Series y residuos PDF

Preview

Summary

tema completo de series y residuos...

Description

17

SERIES Y RESIDUOS

Estructura del capítulo 17.1 Sucesiones y series 17.2 Serie de Taylor 17.3 Serie de Laurent 17.4 Ceros y polos 17.5 Residuos y teorema del residuo 17.6 Cálculo de integrales reales Ejercicios de repaso

La fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas indica que si una función f es analítica en un punto z0, entonces, dicho punto tiene derivadas de todos los órdenes. Como consecuencia del resultado anterior, en el presente capítulo se plantea que f puede desarrollarse siempre en una serie de potencias centrada en dicho punto. Por otro lado, si f no es analítica en un punto z0, es posible desarrollarla aun en un tipo diferente de serie conocida como serie de Laurent. El concepto de serie de Laurent conduce al concepto de un residuo, el que a su vez lleva a otra forma de calcular integrales complejas.

664

17.1

Sucesiones y series

Introducción Gran parte de la teoría de sucesiones y series complejas es análoga a la existente en cálculo real. En esta sección se analizan las definiciones de convergencia y divergencia para sucesiones complejas y series infinitas complejas. Además, se proporcionan algunas pruebas para la convergencia de series infinitas. Se sugiere poner atención especial a lo expuesto sobre series geométricas, ya que este tipo de series son importantes en secciones posteriores de este capítulo. Sucesiones Una sucesión {zn} es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos; en otras palabras, a cada entero n ⫽ 1, 2, 3, …, se le asigna un número complejo zn. Por ejemplo, la sucesión {1 ⫹ in} es

y

ε

1 ⫹ i, c n ⫽ 1,

1 ⫺ i, 2, 1 ⫹ i, … c c c n ⫽ 3, n ⫽ 4, n ⫽ 5, … .

0, c n ⫽ 2,

L

(1)

Se dice que si límnSq zn ⫽ L la sucesión {zn} es convergente. En otras palabras, {zn} converge al número L si, para cada número positivo e, se encuentra un N tal que 兩zn ⫺ L兩 ⬍ e siempre que n ⬎ N. Como se muestra en la FIGURA 17.1.1, cuando una sucesión {zn} converge a L, todos excepto un número finito de términos de la sucesión se hallan dentro de una e-vecindad de L. La sucesión {1 ⫹ in} ilustrada en (1) es divergente, puesto que el término general zn ⫽ 1 ⫹ in no tiende a un número complejo fijo cuando n S q. De hecho, los primeros cuatro términos de esta sucesión se repiten infinitamente al incrementarse n.

■ EJEMPLO 1

La sucesión e

x

FIGURA 17.1.1 Si {zn} converge a L, todos excepto un número finito de términos se encuentran en una e-vecindad de L

Una sucesión convergente i

n11

n

f converge, ya que lím nSq

y i 4 1 3

–1 5

in11 5 0. n

x

–1

1 i 1 i 21, 2 , , , 2 , p , 2 3 4 5 y la FIGURA 17.1.2, los términos de la sucesión avanzan hacia el punto z ⫽ 0 en forma de espiral. Como se observa de

FIGURA 17.1.2 Los términos de la sucesión espiral se acercan a 0 en el ejemplo 1

El siguiente teorema debería ser intuitivo: Teorema 17.1.1

– i 2

Criterio para la convergencia

Una sucesión {zn} converge a un número complejo L si, y sólo si, Re(zn) converge a Re(L) e Im(zn) converge a Im(L).

■ EJEMPLO 2

La sucesión e

Ilustración del teorema 17.1.1

ni f converge a i. Obsérvese que Re(i) ⫽ 0 e Im(i) ⫽ 1. Entonces, de n 1 2i 2n ni n2 5 2 zn 5 1i 2 , n 1 2i n 14 n 14

se observa que Re(zn) ⫽ 2n/(n2 ⫹ 4) S 0 e Im(zn) ⫽ n2/(n2 ⫹ 4) S 1 cuando n S q. Series

Una serie infinita de números complejos q

a zk

z1

z2

z3

…

zn

…

k51

17.1 Sucesiones y series

665

es convergente si la sucesión de sumas parciales {Sn}, donde Sn ⫽ z1 ⫹ z2 ⫹ z3 ⫹ … ⫹ zn, converge. Si Sn S L cuando n S q se dice que la suma de la serie es L. Serie geométrica

Para la serie geométrica q

a az

k21

a

…

az2

az

…

1

azn

(2)

k51

el término n-ésimo de la sucesión de sumas parciales es Sn ⫽ a ⫹ az ⫹ az2 ⫹ … ⫹ azn⫺1.

(3)

Al multiplicar Sn por z y restarle este resultado a Sn se obtiene Sn ⫺ zSn ⫽ a ⫺ azn. Al despejar Sn se obtiene Sn 5

a11 2 zn2 . 12z

(4)

Como zn S 0 cuando n S q, siempre y cuando 兩z兩 ⬍ 1 se concluye de (4) que (2) converge a a 12z para 兩z兩 ⬍ 1; la serie diverge cuando 兩z兩 ⱖ 1. La serie geométrica especial 1 12z 1 11z

y

1

z (5)z2

z3

…

1

z

z2

z3

… (6)

válida para 兩z兩 ⬍ 1, es de utilidad particular en las siguientes dos secciones. Asimismo, en las demostraciones de los dos principales teoremas de este capítulo se utiliza 1 2 zn 12z

1

z

z2

z3

…

z

z2

z3

…

zn

1

zn

(7)

o, en su forma alternativa, 1 12z

1

1

zn 12z

(8)

en las demostraciones de los dos principales teoremas de este capítulo.

■ EJEMPLO 3

Serie geométrica convergente

La serie 11 1 2i2 k

q

a

5

5k

11 1 2i2 3 11 1 2i2 2 1 1 2i 1 1 p 1 5 52 53

es una serie geométrica con a ⫽ (1 ⫹ 2i)/5 y z ⫽ (1 ⫹ 2i)/5. Como |z| ⫽ !5/5 ⬍ 1, la serie converge y entonces se escribe k51

1 1 2i 11 1 2i2 5 i 5 5 . a 1 1 2i 2 5k k51 12 5 q

Teorema 17.1.2

k

Condición necesaria para la convergencia

Si g k⫽1 zk converge, entonces límnSq zn ⫽ 0. q

666

CAPÍTULO 17 Series y residuos

Una forma equivalente del teorema 17.1.2 es la conocida prueba del n-ésimo término para la divergencia de una serie infinita. Teorema 17.1.3

La prueba del n-ésimo término para la divergencia

Si límnSq zn ⫽ 0, entonces la serie gkq⫽1 zk diverge. q Por ejemplo, la serie gk⫽1 (k ⫹ 5i)/k diverge puesto que zn ⫽ (n ⫹ 5i)/n S 1 cuando n S q. La serie geométrica (2) diverge cuando 兩z兩 ⱖ 1, ya que, límnSq 兩zn兩 no existe en este caso.

Definición 17.1.1

Convergencia absoluta

q q 兩zk兩 conSe dice que una serie infinita gk⫽1 zk es absolutamente convergente si gk⫽1 verge.

■ EJEMPLO 4

Convergencia absoluta

q La serie gk⫽1 (ik /k2) es absolutamente convergente puesto que 兩ik/k2兩 ⫽ 1/k2 y la serie real q 2 g k⫽1 (1/k ) converge. De los cursos de cálculo recuerde que una serie real de la forma q g k⫽1 (1/kp) se denomina una serie p, la cual converge para p ⬎ 1 y diverge para p ⱕ 1.

Al igual que en cálculo real, La convergencia absoluta implica convergencia. Así, en el ejemplo 4, la serie absolutamente convergente q 1 ik i p a k2 5 i 2 22 2 32 1 k51

converge. Las dos pruebas siguientes son las versiones complejas de las pruebas de la razón y de raíz encontradas en cálculo: Teorema 17.1.4

Prueba de la razón

Supóngase que g k⫽1 zk es una serie de términos complejos no nulos tales que q

lím 2

nSq

zn 1 1 2 5 L. (9) zn

i) Si L ⬍ 1, entonces la serie converge absolutamente. ii) Si L ⬎ 1 o L ⫽ q, entonces la serie diverge. iii) Si L ⫽ 1, la prueba no es concluyente. Teorema 17.1.5

Prueba de raíz

Supóngase que g k⫽1 zk es una serie de términos complejos tales que q

n

lím 2Zzn Z 5 L. (10)

nSq

i) Si L ⬍ 1, entonces la serie converge absolutamente. ii) Si L ⬎ 1 o L ⫽ q, entonces la serie diverge. iii) Si L ⫽ 1, la prueba no es concluyente. Fundamentalmente, se tiene interés en aplicar estas pruebas a las series de potencias. 17.1 Sucesiones y series

667

Series de potencias El concepto de series de potencias es importante en el estudio de funciones analíticas. Una serie infinita de la forma q

k a0 a1(z z 0) a2(z z 0)2 … , (11) a ak (z z 0) k50 donde los coeficientes a k son constantes complejas, se denomina series de potencias en z ⫺ z0. Se dice que la serie de potencias (11) está centrada en z0, y el punto complejo z0 se conoce como el centro de la serie. En (11) es conveniente también definir (z ⫺ z0)0 ⫽ 1 incluso cuando z ⫽ z0.

y |z–z0| = R convergencia z0 R

divergencia x

FIGURA 17.1.3 Una serie de potencias converge en todos los puntos dentro del círculo de convergencia

Círculo de convergencia Todas las series de potencias complejas tienen radio de convergencia R. En forma análoga al concepto de intervalo de convergencia en cálculo real, cuando 0 ⬍ R ⬍ q, una serie de potencias compleja (11) tiene un círculo de convergencia definido por 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R. La serie de potencias converge absolutamente para todos los z que satisfagan 兩z ⫺ z 0兩 ⬍ R y diverge para 兩z ⫺ z 0兩 ⬎ R. Véase la FIGURA 17.1.3. El radio de convergencia R puede ser: i) cero (en cuyo caso (11) converge únicamente en z ⫽ z0), ii) un número finito (en cuyo caso (11) converge en todos los puntos interiores del círculo 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R), o iii) q (en cuyo caso (11) converge para cualquier z). Una serie de potencias puede converger en algunos, todos o ninguno de los puntos del círculo de convergencia.

■ EJEMPLO 5

Círculo de convergencia

q Considérese la serie de potencias gk⫽1 (zk⫹1/k). Por medio de la prueba de la razón (9),

zn 1 2 n n11 ZzZ 5 ZzZ. lím 4 n 1 1 4 5 lím nSq nSq z n11 n Así pues, la serie converge absolutamente para 兩z兩 ⬍ 1. El círculo de convergencia es 兩z兩 ⫽ 1 y el radio de convergencia es R ⫽ 1. Obsérvese que en el círculo de convergencia, la serie no converge absolutamente, puesto que la serie de valores absolutos es la muy q conocida serie armónica divergente gk⫽1 (1/k). Sin embargo, hay que tomar en cuenta que esto no significa que la serie diverja en el círculo de convergencia. De hecho, en z ⫽ ⫺1, q g k⫽1 ((⫺1)k⫹1/k) es la serie armónica alternante convergente, y puede demostrarse que la serie converge en todos los puntos sobre la circunferencia 兩z兩 ⫽ 1 excepto en z ⫽ 1. Debería ser claro a partir del teorema 17.1.4 y del ejemplo 5 que para una serie de potencias g kq⫽0 ak(z ⫺ z0)k , el límite (9) depende únicamente de los coeficientes ak. Así, si an 1 1 2 L 0, el radio de convergencia es R 1/L; i) lím 2 nSq an ii) lím 2

iii) lím 2 nSq

nSq

an 1 1 2 an

an 1 1 2 an

0, el radio de convergencia es q;

q, el radio de convergencia es R

0. n

Pueden realizarse observaciones similares para la prueba de raíz (10) utilizando lím nSq 2Zan Z.

■ EJEMPLO 6

Radio de convergencia

q 1212 k 1 1 1z 2 1 2 i2 k Considérese la serie de potencias a . Al identificar an ⫽ ( ⫺1)n⫹1/n! k! k51 se tiene que 1212 n 1 2

lím 4

nSq

668

CAPÍTULO 17 Series y residuos

1n 1 12! 1 5 0. 4 5 lím 1212 n 1 1 nSq n 1 1 n!

Así, el radio de convergencia es q; la serie de potencias con centro 1 ⫹ i converge completamente para todas las z.

■ EJEMPLO 7

Radio de convergencia

q k 6n 1 1 n Considérese la serie de potencias aa 6k 1 1 b 1z 2 2i2 k. Con an a b , la prueba 2k 1 5 2n 1 5 de raíz en la forma k51 6n 1 1 n lím 2Zan Z 5 lím 53 nSq 2n 1 5 nSq muestra que el radio de convergencia de la serie es R ⫽31. El círculo de convergencia es |z ⫺ 2i | ⫽ 13; la serie converge absolutamente para|z ⫺ 2i| ⬍ 31.

17.1

Ejercicios

Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-32.

En los problemas del 1 al 4, escriba los primeros cinco términos de la sucesión indicada. 2. {2 ⫹ (⫺i)n} 1. {5in} 3. {1 ⫹ enpi} 4. {(1 ⫹ i)n} [Sugerencia: Escríbalos en forma polar.] En los problemas del 5 al 10, determine si la sucesión indicada converge o diverge. ni 1 2n 3ni 1 2 f f 6. e 5. e 3ni 1 5n n 1 ni n 2 n11 1 i 2 1ni 1 22 f 8. e f 7. e n11 n2i n n1i f 10. {e1/n 2(tan 1n)i} 9. e 2n En los problemas 11 y 12, demuestre que la sucesión indicada {zn} converge a un número complejo L calculando límnSq Re(zn) y límnSq Im(zn). 11i n 4n 1 3ni b f f 12. e a 11. e 4 2n 1 i En los problemas 13 y 14, utilice la sucesión de sumas parciales para mostrar que la serie indicada es convergente. q 1 1 2 d 13. a c k 1 1 1 2i k 5 1 k 1 2i q i 14. a k1k 1 12 k52 En los problemas del 15 al 20, determine si la serie geométrica indicada es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma. q q 1 k21 15. a 11 2 i2 k 16. a 4i a b 3 k51 k50

17.2

17. a a b k51 2 q

i

k

q

b 19. a 3 a 1 1 2i k50 q

2

1

18. a i k k50 2 q

k

ik

20. a k21 k 5 2 11 1 i2

En los problemas del 21 al 28, encuentre el círculo y el radio de convergencia de la serie de potencias indicada. q 1 21. a 1z 2 2i2 k 11 2 2i2 k 1 1 k50 k q 1 i 22. a b zk a 11i k51 k q q 1212 k 1 k 1z 1 3i2k 24. a 2 23. a k 1z 2 1 2 i2 k2 k 13 1 4i 2 k k51 k51 q zk q 26. a k 25. a 11 1 3i2 k 1z 2 i2 k k k50 q

27. a

k51

1z 2 4 2 3i2 k

52k 1 1 2i k 28. a 1212 k a b 1z 1 2i2 k 2 k50 k50 q

q

29. Demuestre que la serie de potencias a

1z 2 i2 k

no es absok2k lutamente convergente sobre su círculo de convergencia. Determine al menos un punto de dicho círculo en el que la serie de potencias converja. q zk 30. a) Demuestre que la serie de potencias a 2 converge en k51 k todos los puntos de su círculo de convergencia. k51

q

b)

Demuestre que la serie de potencias akzk diverge en k51

todos los puntos de su círculo de convergencia.

Serie de Taylor

Introducción La correspondencia entre un número complejo z del interior del círculo de k convergencia y el número al que converge la serie gkq ⫽1 a k(z ⫺ z0) tiene un único valor. En este sentido, una serie de potencias define o representa una función f; para una z específica 17.2 Serie de Taylor

669

en el interior del círculo de convergencia, el número L al que converge la serie de potencias se define como el valor de f en z, esto es, f (z) ⫽ L. En esta sección se presentan algunos datos importantes sobre la naturaleza de esta función f. En la sección anterior se plantea que todas las series de potencias tienen un radio de convergencia R. A lo largo de la argumentación de esta sección se plantea que una serie q de potencias g k⫽1 ak(z ⫺ z0)k tiene un radio R de convergencia que es positivo o infinito. Los siguientes tres teoremas ofrecen algunos elementos importantes sobre la naturaleza de una serie de potencias en el interior de su círculo de convergencia 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R, R ⫽ 0. Teorema 17.2.1

Continuidad

k Una serie de potencias g q k⫽0 a k(z ⫺ z0) representa una función continua f en el interior de su círculo de convergencia 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R, siendo R ⫽ 0.

Teorema 17.2.2

Integración término a término

Una serie de potencias gkq⫽0 ak(z ⫺ z0)k puede integrarse término a término en el interior de su círculo de convergencia 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R, siendo R ⫽ 0, para cualquier contorno C, que se encuentre completamente en el interior de dicho círculo. Teorema 17.2.3

Derivación término a término

q ak(z ⫺ z0)k puede derivarse término a término en el interior de Una serie de potencias g k⫽0 su círculo de convergencia 兩z ⫺ z0兩 ⫽ R, siendo R ⫽ 0.

Serie de Taylor Supóngase que una serie de potencias representa una función f para 兩z ⫺ z0兩 ⬍ R, siendo R ⫽ 0; esto es, q

f (z)

a ak(z

z0)k

a1(z

a0

z0)

z0)2

a2(z

a3(z

z0)3

….

(1)

k50

Del teorema 17.2.3 se infiere que las derivadas de f son q

f (z)

a kak (z

z 0)k

1

a1 (2) 2a2(z

z0)

3a3(z

…

z0)2

k51 q

f (z)

a k(k

z 0)k

1)ak(z

2

2 1a2

3 2a3(z

z0)

…

(3)

k52 q

f (z)

a k(k

1)(k

2)ak(4) (z

z 0)k

3

3 2 1a3

…

k53

etc. Cada una de las series resultantes de la derivación tiene el mismo radio de convergencia que la serie original. Asimismo, como la serie de potencias original representa una función f derivable en el interior de su círculo de convergencia, se concluye que cuando R ⫽ 0: Una serie de potencias representa a una función analítica en el interior de su círculo de convergencia. Existe una relación entre los coeficientes ak y las derivadas de f. Al calcular (1), (2), (3) y (4) en z ⫽ z0 se obtienen f (z0) ⫽ a0, f ⬘(z0) ⫽ 1!a1, f ⬙(z0) ⫽ 2!a2 y f ⵮ (z0) ⫽ 3!a3, respectivamente. En general, f (n)(z0) ⫽ n!an o f 1n2 1z02 , n $ 0. (5) n! Cuando n ⫽ 0, la derivada cero se interpreta como f (z0) y 0! ⫽ 1. Al sustituir (5) en (1) se obtiene an 5

q

f 1k2 1z02 1z 2 z02 k. (6) k! k50

f 1z2 5 a 670

CAPÍTULO 17 Series y residuos

Esta serie se denomina la serie de Taylor centrada en z0 para f. Una serie de Taylor con centro en z0 ⫽ 0, q

f 1z2 5 a

f 1k2 102 k!

k50

(7)

zk ,

se conoce como serie de Maclaurin. Se ha visto que una serie de potencias con un radio de convergencia no nulo representa una función analítica. Por otro lado, si se tiene una función f que es analítica en algún dominio D, ¿puede representarse mediante una serie de potencias de las formas (6) y (7)? Puesto que una serie de potencias converge en un dominio circular, y un dominio D no es generalmente circular, la pregunta se convierte en: ¿puede desarrollarse f en una o más series de potencias que sean válidas en dominios circulares todos ellos contenidos en D? La pregunta se contesta afirmativamente en el siguiente teorema. Teorema 17.2.4

Teorema de Taylor

Sea f analítica dentro de un dominio D y sea z0 un punto en D. Entonces f tiene la representación serie de potencias f 1k2 1z02

q

f 1z2 5 a k50

k!

(8)

1z 2 z02 k

válida para el círculo más grande C, con centro en z0 y radio R, comprendido enteramente dentro de D. DEMOSTRACIÓN

Sea z un punto fijo dentro del círculo C y sea s la variable de integración. El círculo C se describe entonces por 兩s ⫺ z0兩 ⫽ R; véase la FIGURA 17.2.1. Para comenzar, se utiliza la fórmula integral de Cauchy a fin de obtener el valor de f en z: f 1s2 f 1s2 1 1 ds 5 ds f 1z2 5 s 2 z 2pi C 2pi C C C 1s 2 z02 2 1z 2 z02 f 1s2 1 1 ds. 5 c z 2 z0 s s 2 z 2pi C 0 C 12 s 2 z0

z0 z

R

C

(9)

D

Al reemplazar z por (z ⫺ z0)/(s ⫺ z0) en (8) de la sección 17.1, se tiene

1z 2 z02 n z 2 z0 z 2 z0 n 2 1 z 2 z0 2 1 511 , b b 1p1a 1 1a z 2 z0 s 2 z0 s 2 z0 s 2 z0 1s 2 z21s 2 z02 n 2 1 12 s 2 z0 por lo que (9) resulta en f 1z2 5

s

FIGURA 17.2.1 Contorno circular C utilizado en la demostración del teorema 17.2.4

1z 2 z02 2 z 2 z0 f 1s...