Lim inf/ Lim sup PDF

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Limiti inferiori/ Limiti superiori...

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Definizione e proprietà di lim inf e lim sup 1. Definizioni

Definizione 1.1 (lim inf ). Sia (an ) ⊂ R una successione di numeri reali. (i) Se (an ) non è limitata inferiormente, definiamo lim inf an := −∞. n→+∞

(ii) Se (an ) è limitata inferiormente, definiamo la successione

(1)

bn := inf am ,

n ∈ N.

m≥n

Abbiamo che inf ak ≤ bn ≤ bn+1

∀n ∈ N.

k∈N

La successione (bn ) è quindi monotona crescente e ammette pertanto limite finito o +∞, che coincide con supn bn ; definiamo lim inf an := lim bn . n→+∞

n→+∞

Definizione 1.2 (lim sup). Sia (an ) ⊂ R una successione di numeri reali. (i) Se (an ) non è limitata superiormente, definiamo lim supan := +∞. n→+∞

(ii) Se (an ) è limitata superiormente, definiamo la successione (2)

cn := sup am ,

n ∈ N.

m≥n

Abbiamo che sup ak ≥ cn ≥ cn+1 k∈N

∀n ∈ N.

La successione (cn ) è quindi monotona decrescente e ammette pertanto limite finito o −∞, che coincide con inf n cn ; definiamo lim sup an := lim cn . n→+∞

n→+∞

Osservazione 1.3. Utilizzando la retta reale estesa R, munita della “metrica dell’arcotangente” definita nell’Esercizio 1.7, possiamo definire bn [risp. cn ] attraverso la formula (1) [risp. (2)] anche nel caso in cui la successione (an ) non sia limitata inferiormente [risp. superiormente]. In tal caso si avrà bn = −∞ [risp. cn = +∞] per ogni n e, nella topologia di R, limn bn = −∞ [risp. limn cn = +∞]. Esempio 1.4. Sia an := (−1)n , n ∈ N. È facile verificare che bn = −1, cn = +1 per ogni n ∈ N, quindi lim inf n an = −1, lim supn an = +1. ⊳ 1

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lim inf e lim sup

G. Crasta

2. Proprietà In quanto segue, (an ) sarà una successione a valori in R, mentre (bn ) e (cn ) saranno le successioni definite rispettivamente in (1) e (2). Proposizione 2.1. Se α := lim inf n an > −∞, allora per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che an > α − ε ∀n ≥ N. Analogamente, se β := lim supn an < +∞, allora per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che an < β + ε ∀n ≥ N. Dimostrazione. Dimostriamo la proposizione solo per il lim inf, essendo la dimostrazione per il lim sup del tutto analoga. Poiché, nel caso in questione, α = limn bn , fissato ε > 0 esiste N ∈ N tale che bN > α − ε. D’altra parte, bN := inf m≥N am , dunque am > α − ε per ogni m ≥ N .  Teorema 2.2. Se (anj ) è una sottosuccessione di (an ) che ammette limite (finito o ±∞), allora lim inf an ≤ lim anj ≤ lim sup an n

j

n

(nella relazione d’ordine di R).

Dimostrazione. Supponiamo che (an ) sia limitata inferiormente. Abbiamo che: bnj = inf am ≤ anj

∀j ∈ N.

m≥nj

Poiché lim bnj = lim bn = lim inf an , n

j

n

la disuguaglianza lim inf n an ≤ limj anj segue dal teorema del confronto per le successioni. D’altra parte, se (an ) non è limitata inferiormente, tale disuguaglianza è banalmente verificata poiché lim inf n an = −∞. In maniera analoga si dimostra la disuguaglianza per il lim sup. 

Teorema 2.3. Esiste una sottosuccessione (anj ) di (an ) che ammette limite (finito o −∞) e tale che lim anj = lim inf an . j

Analogo risultato vale anche per il lim sup.

n

G. Crasta

lim inf e lim sup

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Dimostrazione. Supponiamo che (an ) sia limitata inferiormente e sia α := lim inf an = lim bn . n

n

Consideriamo, per fissare le idee, il caso α ∈ R (il caso α = +∞ si può trattare in maniera analoga). Poiché la successione (bn ) è monotona crescente e converge ad α, sappiamo che ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N : α − ε < bn ≤ α, ∀n ≥ Nε . Procediamo per induzione nel seguente modo. Fissato ε = 1, esiste un indice N1 ∈ N tale che α − 1 < bN1 ≤ α.

Poiché bN1 := inf am , per definizione di estremo inferiore esiste un indice n1 ≥ N1 m≥N1

tale che an1 < bN1 + 1 ≤ α + 1, dunque

α − 1 < bn1 ≤ an1 < α + 1.

Al secondo passo, fissato ε = 1/2, esiste un indice N2 > n1 tale che 1 α − < bN2 ≤ α. 2 Ragionando come sopra, esiste un indice n2 ≥ N2 > n1 tale che 1 1 α − < bn 2 ≤ a n 2 < α + . 2 2 Se supponiamo di avere individuato, al passo j, un indice nj tale che valga 1 1 (Pj ) α − < anj < α + , j j con la procedura descritta sopra possiamo individuare un indice nj+1 > nj per il quale valga (Pj+1 ). In questo modo abbiamo costruito una sottosuccessione (anj ) che converge ad α. Se (an ) non è limitata inferiormente, allora è possibile costruire in maniera analoga una sua sottosuccessione divergente a −∞.  Come conseguenza dei Teoremi 2.2 e 2.3 si ottiene immediatamente il seguente risultato.

Corollario 2.4. lim inf n an e lim supn an sono rispettivamente il più piccolo e il più grande limite sottosuccessionale di (an ) (nella retta reale estesa). Per definizione, abbiamo che lim inf n an ≤ lim supn an . Il seguente teorema caratterizza il caso di uguaglianza in questa relazione. Teorema 2.5. La successione (an ) ammette limite l ∈ R se e solo se lim inf n an = lim supn an = l.

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lim inf e lim sup

G. Crasta

Dimostrazione. “=⇒” Se esiste limn an = l ∈ R, allora qualsiasi sottosuccessione ha lo stesso limite; la tesi segue quindi dal Corollario 2.4. “⇐=” Se l = −∞, avremo che (an ) è limitata superiormente e limn cn = −∞. Poiché an ≤ cn per ogni n, per il teorema del confronto avremo che limn an = −∞. Analoga dimostrazione si può fare nel caso l = +∞. Consideriamo ora il caso l ∈ R. Fissato ε > 0, esiste un indice N ∈ N tale che l − ε < bN ≤ cN < l + ε,

che, ricordando le definizioni di bN e cN , implica che l − ε < an < l + ε,

Di conseguenza limn an = l.

∀n ≥ N.



Esercizio 2.6. Calcolare lim inf e lim sup della successione   (−1)n n an = 1 + , n ∈ N+ . n Esercizio 2.7. Sia (xn ) una successione a termini positivi. Dimostrare che xn+1 xn+1 √ √ ≤ lim inf n xn ≤ lim sup n xn ≤ lim sup lim inf . n n xn xn n n √ x = L, allora esiste anche limn n xn = L. Concludere che, se esiste limn n+1 xn Soluzione. Si veda [1, Thm 3.37].



Esercizio 2.8. Sia an = sin n. Dimostrare che lim inf n an = −1, lim supn an = +1. Dimostrare inoltre che, per ogni t ∈ [−1, 1], esiste una sottosuccessione (anj ) che converge a t. 3. Classe limite Definizione 3.1. La classe limite di una successione (an ) ⊂ R è il sottoinsieme di R di tutti i suoi limiti sottosuccessionali. È possibile dimostrare che la classe limite è chiusa in R; per il Corollario 2.4, lim inf an e lim sup an sono rispettivamente il suo minimo e il suo massimo in R. Riferimenti bibliografici [1] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, third ed., McGraw-Hill Book Co., New York, 1976, International Series in Pure and Applied Mathematics. MR 0385023 (52 #5893)...