1. MAT. INF - Apuntes 12 PDF

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La matemática tiene como objetivo buscar patrones comunes que pueden luego derivar en una teoría y, eventualmente, en una ley. Pensemos, por ejemplo, en el teorema de Pitágoras. Este nos indica que, en un triángulo rectángulo, la suma de cada uno de los catetos al cuadrado nos da igual a la hipotenu...

Description

Prof. Marilyn Delgado Bernuí

Sesión 4

MATEMÁTICA II SESIÓN 4:   

LA DERIVADA

Definición. Teoremas sobre derivadas. Reglas Básicas del cálculo de derivadas.

INGENIERÍA INDUSTRIAL

1

UCV

Prof. Marilyn Delgado Bernuí

Sesión 4

UCV

Objetivos 1.

4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA

Definición

2.

Haciendo uso de la definición de la derivada, calcular la derivada de una función dada. Aplicar definición de la derivada para analizar si una función es derivable en un punto.

(Derivada)

Sea 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ

una función definida en el intervalo abierto 𝐼 de ℝ, y sea

𝑎 ∈ 𝐼. La derivada de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑎 se define como: lim ℎ→0 si es que límite existe y finito.

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

En tal caso decimos que 𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 = 𝑎 . Si 𝑓(𝑥) es derivable en todo punto 𝑎 ∈ 𝐼 , decimos que es derivable en 𝐼 . 𝑑𝑦

NOTACION: La derivada de 𝑓(𝑥) lo denotaremos por:𝑑𝑥 ,

𝑑 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

o 𝑓´(𝑥)

Observación. a) 𝑓´(𝑥) es una nueva función y su dominio es: 𝐷𝑜𝑚𝑓´(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑓´(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 } b) Si una función no está definida en 𝑥0, entonces la derivada no existe. c) Si la gráfica de una función tiene un pico o una punta, entonces la derivada no existe en ese punto (Fig. 2). d) Si la función 𝑓(𝑥) no es continua en 𝑥 = 𝑎, entonces la función 𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥 = 𝑎 (Fig. 1).

Y

Fig. 2, 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 (2,6)

Fig. 1, 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 2

Ejemplo 1: Determine la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3. Solución

Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces por definición de la derivada (𝑥 + ℎ)3 − 𝑥 3 𝑥 3 + 3𝑥 2 ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ 3 − 𝑥 3 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim = lim = lim = 3𝑥 2 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ

Por lo tanto 𝑓´(𝑥) = 3𝑥 2 y 𝐷𝑜𝑚(𝑓´) = ℝ. Ejemplo 2: Del ejemplo 1, hallar la recta tangente a la gráfica de 𝑓 en (2,8). 2

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Solución La pendiente de la recta tangente en el punto 𝑥 = 2, es: 𝑚 = 𝑓´(2) = 12 entonces la ecuación de la recta tangente es: 𝑦 − 8 = 12(𝑥 − 2) Si una curva tiene una recta tangente en un punto, entonces esa curva no puede dar un salto u oscilar en ese punto. Y de eso trata el siguiente teorema.

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑘, donde k es una constante, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 0

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥.

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥.

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛(𝑎).

Ejemplo 7: Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 . Solución Por el teorema 5, 𝑓´(𝑥) = 5𝑥 𝑙𝑛5.

Corolario Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒𝑥 .

Teorema 6 1

Si 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 log 𝑎 𝑒

Ejemplo 8: Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥. Solución 1

Por el teorema 6, 𝑓´(𝑥) = 𝑥 𝑙𝑜𝑔2 𝑒.

Corolario 2 Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥, entonces

𝑓 ′ (𝑥) =

1

𝑥

.

3

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Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝑥, entonces 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑛

1

𝑛 √𝑥 𝑛−1

.

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛, n es entero positivo, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 .

TABLA BÁSICA DE DERIVADA 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

𝑑 (𝑘) = 0 𝑑𝑥 𝑑 𝑛 (𝑥 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1 𝑑𝑥 𝑑 (𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑 𝑥 (𝑎 ) = 𝑎 𝑥 𝑙𝑛𝑎 𝑑𝑥 𝑑 𝑥 (𝑒 ) = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑 1 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑 (𝑙𝑛𝑥) = 𝑑𝑥 𝑥

4.2. TEOREMAS BÁSICOS DE LA DERIVADA

1.

Objetivos Demostrar los teoremas sobre la derivada de suma, resta, multiplicación y división de funciones derivables.

Teorema Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables, entonces la función suma (𝑓 + 𝑔)(𝑥) es derivable y (𝑓 + 𝑔)′(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥)

Ejemplo 1: Determine la derivada de

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑥.

Solución 4

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Aplicando el teorema 1) y la tabla de derivación básica obtenemos que: 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 3 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑥)′ 1 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥

Teorema Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , nℝ, entonces 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Ejemplo 2: Determine la derivada de

𝑓(𝑥) = √𝑥. 5

Solución 1

−4

Aplicando el teorema 2) 𝑓 ′ (𝑥) = 5 𝑥 5

Teorema Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son funciones derivables, entonces

(𝑓. 𝑔)´(𝑥) = 𝑓´(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓 (𝑥). 𝑔´(𝑥)

Corolario (𝑘𝑓)´(𝑥) = 𝑘𝑓´(𝑥)

Ejemplo 3: Determine la derivada de

𝑓(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 )(√𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥).

Solución Aplicando el teorema3) y la tabla de derivación básica obtenemos que: 𝑓´(𝑥) = (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 )´(√𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 )(√𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)´ 1 𝑓´(𝑥) = (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 )(√𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 ) ( + 𝑠𝑒𝑛𝑥) 2√𝑥

Ejemplo 4: Determine la derivada de 𝑓(𝑥) = 3100𝑙𝑛𝑥. Solución Aplicando el corolario 1) y la tabla de derivación básica obtenemos que: 𝑓´(𝑥) =

3100 𝑥

Teorema Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)

son funciones derivables, entonces

Ejemplo 5: Determine la derivada de

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥.

Solución 5

𝑓 ′

( ) (𝑥 ) = 𝑔

𝑔(𝑥)𝑓´(𝑥)−𝑔´(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑔 2 (𝑥)

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Aplicando el teorema 4) y la tabla de derivación básica obtenemos que: 𝑠𝑒𝑛𝑥 ′ 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥)´ − (𝑐𝑜𝑠𝑥)´𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 − (−𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓´(𝑥) = (𝑡𝑎𝑛𝑥)´ = ( = ) = 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2 1 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = = = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠2 𝑥

Teorema

Sea 𝑓(𝑥) derivable, entonces

′

(𝑓 𝑛 (𝑥)) (𝑥) = 𝑛𝑓 𝑛−1 (𝑥). 𝑓′ (𝑥)

Ejemplo 6: Determine la derivada de

𝑓(𝑥) = (𝑡𝑎𝑛𝑥)10.

Solución Aplicando el teorema 5) y la derivada del ejemplo 4, obtenemos que: 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑡𝑎𝑛10 𝑥)′ = 10𝑡𝑎𝑛9𝑥. (𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = 10𝑡𝑎𝑛9𝑥. 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

Ejemplo 7: Determine la derivada de Solución

𝑓(𝑥) = (

1

𝑥−1

5

) +(

𝑥

𝑥−2

)

−7

Aplicando el teorema 5) y la derivada del ejemplo 4, obtenemos que: ′

′

𝑥 −7 1 5 1 5 𝑥 −7 𝑓 ′ (𝑥) = [( ) ] ) ] + [( ) ] = [( ) +( 𝑥−2 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−1

′

1 4 1 ′ 𝑥 ′ 𝑥 −8 𝑓 ′ (𝑥) = 5 ( ) ) ( ) − 7( ) ( 𝑥−2 𝑥−2 𝑥−1 𝑥−1 4 ′ − (𝑥 − 1)′ (𝑥 − 1)(1) 1 𝑥 −8 (𝑥 − 2)(𝑥)′ − 𝑥(𝑥 − 2)′ 𝑓 ′ (𝑥) = 5 ( ] ) [ ) [ ] − 7( 2 (𝑥 − 2)2 𝑥−1 𝑥 − 2 (𝑥 − 1) −6 4 (𝑥 − 2)6 1 1 −2 𝑥 −8 −1 𝑓 ′ (𝑥) = 5 ( ) + 14 ] = −5 ( ) [ ]−7( ) [ 𝑥 −1 𝑥8 (𝑥 − 2)2 𝑥−2 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2

Ejemplo 8: Determine la derivada de: Solución

𝑓(𝑥) =

𝑙𝑛𝑥−𝑙𝑛2 𝑥 𝑥+𝑥 2

Aplicando la derivada de una división de funciones y el teorema 5), obtenemos que: 𝑓 ′ (𝑥 ) =

1 2𝑙𝑛𝑥 2 2 (𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛 2𝑥)′ (𝑥 + 𝑥2) − (𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛 2𝑥)(𝑥 + 𝑥2 )′ (𝑥 − 𝑥 ) (𝑥 + 𝑥 ) − (𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥)(1 + 2𝑥) = (𝑥 + 𝑥 2)2 (𝑥 + 𝑥 2)2

6...