Serie 1 Analisis Numerico Temas 1, 2 y 3 Delgado PDF

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Universidad Nacional Autónomade MéxicoFacultad de IngenieríaDivisión de Ciencias BásicasAnálisis Numérico (1433)Grupo 22Profesor: Ing. Gerardo Flores DelgadoAlumno(s): Martínez Martínez AndreaAlvarado Jiménez Joel AlexanderSerie Temas 1 y 2UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOFACULTAD DE INGENIERÍ...

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Análisis Numérico (1433)

Grupo 22 Profesor: Ing. Gerardo Flores Delgado Alumno(s): Martínez Martínez Andrea Alvarado Jiménez Joel Alexander Serie Temas 1 y 2

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS ANÁLISIS NUMÉRICO Serie 1. Ejercicios Tema 1 y 2 Fecha de Entrega lunes 11/10 ING. GERARDO FLORES DELGADO Semestre: 2022-1 Gpo:22 Calif:: _____ Alumno(s): Martínez Martínez Andrea. 1. Redondear los números siguientes: 1) 8.755 2) 0.368 124 x 102 3) 4 225.0002 4) 5.555 x 103 5) 0.999 500 a) A tres cifras significativas de precisión. b) A tres dígitos decimales. a) Número

A tres cifras significativas

8.755

8.76

0.368 124 x 102

0.368 x 102

4 225.0002

4,225

5.555 x 103

5.56 x 103

0.999 500

1

Número

A tres dígitos decimales

8.755

8.755

0.368 124 x 102

0.368 x 102

4 225.0002

4,225.000

5.555 x 103

5.555 x 103

0.999 500

0.999

b)

2. Sumar las cantidades siguientes, primero en orden ascendente y luego en orden descendente, considerando mantisa de cuatro dígitos; por otra parte, realice la suma exacta (con todos los dígitos de la calculadora). Calcule el error absoluto y relativo en % que se comete en cada caso: 0.2685 x 104 0.9567 x 103 = 0.09567x104 0.0053 x 102 = 0.00053x104 0.1111 x 101 = 0.0001111x104

Suma en orden ascendente Cantidad normalizada

Subtotal

0.2685 x 104 0.09567x104

0.3642x104

0.00053x104

0.3647x104

0.0001111x104

0.3648x104

Suma en orden descendente. Cantidad normalizada

Subtotal

0.1111x101 0.053x101

0.1641x101

95.67x101

95.8341x101

268.5x101

364.3341x101

Valor exacto de la suma: 3643.341 Error absoluto y relativo de la suma descendente: Eabs = | 3643.341 − 3648 | = 4.659𝐸 3643.341 − 3648 | (100) = 0.00127⁒ 𝐸𝑟 = | 3643.341

Error absoluto y relativo de la suma ascendente: Eabs = | 3643.341 − 3643.341 | = 0 3643.341 − 3643.341 𝐸𝑟 = | | (100) = 0⁒ 3643.341

3. Utilice un polinomio de Taylor de grado cinco generado en el entorno del punto a=0 para aproximar la función f(x)=cos(x) ; posteriormente encuentre: a) El valor exacto para cos (π/3) b) El valor aproximado de cos (π/3) utilizando la serie de Taylor c) Determine el error relativo en % al aproximar la función.

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) --------------------𝑓(0) = 𝑐𝑜𝑠(0) = 1

𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)------------------𝑓´(0) = −𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑓´´(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥)-----------------𝑓´´(0) = −𝑐𝑜𝑠(0) = −1 𝑓´´´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)-----------------𝑓´´´(0) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑓´´´´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)----------------𝑓´´´´(0) = 𝑐𝑜𝑠(0) = 1 𝑓´´´´´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)-------------𝑓´´´´´(0) = −𝑠𝑒𝑛(0) = 0 𝑓´´´´´´(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥)------------𝑓´´´´´´(0) = −𝑐𝑜𝑠(0) = −1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 1 − 𝑥 =

𝑥2 𝑥4 𝑥6 + − 2 24 720

𝜋 3

1 2 𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 = 0.5036 𝐸𝑎𝑏𝑠 = 0.0036 𝐸𝑟𝑒𝑙 = 0.0072% 𝐸𝑥𝑝(𝑥) =

4. Aplique el método de bisección para encontrar una aproximación a la raíz de la ecuación, x3 – 7x2 +14x -6 = 0 para una tolerancia del 0.1% x1 = 2 - √2 x2 = 3 x3 = 2 + √2 xa = 0 xb = 2 𝑥 +𝑥

0+2

𝑥𝑟 = 𝑎 𝑏 = 2 = 1 2 𝑓(0) = 03 − 7(0)2 + 14(0) − 6 = −6 𝑓(1) = 13 − 7(1)2 + 14(1) − 6 = 2 𝑓(𝑥𝑎 )𝑓(𝑥)𝑟 = (0.6)(2) = 12 < 0 𝑥𝑏 = 1 0+1 = 0.5 2 3 𝑓(0) = 0 − 7(0)2 + 14(0) − 6 = −6 𝑓(0.5) = (0.5)3 − 7(0.5)2 + 14(0.5) − 6 = −0.625 𝑓(𝑥𝑎 )𝑓(𝑥)𝑟 = −6(−0.625) = 3.75 > 0 𝑥𝑎 = 0.5 𝑥𝑟 =

0.5 + 1 = 0.75 2 𝑓(0.5) = (0.5)3 − 7(0.5)2 + 14(0.5) − 6 = −0.625 𝑓(0.75) = (0.75)3 − 7(0.75)2 + 14(0.75) − 6 = −0.9843 𝑓(𝑥𝑎 )𝑓(𝑥)𝑟 = (−0.625)(0.9843) = −0.6152 < 0 𝑥𝑏 = 0.75 𝑥𝑟 =

Iteración

Xa

Xb

Xr

f(Xi)

f(Xr)

f(Xa)f(Xr)

Error%

1

0

2

1

-6

2

-12

2

0

1

0.5

-6

-0.625

3.75

100

3

0.5

1

0.75

-0.625

0.984375

-0.61523438

33.333333

4

0.5

0.75

0.625

-0.625

0.25976563

-0-16235352

20

5

0.5

0.625

0.5625

-0.625

-0.16186523

0.10116577

11.111111

6

0.5625

0.625

0.59375

-0.16186523

0.05404663

-0.00874827

5.26315789

7

0.5625

0.59375

0.578125

-0.16186523

-0.05262375

0.00851796

2.7027027

8

0.578125

0.59375

0.5859375

-0.05262375

0.0010314

-5.43E-05

1.333333

9

0.578125

0.5859375

0.58203125

-0.05262375

-0.01232228

0.00135327

0.67114094

10

0.58203125

0.5859375

0.58398438

-0.02571601

-0.01232228

0.00031688

0.33444816

11

0.58398438

0.5859375

0.58496094

-0.01232228

-0.00564044

6.95E-05

0.16694491

12

0.58496094

0.5859375

0.58544922

-0.00564044

-0.002303327

1.30E-05

0.08340284

𝑥𝑟 = 0.58544922 5. Encontrar la raíz cuadrada positiva de 10 usando el método de la regla falsa con es = 0.10%. Utilizar los valores iniciales de a = 3 y b = 3.2. √10 = 3.162277 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 10 𝑓(𝑎) = 32 − 10 = −1 𝑓(𝑏) = (3.2)2 − 10 = 0.24 0.24(3 − 3.2) = 3.16129 𝑥𝑟 = 3.2 − −1 − 0.24 3.15227 − 3.16129 𝐸𝑡 = (100) = 0.03099 3.16227 6. Usando el Método de Aproximaciones Sucesivas obtener una raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 con tolerancia de 0.01 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 𝑓(−3) = −16 𝑥 = −3 𝑓(−2) = −1 𝑥 = −1 𝑓(−1) = 6 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 "x" 𝑑𝑒 𝑥 3 − 2𝑥 + 5 = 0 3 𝑥 = √2𝑥 + 5 3−1 𝑥𝑟 = = −2 2 2 𝑔′(𝑥) = 3 3 √(2𝑥 + 5)2 𝑔(𝑥𝑟 ) = 0.1436 < 0 3 𝑥 = √2(0.1436) + 5 𝑥 = 1.7421

7. Encontrar la raíz de la ecuación f(x) = ex – πx, usando el método de Newton Raphson con tolerancia de 0.0001 |𝑥1 − 𝑥0 | 𝑥=2 𝑃0 (2, 1.10587) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 𝜋𝑥 𝑥0 = 2 x0

2

1.7396

1.64955

1.63868

1.6385

x1

1.7396

1.6449

1.6385

1.6385

1.6383

f(x0)

1.1058

0.23005

0.02243

0.000306

6.00567E-0.8

f'(x0)

4.2474

2.5536

2.063

2.0067

2.00599

|x1-x0|

0.2603

0.09008

0.01087

0.000152

2.9939E-0.8

5 iteraciones

−8

2.9939 × 10 < 0.0001 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑥 = 1.6382

8. Encontrar las raíces de la ecuación f(x) = x4 -8.6x3 – 35.51x2 +464x -998.46 usando el con error estimado de = 0.001 (𝑥 2 − 8.577439𝑥 + 18.441071)(1𝑥 2 − 0.022561𝑥 − 54.144587) + 𝑅𝑥 + 𝑠 = 0 (𝑥 2 − 8.577439𝑥 + 18.441071)(1𝑥 2 − 0.022561𝑥 − 54.144587) = 0 Para 𝑥 2 − 8.577439𝑥 + 18.441071 las raíces son: 𝑥1 = 4.2887 − 0.21189𝑖 𝑥2 = 4.2887 + 0.21189𝑖 Para 𝑥 2 − 0.022561𝑥 + 54.144587 las raíces son: 𝑥1 = −7.3470 𝑥2 = 7.3695 ∴ Las raíces de 𝑥 4 − 8.6𝑥 3 − 35.51𝑥 2 + 464𝑥 − 998.46 son: 𝑥1 = 4.2887 − 0.21189𝑖 𝑥2 = 4.2887 + 0.21189𝑖 𝑥3 = −7.3470 𝑥4 = 7.3695...