Sucesiones y Series PDF

Preview

Summary

Ejemplos de sucesiones y series explicados....

Description

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

 Sucesiones Las sucesiones están presentes en distintas situaciones cotidianas, por ejemplo si ustedes depositan dinero en una cuenta que genera intereses, el interés ganado cada mes genera una sucesión. Una sucesión numérica es una función con dominio en los naturales y codominio en los reales.

S :ℵ→ℜ/ ∀ n∈ℵ : an =S (n ) ∧ an =ℜ Es decir Si intentamos graficar una sucesión numérica encontramos una serie de puntos aislados que no pueden unirse con una curva continua porque la variable “n” en sí no es continua. Ejemplo:

an =

( −1 )n . 2 n

1

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

En general suele darse una sucesión como el conjunto de las imágenes, es decir: S= { an } =a1 , a2 , a3 ,… … , a n , … … . El número a1 es el 1º término a2 es el segundo término, y an es el término general o n-ésimo término.  Sucesión aritmética Son aquellas en las cuales cada término es igual al anterior más una constante, llamada diferencia (d) es decir es de la forma: an =a1 + d (n−1 ) . Para saber si una sucesión es aritmética tomamos dos términos cualesquiera consecutivos y hacemos la diferencia entre ellos si siempre es el mismo “d “es aritmética (d=

n−¿ an−1 ). a¿

Ejemplo Dado la siguiente sucesión encontrar el n-ésimo término y decir su diferencia. 15, 8, 1, -6, -13, ………. Solución: Puesto que el 1º término es 15, entonces a=15 y para averiguar d, hacemos d=8-15= -7, entonces si remplazamos en la fórmula obtenemos: an =15−7 ( n−1 )

 Sucesión geométrica Son aquellas en las cuales cada término es igual al anterior multiplicado por una constante llamada razón (r), es decir de la forma an =a1 . r n−1 . Ejemplo Dada la siguiente sucesión encontrar el n-ésimo término y decir su razón. 5,10, 20, 40, 80,………

2

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

Solución: para averiguar la razón tomamos dos términos consecutivos y los dividimos r=

an , es decir r= 10/5=2, si reemplazamos en la fórmula a n−1

obtenemos: an =5.2n−1 .

 Límite de una sucesión an=L . Dada una sucesión an tiene límite L, es decir: nlim → +∞

 Sucesión convergente Una sucesión será convergente si y sólo si su límite es finito, en tal caso la sucesión an converge al número L.  Sucesión divergente Una sucesión es divergente si y sólo si su límite es infinito. lim an=∞

n → +∞

 Sucesiones crecientes y decrecientes Una sucesión an es: . Creciente si an ≤ an +1 para todo n. Si se da el caso de an < an+1 se dice que es estrictamente creciente. . Decreciente si an ≥ an +1 para todo n. Si se da el caso de an >an+1 se dice que es estrictamente decreciente.

 Series numéricas Suma parcial: dada una sucesión de números reales an =a1 , a2 , a3 ,… .. , an , .. … se denomina suma parcial de orden n a la suma de los n primeros términos de la sucesión. S 1=a 1 S 2 = a 1 + a2 S 3=a1+ a2 + a3

…………………… S n=a1+ a2 +… …+ an

3

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

La sucesión de sumas parciales S n=S1 , S 2 ,… … , Sn se denomina serie an =¿ a1 +a 2+ … …+ an +… +∞

numérica

los números a1 , a2 , a3 , … .. , an , . .

¿ ∑ n=1

son los términos de la serie. Si la serie tiene límite finito se dice que la serie es convergente y ese Sn =S la límite recibe el nombre de suma de la serie, es decir, si nlim → +∞ serie es convergente y su suma es S. Si la serie su límite es infinito se dice que es divergente.

 Condición necesaria para la convergencia Si una serie es convergente, entonces su término general tiende a cero. an=0 . En símbolos. S n converge ⇒n lim →+ ∞ ¡ojo! El recíproco no es válido. an=0 no puedo decir nada de la convergencia o no de la serie. Si nlim → +∞ El contra recíproco sirve como criterio Si +∞

lim an ≠ 0 ⇒∑ an no es convergente .

n → +∞

n=1

Ejemplos Dadas las siguientes series analizar si son convergentes o no. +∞

a)

2

n +1 5 10 =2+ + + … ∑ 2 4 9 n=1 n +∞

b)

3n 9 27 81 =3+ + + + … . ∑ 4 n 2 3 n=1 +∞

c)

1 1 1 1

1 =1+ + + + +… ∑ 2 3 4 5 n=1 n

Solución: a)

lim an = n →+∞

2

lim n →+∞

n +1 = lim n →+∞ n2

1 n2 =1 ≠ 0 1

1+

Por lo tanto la serie no es convergente.

4

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

b)

lim an = n →+∞

Matemática II Profesora Claudia Insua n

3 =indet n →+∞ n

(hacer cálculo auxiliar

lim

transformando en función y hacer L’H y da

3n =+∞ n →+∞ n lim

Por lo tanto la serie es divergente. an c) nlim →+∞

1 =¿ 0 = n lim ¿

¡ojo! Es una condición necesaria pero

n → +∞

no suficiente, que el límite de an sea cero no significa que es convergente. Esta serie se la conoce como serie armónica y es divergente. (Analizada en la pág. siguiente).

 Serie geométrica Son aquellas que se originan en una sucesión geométrica, es decir, series de la forma: +∞

ar n−1=a+ ar+ a r 2 +a r 3 +… a r n−1 +… ∑ n=1

Para saber el carácter de una serie geométrica basta conocer el valor +∞

de su razón: Si

−1< r < 1 ⇒ ∑ a . r n−1 n=1 +∞

Si

Converge

r≤−1 o r ≥1 ⇒ ∑ a . r

n−1

n=1

Diverge

Ejemplos +∞

a)

n −1

()

7. 2 ∑ 5 n=1

2 donde a=7 y r= 5

1 ⇒

n=1

+∞

n−1 ( 2,3 ) diverge. ∑ n=1

 Serie armónica generalizada o serie p. +∞

∑ 1p con p n=1

n

+¿ ¿ ∈ R , verifica que si

la serie es convergente {p>1 p ≤1 la serie es divergente

Ejemplos +∞

a)

1 como p=1 es divergente ∑ n=1 n +∞

b) ∑ n=1

1 1

como p1 es convergente n n=1

 Criterios de convergencia para series de términos positivos En muchas ocasiones interesa el comportamiento exclusivo de este tipo de series. Por otra parte, ninguna de las condiciones de convergencia consideradas hasta ahora sirve, en la práctica, para determinar de manera simple el carácter de una serie, recurriremos a criterios de convergencia cuya aplicación es inmediata. Estos criterios son válidos exclusivamente para series de términos positivos.

6

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

 Criterio del cociente o D’Alembert Si en una serie de términos positivos el límite del cociente entre el término n-ésimo y el anterior es menor que 1, la serie es convergente. Si el límite es mayor que 1, la serie es divergente y si es igual a 1 este criterio no decide. En símbolos:

{

L< 1convergente =L L>1 divergente n → + ∞ a n−1 L=1no decide

∀n an > o y lim

an

Nota: Se puede aplicar D’Alembert cuando expresiones exponenciales.

∑ an

tiene factorial o

n! =n.(n−1).....3.2.1 n! =n.(n−1) ! Nota: Factorial con n∈ℵ es (n+1) !=(n+1).n! Ejemplos Determine la convergencia o no de las siguientes series +∞

a)

n

∑ n3 ! n=1 +∞

b)

∑ 1n serie armónica n=1 +∞

c)

n+3 ∑ n n=1 5

Solución:

7

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

a)

Matemática II Profesora Claudia Insua

3n n 1 lim 3 . ( n−1) ! lim 3 . ( n−1) ! +∞ an 3n n! n →+∞ n →+∞ = lim =00 para todos los números positivos n, entonces la serie es: +∞

∑ (−1 ) n +1 an=a 1−a2 +a3−a 4 … …+(−1 )n +1 a n+ … n=1

o +∞

∑ (−1 ) n a n=−a1 + a2−a 3+ a4 −… … +( −1)n an +… n=1

 Criterio de Leibniz +∞

Suponga que tiene la serie

+∞

n +1 n (−1 ) an o ∑ (−1 ) a n , donde ∑ n=1 n=1

an >0

an=0 , y an ≥ an +1 para todos los números naturales n. Si nlim →+∞ entonces la serie alternada es convergente. 9

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

Ejemplo: Determine si la siguiente serie es divergente o convergente. +∞

∑ (−1 ) n n (n+2 n+1 ) n=1

Solución: La serie dada es una serie alternante, antes de aplicar el criterio debe comprobarse que an ≥ an +1 , entonces: n+2 n+3 ≥ n ( n+1) ( n+1 ) ( n+2)

( n+2) 2 ≥n . ( n+3 ) 2

2

n +4 n+ 4≥n +3 n n≥−4

se cumple

∀n ϵ ℵ

1 2 + 2 n →+∞ n n n →+ ∞ =0 an =¿ = 1 n ( n+1) 1+ n lim ¿ lim n+2

Por lo tanto

lim

n →+∞

+∞

Entonces la serie alternante

es convergente. ∑ (−1 ) n n n+2 ( n+1) n=1

 Criterio de comparación por paso al límite Sean las series

+∞

+∞

n=1

n=1

∑ u n y ∑ v n dos series de términos positivos.

10

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

a) Si

lim n →+∞

Matemática II Profesora Claudia Insua

un =c>0 , entonces las dos series son convergentes o vn

ambas series son divergentes. b) Si

lim n →+∞

un =0 vn

+∞

y si

∑ vn n=1

+∞

converge, entonces

un ∑ n=1

converge. un c) Si e lim v =+ ∞ n →+∞ n

+∞

y si

+∞

v n diverge, entonces ∑ u n ∑ n=1 n=1

diverge. Este criterio se usa cuando conozco el comportamiento de algunas series básicas y puedo compararlas con otras series más complejas. Recordar las series básicas son las series armónicas generalizadas vistas anteriormente (pág.5). Ejemplos: Determinar si las siguientes series convergen o divergen. +∞

a)

n=1 +∞

b)

1

∑ n2+1 1

∑ n2 n n=1

Solución: +∞



1 1 vn   2 u n=∑ 2 n 1 n una serie convergente por ser n=1 n +1 Sea y armónica generalizada (si p=2 >1 entonces es converg.)

11

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

1 n +1 n2 +1 =lim =1 lim +∞ +∞ n 2 1 n2 >0, entonces por el Por lo tanto 2

+∞

criterio de comparación la serie convergente. +∞

1 un = ∑ n n=1 n 2 y a) Sea

u n= ∑ n=1

1 n2 +1 es

+∞

1 n n=1 2 serie convergente (utilizar

v n= ∑

1 1 n 2n = lim =0 lim +∞ +∞ n 1 n 2 criterio de Cauchy) por lo tanto, , +∞

entonces por el criterio de comparación la serie es convergente.

1 n n=1 n 2

un = ∑

 Convergencia absoluta y condicional Se puede considerar para cada serie con los módulos de sus términos. Si la serie convergente.

∑ an

, la serie

∑|an|

formada

∑|an|

converge, la serie inicial es absolutamente

∑|a |

∑ an

n diverge y la serie Si la serie la serie inicial es condicionalmente convergente.

converge, entonces

Ejemplos: 12

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

Determinar si son absolutamente convergentes las siguientes series: +∞

(

∑ ( −1) . 2n+100 3 n+1 a) n=1 n

n

)

(− 1) n+1 ∑ 3n b) n=1 +∞

13

Universidad Argentina de la Empresa Sucesiones y series

Matemática II Profesora Claudia Insua

Solución: +∞

a) Analizo la serie de módulos

lim de Cauchy. +∞

(

n→+∞

√( n

∑( n=1

2 n+100 3 n+1

n

)

, aplico el criterio

)

2 n+100 n 2 =...