Serie De Potencias PDF

Preview

Summary

Series de Potencias...

Description

SERIE DE POTENCIAS:

Ya hemos estudiado los polinomios de Taylor y MacLaurin que aproximan funciones en un entorno de algún x0. También tuvimos oportunidad de comprobar que la aproximación es mejor cuanto mayor sea el grado del polinomio. Ahora veremos que muchas clases importantes de funciones pueden ser expresadas exactamente por una serie perteneciente a una familia de series denominadas serie de potencias. Pero antes, vayamos a la definición precisa de serie de potencias: 

Si x es una variable, una serie de potencias es cualquier serie de la forma . Más en general, diremos que cualquier serie de la forma es una serie de potencias centrada en c, donde c es una constante.

Ejemplos: 

La siguiente serie está centrada en 0:



La siguiente serie está centrada en -1: …

2

3

= 1 – (x+1) + (x+1) – (x+1) +

Radio e intervalo de convergencia: Una serie de potencias puede verse como una función de x: . El dominio de f son todos los valores de x para los cuales la serie converge. Nuestro primer objetivo será, entonces, averiguar el dominio de una serie de potencias. Naturalmente, toda serie de potencias converge en su centro c, ya que si tenemos que 0. Así pues, c siempre pertenece al dominio de f.

Convergencia de una serie de potencias: Para una serie de potencias centrada en c, sólo una de estas tres afirmaciones es verdadera. 1. La serie sólo converge en c. 2. Existe un número real R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente cuando y divergente cuando . 3. La serie es absolutamente convergente para todo x perteneciente a los números reales. El número R es el radio de convergencia de la serie de potencias. Si la serie sólo converge en x=c, el radio de convergencia es R=0 y si converge en toda la recta real es R=∞. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie es convergente, se denomina intervalo de convergencia de la serie.

1

Determinación del radio de convergencia: Para hallar R se puede utilizar cualquier criterio de series absolutamente convergentes:

I.

Criterio de D´Alembert: Dada

, determinemos los valores de x para los cuales la el criterio asegura que cuando L...