Sammanfattning - Mekanik 1 PDF

Preview

Summary

Download Sammanfattning - Mekanik 1 PDF

Description

Kompendium 2, Mekanik 1 SG1130 Introduktion - Mekanikens lagar & storheter- Partikelkinematik – Kraftsystem – Energisystem – Centralkraftrörelse - Svängningsrörelse

Introduktion Hej! Nu får du banne mig se till att plugga och inte kugga tentan. Kör hårt!

Mekanikens lagar & storheter Newtons rörelselagar – Eulers lagar för stela kroppar i vila – Keplers lagar – Mekanikens storheter

Newtons rörelselagar Newtons tre lagar lade grunden för modern mekanik, och bygger bl.a. på Keplers och Kopernikus upptäckter. 1. Tröghetslagen En ’fri’ partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse 2. Kraftekvationen ´F=m a´ 3. Kraftpar För varje kraft, en motkraft. Två kroppar påverkar alltid varandra med lika stora (men inte samma) men motriktade krafter. Om någon är intresserad av att lära sig rörelselagarna på latin finns de nedan.

Leges motus Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem

Eulers lagar för stela kroppar i vila ´F=0´ ingen translation av masscentrum 1. ´ =0´ ingen rotation kring masscentrum 2. M 3. Krafter uppstår i aktion-reaktionspar så att kraftsumman blir noll (Newtons tredje lag)

Keplers lagar 1. Planeterna rör sig i elliptiska banor med solen i en av brännpunkterna. 2. En planet rör sig så att sektorhastigheten är konstant. 3. Kvadraten av omloppstiden T för en planet är proportionell mot kuben av storaxelns längd, 2

T =k a

3

, där k är samma för alla planeter!

Mekanikens storheter Mekanikens storheter är massan M, läget L och tiden T. Dessa anges i kilogram, meter respektive sekunder. Utifrån dessa storheter kan alla andra storheter inom mekaniken definieras. Via en dimensionsanalys kan en storhet brytas ned i MLT-dimensionerna.

Kraft : ML T

−2

Hastighet : LT

−1

Acceleration : LT

−2

Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/ eller lagar.

Partikelkinematik Allmänt om partikelkinematik – polära koordinater – naturliga koordinater

Allmänt om partikelkinematik Mekaniken kan delas upp i statik och dynamik. I statiken behandlas statiska system, system i jämvikt, medan dynamiken avhandlar alla andra system. Dynamik delas ofta upp i kinematik och kinetik; rörelse utan kraft respektive rörelse med kraft. I vårt fall kommer vi att betrakta kinematik för partiklar. En partikel är en kropp (en massfördelning i rummet) som har massan koncentrerad i en matematisk punkt. De partiklar vi studerar finns inte i verkligheten, men ger en bra idealisering om man bara är intresserad av att studera rörelsen och kroppens utsträckning inte spelar någon roll för problemet. En rörelse kan observeras i olika referenssystem; olika utgångssätt att se på rörelsen. De systemen som hanteras i mekaniken är kartesiska koordinater, cylinderkoordinater och det naturliga koordinatsystemet. Gemensamt för alla referenssystem är att de sätter rörelsen i relation till ett fixerat origo, vare sig det är solen, en staty eller bara en matematisk punkt. Om vi beskriver rörelsen med hjälp av vektorer kan en och samma vektor beskrivas med olika komponenter, beroende på koordinatsystem. Fördelen med vektorer är däremot att rörelsen blir oberoende av koordinatsystem och oftast enklare att förstå.

En rörelse i tre dimensioner i det beskrivs av lägesvektorn

Lägesvektorn: ´r =´r ( t ) =( x ( t ) , y ( t ), z ( t ) ) Det går också att skriva läget med basvektorerna e´ x , ´e y och e´ z .

´r ( t ) =´e x x ( t )+´e y y ( t ) +´e z z (t ) Derivering av lägesvektorn ger hastigheten. Hastighetens belopp ger farten. Derivering av hastigheten ger accelerationen. Dessa samband gäller oavsett koordinatsystem.

Hastigheten ´´r =´v

Farten|´v|=v

Accelerationen ´´r = ´a

Hastigheten ligger alltid i tangentvektorns riktning. Om farten är konstant är accelerationen vinkelrät mot hastigheten och riktad in mot kurvans krökningscentrum. Tyvärr är ´r ( t ) inte alltid känt, utan måste extrapoleras ur accelerationen och givna initialvärden. Lägesfunktionen fås genom att antiderivera uttrycket för accelerationen, och bestämma eventuella konstanter med given data.

Alternativa koordinatsystem Cylinderiska koordinatsystemet Olika situationer kräver olika koordinatsystem. Visst går det att beskriva en likformig cirkelrörelse med kartesiska koordinater, men det kan göras så mycket lättare om rörelsen skrivs om i det cylindriska koordinatsystemet med polära koordinater. De polära koordinaterna beror av en vinkel θ till skillnad från de kartesiska koordinaterna består av enbart tidsberoende funktioner. Vinkeln θ består i sin tur av produkten av vinkelhastigheten ω och en tidsvariabel t: θ=ω t . För det cylindriska koordinatsystemet ser lägesvektorn och dess derivat lite annorlunda ut. Även basvektorerna har ändrats. e´ z är kvar, men istället för e´ x och e´ y har vi istället den radiella riktningen e´ r och den transversella riktningen e´ θ , som definieras som

Radiell riktning: ´er =( cos θ , sin θ ,0 ) Transversell riktning: ´eθ=(−sin θ , cos θ , 0)=

d ´e r dt

Av det sista sammanbandet ser vi att de två riktningsvektorerna är perpendikulära! Partikeln rör sig endast i den transversella riktningen om dess vinkelkoordinat θ förändras, medan den radiella riktningen från z-axeln till planet representeras av e´ r . Allmänna uttrycken för läge, hastighet och acceleration för ett cylindriskt system beskrivs då enligt följande följande:

Läget r´ (θ) =r e´ r + z e´ z Hastigheten: ´´r =´v( θ )=´re´r +r ´θ ´e θ+ z´ e´ z 2 ´ z´ ´e Accelerationen : ´´r = ´a (θ )= e´ r ( ´r −rθ´ )+´e θ (r θ´ +2 ´r θ)+ z

I en likformig cirkelrörelse i xy-planet betyder att r är konstant, vilket gör att r´ =´r =0 , vilket ger följande uttryck:

Läge :´r (θ )=r e´ r eftersom z=0 Partikelkinematik ien cirkelrörelse Hastighet : v´ ( θ) =r θ´ e´ θ eftersom r´ =0 Acceleration : a´ ( θ) =−r θ´ 2 e´ r + r θ´ e´ θ Rörelsen sker alltså främst i den transversella riktningen. Centripetalaccelerationen blir

ac =r θ´

2

Naturliga koordinatsystemet En rörelse går även att beskriva utan hjälp av ett koordinatsystem. Detta kallas för ett naturligt koordinatsystem, vilket enbart kräver ett fast origo för att kunna avgöra läge, hastighet och acceleration. Rörelsen kan här visualiseras som spårbunden. Längs ett givet spår finns två naturliga riktningar i planet: tangentriktningen e´ t som pekar i tangentens riktning, och normalriktningen e´ n som är vinkelrät mot e´ t och pekar in mot kurvans krökningscentrum. För att ta reda på hastigheten, farten och accelerationen i detta system används en tangerande cirkel, med krökningsradien ρ. Detta ger följande formler för kinematiken

Partikelkinematik iett naturligt koordinatsystem

Hastighet : v´ ( t ) =´s e´ t

Läge :´r (t )=r ( s (t ) )

v´ Acceleration : a´ ( t )=v´ e´ t + e´ n ρ

Kraftsystem Allmänt om krafter och kraftsystem - Kraftmoment

Allmänt om krafter och kraftsystem

.

För att behandla och beskriva fenomen inom mekaniken krävs en förståelse för krafter och krafternas inverkan på kroppar i jämvikt och rörelse. Krafter skrivs som vektorer, ett belopp med en riktning, och ett kraftsystem består av flera krafter. Ofta kan ett kraftsystem förenklas eller reduceras till ett enklare system. De två elementära kraftsystemen är en ensamkraft och ett kraftpar. Ett kraftpar kan inte ersättas med en ensam kraft. För att kunna ersätta ett system med ett elementärt kraftsystem måste elementärkraftens totalkraft och vridningsförmåga vara ekvimoment med systemet som reducerats. Tyngdkraften mg är ett exempel på ett reducerat kraftsystem. Från att ha massvis med små tyngdkrafter på alla partiklar i en kropp, summeras dessa till en stor kraft, mg. Men hur angrips kroppen av kraften? För att ta reda på kraftens verkan på en kropp krävs det att angreppspunkten och kraftens verkanslinje är känt. För en stel kropp spelar det ingen roll om kraften puttar eller drar, förutsatt att krafterna ligger på samma verkanslinje. Vid reducering av system kan en enkraftsvektor vara ekvimoment med det ursprungliga systemet, men dess angreppspunkt måste inte vara förankrad i kroppen utan kan, teoretisk, verka på en punkt utanför kroppen och bevara kraft- och momentsumman.

Kraftmoment Utöver kraftens drag- eller tryckverkan har kraften även en vridande förmåga, kraftmomentet. Kraftmoment (kring origo) definieras som

M´ 0=´r × F´ ´ är kraften och r´ avståndet från origo eller en axel, vilket kan ses som en form av Där F hävarm. En Kraft som är parallell med vridningsaxeln kan inte orsaka rotation. En kraft vars verkanslinje kan inte orsaka rotation. Allmänt definieras kraftmomentet som ´ ( ´r a −r´ p) × F ´ M´ p=´r pa × F= Där

r´ p är momentpunkten och r´ a angreppspunkten och F´ kraften.

Byte av kraftmoment från punkt B till punkt A definieras av sambandsformeln:

´ A=M´ B+ ´r BA × F ´ Sambandsformeln för kraftmoment : M I tre dimensioner definieras kraftmomentets tecken av vridningens riktning. Rotationen kan ses som en skruvrörelse i xy-planet, där z-axeln definierar höjden. Om ”skruven”, alltså momentet, roterar åt höger är kraftmomentet positivt. Om skruven roterar åt vänster är kraftmomentet negativt. Den ´ är alltid vinkelrät mot kraften F ´ , vilket är användbar kunskap inom vridande förmågan M reducering av system. För ett kraftsystem med enkraftsresultant gäller då att kraften är vinkelrät mot momentet.

Jämvikt

Allmänt – Eulers jämviktsvillkor – Jämvikt med friktion – Problemlösningsmetodik

Allmänt om jämvikt Jämvikt har de flesta en intuitiv förståelse för, dock utan att kunna definiera det exakt. Definitonen av ett föremål i jämvikt säger att det finns en icke-roterande och icke-accelererande referensram, ett intertiasystem, där föremålet befinner sig i vila. Newton formulerade tre lagar för en partikel, vilket hela mekaniken bygger på. I ett referenssystem som inte roterar eller accelererar gäller att: En fri partikel fortsätter i rätlinjig rörelse utan att accelerera eller kvarstår i vila, partikelns ´ acceleration är proportionell mot kraften, F=m ´a , och att för varje aktion uppstår en lika stor

motriktad reaktion.

Eulers jämviktsvillkor För att jämvikt ska infinna sig krävs att Eulers lagar, som definierar jämviktsvillkoren, uppfylls. Eulers ´ ´0 , och att kraftmomentet är noll, lagar säger att i jämvikt är den totala kraftsumman noll, F=

M´ = ´0 . Dessa är förutsättningarna för att ett föremål inte börjar röra sig under kraftpåverkan i ett jämviktssystem.

Jämvikt med friktion Föreställ ett universum utan friktion. Minsta grepp vore omöjligt, allt skulle bara halka runt. Livet vore förmodligen radikalt annorlunda det vi vet, eller till och med omöjligt. För jämvikt med friktion avhandlas endast en typ av friktion, torr friktion, vilket är friktion mellan ytor, och beskrivs av formeln

Torr friktion: f f =μN Där μ är friktionstalet (en materialkonstant) och N normalkraften. Det som gör friktionskraften relevant för jämviktsproblem är att friktionen motverkar rörelse till en viss punkt. Friktionskraften uppstår som en motkraft till exempelvis en dragkraft på en låda, och kommer att motverka rörelse fram till dess att friktionens maxvärde överskrids, och en rörelse påbörjas. Jämviktsproblem handlar ofta om hur stor en lutning eller dragkraften kan vara innan friktionskraften överskrids och systemet bryter jämvikten. Det är alltså gränsfallen då F=μN som studeras, precis innan jämvikten bryts.

Metodik för att lösning av jämviktsproblem

Problemtyp 2: Problemformuleringen innebär att undersöka ett system på gränsen till att börja glida och kontaktställena där glidning är nära är kända. Sätt f f =f fmax=μN vid kontaktställen där glidning är överhängande. Friktionskraftens riktning ska motverka rörelsen. Bestäm sedan det okända ur jämviktsekvationerna.

Energisystem Allmänt – Kinetisk energi – Potentiell energi – Energiprincipen- Arbetslagen - Impuls – Stöttalet e

Allmänt om energisystem Energi har blivit ett centralt begrepp inom fysiken eftersom det är närvarande i allt och att det är en storhet som varken kan skapas eller förstöras. Energi kan däremot övergå i olika former, som att kemisk energi i ett batteri omvandlas till elektrisk energi eller att lägesenergi kan omvandlas till kinetisk energi. I mekaniken är man främst intresserad av mekanisk energi, som består av kinetisk och potentiell energi.

Kinetisk energi Det enklaste sammanbandet mellan energi och rörelse är den kinetiska energin, rörelseenergin, som ges av formeln

Kinetisk energi:T =

m 2 | v´| 2

Potentiell energi Potentiell energi är lite mera luddig än kinetisk energi. Potentiell energi är energi som är lagrad i ett föremål beroende på dess position i ett kraftfält eller lagrad i ett system vars energi är beroende av systemets tillstånd. Inom mekaniken är det främst lägesenergin man tittar på

Lägesenergin ( på jordytan ):V L=mgh Där g är tyngdaccelerationen, m massan och h avvikelsen i höjd från utgångsläget.

Fjäderkraft är också en typ av potentiell energi, som beror på fjäderns elongation. De olika energinivåerna definieras av hur långt fjäderns ände rört sig från sitt viloläge. Fjäderkraft definieras av formeln

Fjäderkraftens potentiellaenergi :V k =

K 2 x 2

Där V k är fjäderns lägesenergi, K fjäderkonstanten och x avvikelsen från ospänt läge. Eftersom elongationen är en kvadratterm är lägesenergin likgiltig till om lägesändringen är en elongation eller kompression!

Energiprincipen Energiprincipen säger att energi varken kan förstöras eller skapas. Detta går att utnyttja i idealiserade system, system som odämpade svängningar eller då friktion saknas. Inom mekaniken förekommer sambandet främst i formen av T =V alternativt T + V = E , där T är den kinetiska energin och V lägesenergin.

Arbetslagen/ Lagen om arbete

´ Newtons andra lag, kraftekvationen F=m ´a , säger att en kropp accelererar om dess nettokraft ökar. Rörelsetillståndet för kroppen ändras. Ofta talas det om arbete, som är den energimängd som omvandlas när en förflyttning sker under inverkan av kraft. Arbetet som utförs i under en viss tid definieras av integralen t1

Arbetet :U 0 −1 =∫ Pdt t0

Där

P

är kraftens momentana effekt som definieras:

´ ∙ v´ Kraftens momentanaeffekt : ´P= F Arbetet kan också definieras som ändringen av kinetisk energi, men det är inte uppenbart vid en första anblick. Med hjälp av effektlagen får vi sammanbandet att rörelsemängden är ändringen av den kinetiska energin T.

( ) (

2 d m ´v ∙ ´v m ´ ´ ´´ ´ m ´ ´ d mv ´ ∙ v´ =P = = ( v ∙ v +v ∙ v ) = 2 ( v ∙v )=m ´´v ∙ ´v = F T´ = 2 2 2 dt dt 2

)

Vi får då att utfört arbete är förändring i kinetisk energi. t1

t1

t0

t0

Arbetet :U 0 −1 =∫ Pdt=∫T´ dt=T 1−T 0=∆ T , Q . E . D .

För att beskriva kraftens arbete längs en väg i rummet används kurvintegraler. Kraftens arbete längs en väg i rummet definieras då som: r1

´ ∙ dr Kraftens arbete :U 0−1=∫ F r0

Där r 0 är startpunkten och r 1 slutpunkten. Om arbetet som utförs är oberoende av vägen som tas kallas kraften för konservativ. Konservativa krafter gör det möjligt att definiera energinivåer i rummet, lägesenergier som gravitationen och tyngdkraften. Lägesenergi beskrivs alltså som den konservativa kraftens potentiella energi r

Konservativa kraftens energi : V ( r )=−

∫

F´ ∙ dr

r −ref

Där r−ref är en fix referenspunkt. Arbetet som utförs av en konservativ kraft kan också definieras som skillnaden i lägesenergi r

Utfört arbete av en konservativ kraft : V ( r )=−

∫

´F ∙ dr=V 0−V 1

r−ref

där V 0 är den potentiella energin i ursprungsläget och

V 1 är slutlägets potentiella energi.

Arbeteslagen och definitionen av en konservativ krafts arbete beskriver båda ett arbete. Om kraften är konservativ, kan dessa likställas. Med detta kan energiprincipen, att den mekaniska energin bevaras, bevisas.

Bevis för energiprincipen : t1

Arbete=Arbete →∫ Pdt=− t0

r

∫

´ ∙ dr → T 1−T 0=V 0 −V 1 → V 1+T 1=T 0 +V 0 → E = E F

r −ref

Den mekaniska energin är lika i båda lägena, den mekaniska energin bevaras. Q.E.D.

Impuls Impulser är krafter under en väldigt kort tid. Impulslagen säger att en impuls definieras av förändringen i rörelsemängd

Impulsens definition: I =∆ P ´ Där formeln för rörelsemängden är P=m ´v . Impulsen kan också definieras som integralen av skillnaden i kraft under en kort tidsperiod t1

´ dt Impulsens andra definition : I =∫ F t0

´ Mellan rörelsemängden P ´ Substitution av F ger: t1

t1

t0

t0

och kraften

F´

finns ett sammanband, nämligen

´´ ´ . P= F

´ dt = P ( t1 )−P ( t 0 ) =∆ P , I =∆ P Q. E . D. I =∫ F´ dt=∫ P Krafter under tid orsakar en impuls, förändring i rörelsemängd.

Stöttalet e Impulser uppstår ofta som en konsekvens av kollisioner. För att avgöra hur kollisionen kommer bete sig, om två kroppar kommer fastna i varandra, separeras med samma hastighet som de kolliderade med eller något däremellan bestäms av stöttalet e. Stöttalet är en materialkonstant som beror av kvoten mellan den relativa separationshastigheten och den relativa kollisionshastigheten

separationshastighet ≥0 | Relativ Relativ kollisionshastighet |

e=

För stöttalet finns två extremvärden, e=1 och e=1 . Vad innebär detta? Rörelsen måste ha en relativ kollisionshastighet, annars skulle de inte stöta in i varandra, som inte förändras och alltså inte är noll. Då e=0 innebär det att den relativa separationshastigheten måste vara likställd med noll; de två kropparna smälte in i varandra som två degklumpar (eller som två bilar i en frontalkollision, för den morbida) vid kollision. Detta kallas för en fullkomligt oelastisk stöt. Då e=1 är den relativa separationshastigheten lika stor som den relativa separationshastigheten. Rörelsemängden bevaras efter stöt i båda fallen, men stöten är utan energiförlust om separationshastigheten är lika stor som kollisionshastigheten. Detta är en fullkomligt elastisk stöt, och är svår att visualisera, eftersom det enbart är ett teoretiskt fenomen.

Centralkraftsrörelse Allmänt om centralkrafter – Centralkraftens rörelsemängdmoment – Sektorhastigheten – Kinetisk & potentiell energi – Keplers lagar – Banenergiformeln – (Ellipsens egenskaper)

Allmänt om centralkrafter En centralkraft är en kraft vars storlek endast beror av avståndet från centrum till kroppen i fråga, och är riktad radiellt från centrum. Eftersom kraften enbart beror av avståndet till centrum uppvisar centralkraftsfältet en sfärisk symmetri, ex. planetbanor. Centralrörelsen kan beskrivas av två ekvationer. Den första är ett uttryck för rörelsemängdmomentet 2 H´ 0=m r θ´ ´e z

och att den kinetiska energin för rörelsen är alltid

mv 2 m ´2 2 ´ , båda = ( r + r θ) 2 2

uttryckta i cylindriska koordinater. Kroppens rörelse sker alltid i ett plan.

Centralkraftens rörelsemängdmoment En konsekvens av centralkraftrörelsen blir att systemets mekan...