝐼𝑜3

𝐼𝐸 ź𝑟1 3] ] = [ 𝐸6

Prądy oczkowe:

𝐼𝑜1 = 10𝐴 𝐼𝑜2 = 5𝐴 𝐼𝑜3 = 9𝐴

Alternatywne rozwiązanie – ponieważ Io1 jest znane to możemy ten prąd przenieść na stronę wiadomych. Równania dla metody prądów oczkowych:

{

(𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 )𝐼o2 − 𝑅4 𝐼𝑜3 = 𝐸3 + 𝑅1 𝐼ź𝑟1 −𝑅4 𝐼o2 + (𝑅2 + 𝑅4 )𝐼𝑜3 = 𝐸5 + 𝑅2 𝐼ź𝑟1

Równanie macierzowe:

[

𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 −𝑅4

Prądy oczkowe:

𝐼𝑜2 = 5𝐴 𝐼𝑜3 = 9𝐴

−𝑅4 𝐸 + 𝑅1𝐼ź𝑟1 𝐼 ] ] [ 𝑜2 ] = [ 3 𝐸5 + 𝑅2 𝐼ź𝑟1 𝑅2 + 𝑅4 𝐼𝑜3

Prądy gałęziowe:

𝐼1 = 𝐼𝑜2 − 𝐼𝑜1 = −5𝐴 𝐼2 = 𝐼𝑜1 − 𝐼𝑜3 = 1𝐴 𝐼3 = 𝐼𝑜2 = 5𝐴 𝐼4 = 𝐼𝑜3 − 𝐼𝑜2 = 4𝐴 𝐼5 = 𝐼𝑜3 = 9𝐴 Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = (𝑅2 𝐼2 − 𝑅1 𝐼1)𝐼ź𝑟1 + 𝐸3 𝐼3 + 𝐸5 𝐼5 = 234𝑊 𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1𝐼12 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 = 234𝑊 8

Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏

4. Wykorzystanie elektrycznych.

metody

potencjałów

węzłowych

do

rozwiązywania

obwodów

Przykład 4.1. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę potencjałów węzłowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅1 = 2Ω, 𝑅2 = 2Ω, 𝑅3 = 4Ω, 𝑅4 = 2Ω, 𝑅5 = 6Ω, 𝑅6 = 2Ω, 𝐸2 = 20V, 𝐸3 = 40V, 𝐸5 = 20V. Dane:

R1

I2

I1

E2

R2

E3

R3

V2

I3

V1

V3

I4

I6 E5

R4

R6 R5 I5

Konduktancje gałęzi: 𝐺1 =

1

𝑅1

= S, 𝐺2 = 2 1

1

𝑅2

= 2 S, 𝐺3 = 1

1

𝑅3

= 4 S, 𝐺4 = 1

Równania dla metody potencjałów węzłowych:

1

𝑅4

= 2 S, 𝐺5 = 1

1

𝑅6

(𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4)𝑉1 − 𝐺2 𝑉2 − 𝐺1𝑉3 = 𝐸2 𝐺2 { −𝐺2 𝑉2 + (𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3 ) − 𝐺3 𝑉3 = −𝐸2𝐺2 − 𝐸5𝐺5 − 𝐸3 𝐺3 −𝐺1 𝑉1 − 𝐺3 𝑉2 + (𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺6 )𝑉3 = 𝐸3 𝐺3

Równanie macierzowe:

𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4 −𝐺2 [ −𝐺1

−𝐺2 𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3 −𝐺3

Równanie macierzowe z danymi:

=

1

6

S, 𝐺6 =

1

𝑅6

= 2 S. 1

−𝐺1 𝑉1 𝐸2 𝐺2 −𝐺3 ] [ 𝑉2 ] = [ −𝐸2 𝐺2 − 𝐸5 𝐺5 − 𝐸3 𝐺3 ] 𝐸3 𝐺3 𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺6 𝑉3

9 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

3

10 𝑉 1 1 2 1 − − 𝑉 = 280 21 112 12 14 2 − − − 1 2 121 5 [𝑉3] [ [− 10 ] 4 ] − 4 węzłowe: 2 Potencjały

𝑉1 = −0,8699𝑉 𝑉2 = −25,2174𝑉 𝑉3 = 2,6087𝑉 Prądy gałęziowe:

𝐼1 = (𝑉1 − 𝑉2 )𝐺1 = −1,739𝐴 𝐼2 = (𝑉2 + 𝐸2 − 𝑉1)𝐺2 = −2,174𝐴 𝐼3 = (𝑉2 + 𝐸3 − 𝑉3 )𝐺3 = 3,043𝐴 𝐼4 = (𝑉1 )𝐺4 = −0,435𝐴 𝐼5 = (𝑉2 + 𝐸5 )𝐺5 = −0,869𝐴 𝐼6 = (−𝑉3 )𝐺6 = −1,304𝐴

Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = 𝐸2𝐼2 + 𝐸3 𝐼3 + 𝐸5 𝐼5 = 60,860𝑊 𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1𝐼12 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 + 𝑅5 𝐼52 + 𝑅6𝐼62 = 60,850𝑊 𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏 Przykład 4.2. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę potencjałów węzłowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅5 = 2Ω, 𝑅1 = 𝑅4 = 𝑅6 = 4Ω, 𝑘 = 0,5, 𝐸4 = 10V, 𝐸6 = 14V. Dane:

10 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

kI5

R1

I1

E3

R2

V1

I2

R3

I3

V2 I5

I4

I6

R4

R6 Io2

Io3 R5

E4

Konduktancje gałęzi:

V3

E6

𝐺1 = 4 S, 𝐺2 = 2 S, 𝐺3 = 2 S, 𝐺4 = 4 S, 𝐺5 = S, 𝐺6 = S. 2 4 1

1

1

1

1

1

Równania dla metody potencjałów węzłowych:

(𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4)𝑉1 − 𝐺2𝑉2 − 𝐺1𝑉3 = 𝐸4𝐺4 − 𝑘𝐼5 −𝐺2 𝑉2 + (𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3)𝑉2 − 𝐺3 𝑉3 = 0 { −𝐺1 𝑉1 − 𝐺3 𝑉2 + (𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺6 )𝑉3 = 𝑘𝐼5 − 𝐸6 𝐺6

Prąd gałęziowy I5 wynosi:

𝐼5 = −𝑉2 𝐺5

Wówczas pierwsze równanie jest przekształcone następująco:

(𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4)𝑉1 − (𝐺2 + 𝑘𝐺5) − 𝐺1𝑉3 = 𝐸4 𝐺4 −𝐺1𝑉1 − (𝐺3 − 𝑘𝐺5 )𝑉2 + (𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺6 )𝑉3 = −𝐸6𝐺6 Równanie macierzowe:

𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4 −𝐺2 [ −𝐺1

−(𝐺2 + −𝑘𝐺5) −𝐺1 𝑉1 𝐸4 𝐺4 𝐺2 + 𝐺5 + 𝐺3 −𝐺3 ] [ 𝑉2 ] = [ 0 ] −𝐸6 𝐺6 −(𝐺3 − 𝑘𝐺5) 𝐺1 + 𝐺3 + 𝐺6 𝑉3

Równanie macierzowe z danymi:

11 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

10 3 1 4 1 − 4 − 𝑉12 0 1 4 12 3 − ] = − [ [ − 14 1 2 2 𝑉 4] 3 1 1 ] [− −4 4 Potencjały węzłowe: 𝑉1 = 1,04𝑉 𝑉2 = −0,80𝑉 𝑉3 = −3,44𝑉

Prądy gałęziowe:

𝐼1 = (𝑉1 − 𝑉3 )𝐺3 + 𝑘𝐼5 = (𝑉1 − 𝑉3 )𝐺3 − 𝑘𝑉2 𝐺5 = 1,32𝐴 𝐼2 = (𝑉1 − 𝑉2 )𝐺2 = 0,92𝐴 𝐼3 = (𝑉3 − 𝑉2 )𝐺3 = −1,32 𝐴 𝐼4 = (𝐸4 − 𝑉1 )𝐺4 = 2,24𝐴 𝐼5 = (−𝑉2 )𝐺5 = 0,40𝐴 𝐼6 = (𝑉3 + 𝐸6 )𝐺6 = 2,64 𝐴

Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = (𝑘𝐼5 − 𝐼1)𝑅1𝑘𝐼5 + 𝐸4𝐼4 + 𝐸6 𝐼6 = 58,464𝑊 𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1(𝑘𝐼5 − 𝐼1)2 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 + 𝑅5 𝐼52 + 𝑅6𝐼62 = 58,464𝑊 𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏 Przykład 4.3. W obwodzie przedstawionym na rysunku oblicz rozpływ prądów stosując metodę potencjałów węzłowych. Wykonaj bilans mocy.

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 2Ω, 𝑅3 = 6Ω, 𝐼ź𝑟1 = 10 𝐴, 𝐸3 = 12V, 𝐸5 = 6V. Dane:

12 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska

Iźr1

R1

V1

V2

I1

I3

I2

I4

R2

V3 I5

R3 R4

E5

E3

Konduktancje gałęzi:

𝐺1 = 2 S, 𝐺2 = 2 S, 𝐺3 = 6 S, 𝐺4 = 2 S. 1

1

1

1

Równania dla metody potencjałów węzłowych:

(𝐺2 + 𝐺3 )𝑉1 − 𝐺1𝑉2 = 𝐸3 𝐺3 − 𝐼ź𝑟1 { −𝐺1𝑉1 + (𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 )𝑉2 − 𝐺2 𝑉3 = 0 −𝑉3 = 𝐸5

Równanie macierzowe:

𝐺1 + 𝐺3 [ −𝐺1 0

−𝐺1 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4 0

𝑉1 𝐸3 𝐺3 − 𝐼ź𝑟1 0 0 ] −𝐺2 ] [ 𝑉2 ] = [ 𝐸 𝑉 −1 3 5

Równanie macierzowe z danymi:

1 4 − 0 𝑉 −8 1 6 2 ] = [ 𝑉 [ 1 3 1 2 0] − − 6 2 2 2 𝑉3 [ 0 0 4 ]

Potencjały węzłowe:

𝑉1 = −18𝑉 𝑉2 = −8𝑉 𝑉3 = −6𝑉

Alternatywne rozwiązanie – ponieważ potencjał V3 jest znany to możemy go przenieść na stronę wiadomych. Równania dla metody potencjałów węzłowych:

{

(𝐺1 + 𝐺3)𝑉1 − 𝐺1𝑉1 = 𝐸3 𝐺3 − 𝐼ź𝑟1 −𝐺1𝑉1 + (𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4)𝑉2 = −𝐺2𝐸5

Wersja: 27.03.2020

13 Politechnika Opolska

Równanie macierzowe:

[

𝐺1 + 𝐺3

−𝐺1

𝑉1

][ ] = [ Potencjały −𝐺1 węzłowe: 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺4 𝑉2

𝑉1 = −18𝑉 𝑉2 = −8𝑉

𝐸3 𝐺3 − 𝐼ź𝑟1 ] −𝐺2 𝐸5

Prądy gałęziowe:

𝐼1 = (𝑉1 − 𝑉2 )𝐺1 = −5𝐴 𝐼2 = (𝑉3 − 𝑉2 )𝐺2 = 1𝐴 𝐼3 = (𝐸3 − 𝑉1 )𝐺3 = 5𝐴 𝐼4 = −𝑉2 𝐺4 = 4𝐴 𝐼5 = 𝐼ź𝑟1 − 𝐼2 = 9𝐴 Bilans mocy:

𝑃ź𝑟 = (𝑉3 − 𝑉1 )𝐼ź𝑟1 + 𝐸3 𝐼3 + 𝐸5 𝐼5 = 234 𝑊 𝑃𝑜𝑑𝑏 = 𝑅1𝐼12 + 𝑅2 𝐼22 + 𝑅3𝐼32 + 𝑅4 𝐼42 = 234𝑊 𝑃ź𝑟  𝑃𝑜𝑑𝑏

Opracowano na podstawie: Bolkowski S., Obwody elektryczne liniowe w stanie ustalonym. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1974.

14 Wersja: 27.03.2020

Politechnika Opolska...