Inf. VL 1.4 Mengenlehre PDF

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Mengenlehre Mengenlehre

Dr. Ing. Peter Moos

VL Informatik 1

Mengenlehre

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Vorlesungsinhalte Entwurfsmethoden Softwareprojektierung

Einführung in Definitionen und Begriffe Softwarekatastrophen und deren Ursachen Algorithmen Basis von SW - Projekten Mathematik: Aussagelogik, Boolesche Algebra

Grundlagen

Mathematik: Mengen und Rechenregeln Mathematik: Zahlensysteme Dr. Ing. Peter Moos

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QUANTOREN

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Rechenregeln • All-Quantor ∀ : für alle Elemente x • Existenz-Quantor ∃ : es existiert mindestens ein Element x ∃!  :es existiert ein Element x ∄ : es existiert kein Element x

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MENGEN

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Mengenlehre • „Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten m […] zu einem Ganzen“. Georg Canter (1845 – 1918) Menge M 6 3 1 1 8 -3

Elemente

• 1 ∈  bedeutet, dass 1 Element der Menge M ist • 2 ∈  bedeutet, dass 2 nicht Element der Menge M ist Dr. Ing. Peter Moos

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Mengenlehre •   1,3,6,8, "3 bedeutet, dass die Menge M durch die Angabe der Elemente definiert wird • M kann auch durch eine Konstruktionsvorschrift definiert werden - endlich , abzählbar:    | $ " 6 % & 11  0 Dies bedeutet, dass M die Menge aller x ist, für die gilt:  $ "6 % & 11  0 - unendlich, abzählbar:   | ∈ (, ( ) 100 - unendlich, nicht abzählbar:    | ∈ * • Die Mächtigkeit einer Menge gibt die Anzahl der Elemente an:   1,3,6,8, "3 ; Mächtigkeit M  5 • Eine Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge Dr. Ing. Peter Moos

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Mengenlehre R

Ø

5 3 1 1 8

M 6

S heißt Untermenge von M genau dann, wenn jedes Element von S zu M gehört 3⊆

-3

S

3⊂

S ist Untermenge von M falls |S| < |M|, dann ist S eine echte Untermenge von M

Ist X eine beliebige Menge, dann ist die Potenzmenge von X, geschrieben als P(X), eine Menge, deren Elemente alle Teilmengen von X sind. Ist X eine endliche Menge (d.h. die Anzahl der Elemente von X ist zählbar), dann besteht die Potenzmenge von X aus 2|x| Elementen: |P(X)| = 2|x| Für eine beliebige Menge X gilt nach Cantor, dass die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge von X immer größer ist, als die Anzahl der Elemente in der Ausgangsmenge X: |P(X)| > |X| X = {x, y, z}  P(X) = { {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z} }

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MENGENOPERATOREN

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Mengenlehre • Vereinigungsmenge S T

Vereinigungsmenge V zweier Mengen S und T ist die Menge aller x, die mindestens einer der beiden Mengen S und T angehören. V  S ∪ 8  9x|x ∈ 3:;...