Ejercicios y Problemas de Sucesiones y Series PDF

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sucesiones ascendentes, descendentes y mixtas para mejorar el razonamiento ...

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SUCESIONES Y SERIES

EDDY ABREU, AIDA MONTEZUMA Y JAIME RANGEL

Universidad Metropolitana, Caracas, Venezuela, 2017 Hecho el depósito de Ley Depósito Legal: ISBN: Formato: 21,5 X 27,9 cms. Nº de páginas: 74

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético

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Autoridades Hernán Anzola Presidente del Consejo Superior Benjamín Scharifker Rector María del Carmen Lombao Vicerrectora Académica María Elena Cedeño Vicerrectora Administrativa Mirian Rodríguez de Mezoa

Secretario General

Comité Editorial de Publicaciones de apoyo a la educación Prof. Roberto Réquiz Prof. Natalia Castañón Prof. Mario Eugui Prof. Humberto Njaim Prof. Rossana París Prof. Alfredo Rodríguez Iranzo (Editor)

A Fabiana, Oriana, Annabella, Mikaela y Mattias A.M.

A Mariana y a mis Ángeles del Cielo E.A.

A Valentina y Ángel J.R.

INTRODUCCIÓN

La presente guía ha sido diseñada para ayudar a los estudiantes de Matemática III a comprender los temas de sucesiones y series que se dictan en el curso. Este material está escrito con un lenguaje preciso y sencillo, para facilitar su comprensión; contiene 42 ejercicios y problemas resueltos, 100 ejercicios y problemas propuestos con sus respuestas y 12 problemas para reforzar la creatividad.

 Ejercicios y problemas resueltos para que los estudiantes reflexionen sobre los distintos conceptos teóricos, propiedades y teoremas básicos, para que adquieran destrezas, precisión en los cálculos y en la resolución de problemas. Así mismo se presentan ejercicios y problemas integradores de conocimientos que le permitan establecer relaciones entre distintos conceptos matemáticos.

 Ejercicios y problemas propuestos con sus respuestas, cuya finalidad es que el estudiante revise y refuerce los conceptos estudiados, adquiera destrezas técnicas y compruebe el progreso alcanzado.

 Problemas para reforzar la creatividad que al ser menos rutinarios y requerir una mayor comprensión de los conceptos, y algunos con muchas soluciones, plantean un reto a los estudiantes y contribuyen a elevar el nivel del curso.

4

CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................ 4 CONTENIDOS ................................................................................................................................................. 5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS ...................................................................................................................... 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 30 PROBLEMAS PARA REFORZAR LA CREATIVIDAD ................................................................................................... 36 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................... 37

5

Ejercicios y problemas resueltos

 

1. a) Calcule los seis primeros términos de la sucesión  2 

 1 n 



 n  1 n

b) Grafique los términos obtenidos en la parte en a). c) ¿Parece tener límite la sucesión? Si es así, calcúlelo.

Solución: 1 5 1 9 1 5 1 9 a5  2   a) a1  2  1  1 , a 2  2  , a3  2   , a 4  2  

2

b)

2

3 3

4

4

5

5

a6  2 

1 6



13 6

c) Si parece tener límite:

  1n  2 0 2 lim 2     n  n  

2. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 

n3 converge o diverge. Si 3n  7n 3

converge calcule su límite. Solución: En este caso, bastaría con calcular el límite. Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito, pero si se divide el numerador y el denominador entre n3 se pueden aplicar los teoremas de límites y resulta: 3 lim 1 1 1 1 n n  lim     n 3n  7n 3 n 3 3 0 7 7  7 lim 2  lim 7 n  n n  n2

lim

6

Como el límite existe, la sucesión es convergente, y converge a

3. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 

1 . 7

3 ln n converge o diverge. Si en

converge calcule su límite. Solución: Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito, pero no se puede aplicar la regla de L’Hopital a una sucesión. Sea f ( x) 

3 ln x ex

, con x  0 (A la función f si se le puede aplicar la regla). 3 3 ln x L´H 3 x lim  lim x  lim x  0 x  e x  xe x  ex

Como f (n)  an , se tiene que lim

n 

3 ln n  0 y la sucesión es convergente, y converge a 0. en

4. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 

n5  4 converge o diverge. Si ln n 2  2





converge calcule su límite. Solución: Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito. f ( x) 

Sea

x 5 4 , x0 ln x2  2









30x5  40x 3 5x 6  10x 4 L´H 5 x4 x 2  2 5 x4 x 5  4 L´H lim lim lim lim       x    ln x 2  2 x  x  x  x  2x 2 2x 2x x2  2 lim





Como f (n)  an para n  0, se tiene que lim  n

5. Determine si la sucesión



n





2n

n 1

n5  4   y la sucesión es divergente ln n2  2





converge o diverge. Si converge calcule su límite.

7

Solución: 1

Sea f ( x)  2 x x , para x  1 . 1

f (x )  2x x  ln  f (x )  

1

ln(2 x) 1 ln(2 x)  f ( x )  e x x

2 ln(2 x) L´ H 1 1  lim 2x  lim  0 , dado que la función exponencial es Como lim ln(2 x)  lim x x x   x   x x 1 x

continua, se tiene que lim f ( x)  e0  1 x 

1

Dado que f ( n)  2n n para n  1 , se tiene que lim f (n)  1 , y n 

la sucesión



n

2n





n 1

converge a 1.

6. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 

3n  5 es monótona, o no es 4 7n

monótona. Solución: an 

3n  5 4  7n

a n 1 

y

3n  1  5 3n  2  4  7n  1 7 n  11

Observe que a n  an 1  a n  an1  0 y a n  an 1 

an  an 1  an  a n 1  0

 47 3n  5 3n  2 3 n  57 n  11  3n  24  7 n     0 paran  0  n 4 7  7 n  11 4  7 n 7n  11 4  7 n7 n  11

Por lo tanto, a n  an1  0 , y en consecuencia an  a n1 y la sucesión es creciente, en consecuencia es monótona. Otra manera de estudiar la monotonía es definiendo una función derivable tal que f (n)  an : Sea f ( x) 

3x  5 con x  0 , y estudiemos el signo de la primera derivada: 4  7x f ´(x) 

3 4  7 x  73 x  5

4  7x 

2



47 12 21x  21x  35 0  2 4  7 x  4  7 x2

8

Por lo tanto, la función f es creciente en para x  0 , como f (n)  an la sucesión dada es creciente. 7. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 

  1n es creciente o 5n

decreciente, o no es monótona. Solución: La solución dada no es monótona. ¿Por qué?  5 n  2 n

8. Determine si la sucesión 



  es creciente o decreciente, o no es monótona.  n1

Solución: 

n 1 n 5   5 Sean an    y an 1    .

 2

 2

5 an 1  a n    2

n 1

n

n

n

3 5 5 5 5         1      0  an 1  a n  0  a n 1  a n , para todo n. 2 2 2    2  2   

En consecuencia, la sucesión es creciente. 

 2n  9. a) Demuestre que la sucesión  n es decreciente y está acotada inferiormente.  3  4  n 2

b) ¿Qué se puede deducir del resultado obtenido en a). Solución:

        2 4  3 3  2  2 4  3  para n  2   3  43  4 3  43  4  0

a) a n  an 1 





2 n 3 n 1  4  2 n 1 3 n  4 2 n 3n1  4  2 3 n  8 2 n1 2n     3n  4 3n 1  4 3 n  4 3 n 1  4 3 n  4 3 n1  4 n

n

n

n

n 1

n





n

n 1

Por lo tanto, a n  an 1  0 , en consecuencia an  a n1 y la sucesión es decreciente. Observe que 0 

2n para toda n  2 y en consecuencia la sucesión está acotada 3 n 4

inferiormente. b) Como la sucesión es decreciente y está acotada inferiormente es convergente.

9

10. Si la sucesión dada en 9a) es convergente halle su límite. Solución: Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito. Sea f ( x) 

2x , con x  0 3 4 x

x

2 x ln 2 2 x L´H  2  ln 2 lim  0 ¿Por qué?  lim    x   3 x  4 x   3  ln 3 x  3 x ln 3

lim

2n  0 y la sucesión converge a 0. n  3 n  4

Como f (n)  an se tiene que lim

11. a) Halle los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es n

1  an   1   . n 

b) Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge calcule su límite. Solución: 2

2

3

9  1 3  a 2  1        2,25 4  2 2 

a) a1  1 1  2 4

4

3

64  1  4   2,37 a 3   1      27  3  3  5

5

7776 6   1  2,48 a5  1       3125 5   5

625 5   1  2,44 a4  1       256 4   4

1 tiende a 1 cuando n tiente a infinito, y en consecuencia resulta una n indeterminación de la forma 1 .

b) Observe que 1 

 

1 x

x

 

1 x

x

Sea f ( x)   1  , para calcular el límite se hace y   1  , x



x

1

x ln 1    1   1  1 y  1    ln y  ln 1    ln y  x  ln 1    y  e  x  x  x   x

Como la función exponencial es continua lim y  e x 

 1 lim x ln  1   x

x 

.

10

 

1 x

Evaluemos lim x ln 1  : x 

 1 lim x ln 1   lim x   x  x

 1 1 ln 1    2 L' H x 1    x  lim 1 lim   x 1  1  1  x   1  1 1     2  x x  x  x 

Por lo tanto, x

1  lim 1    e1  e x x   

n

1 n

Como f (n)  a n se tiene que lim 1    e y la sucesión es convergente y converge a  

n

e. 12. Escriba la fórmula de recurrencia para a n si los tres primeros términos de la sucesión son 6 , 6  6 , 6  6  6 , y halle lim a n . n 

Solución: Observe que a1  6 , a 2  6  a1 , a 3  6  a 2 , en general se tiene que a1  6 y a n 1  6  a n para n  1

Para hallar el límite se supone que a n  L , entonces se tiene que an 1  L cuando n   . En consecuencia, cuando n   , se obtiene L 6L

De donde L2  6  L  L2  L  6  0  L 

1  1  24 1 5  3 2 2

(la solución negativa se descarta, ¿por qué?) Luego, lim a n  3 n 



13. Determine si la serie 

1

n1 n( n  1)

es convergente o divergente. Si es convergente,

encuentre su suma.

11

Solución: La serie converge si su sucesión de sumas parciales converge: Como S1  a1 ; S 2  a1  a 2 , S3  a1  a2  a3  Se tiene que S1 

1 , 2

S2 

1 1 ,  2 2 3

S3 

1 1 1 …   2 2 3 3  4

Determinemos una fórmula para S n : Observe que

1 1 1   , luego k (k  1) k k  1

1 1  1 1 1 1  1  1 1   1  S n   1                  1  2 2 3 3 4 1 1   n n n n n 1          

Determinemos si la sucesión de sumas parciales converge: 1   lim S n  lim 1   1 n  n  n 1  

1 converge a 1. n 1 n(n  1)

Por lo tanto, la serie 



n es convergente o divergente. Si es convergente, n 1 5n 1

14. Determine si la serie  encuentre su suma. Solución:



Una condición para que la serie  a n converja es que lim an  0 , observe que n 

n 1

lim

n 

n 1 1  lim  0  n 1  n 5 1 5 5 n



n diverge. n 1 5n 1

En consecuencia, la serie 

12



0,8 n

n0

7

15. Determine si la serie 

es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su

suma. Solución:

0,8n



La serie 

7 viene dada por n 0

es una serie geométrica de razón 0,8   1 ,1 y por lo tanto converge. Su suma 

n  0,8  

n 0



0,8n

n 0

7

En consecuencia, la serie 

1 1  5 1  0,8 0,2

converge a 

0,8 n

n0

7





5 1  n  0,8  7 7 n 1 

1 diverge. n1 n

16. Demuestre, usando el criterio de la integral, que la serie armónica  Solución:

1 con x  1,    , f es una función continua, positiva y decreciente (verifíquelo), x 1 además f (n )  . n

Sea f ( x) 



Evaluemos  f ( x) dx . 1 

1

 f ( x) dx  

1

1

x 

b

dx  lim 

b  1

1 b dx  lim ln x1  lim ln b  ln1  lim ln b   b  b    b x 

1 diverge. n 1 n

Por lo tanto, la integral  f ( x) dx diverge, en consecuencia la serie  1



1 , con p  1 converge. p n 1 n

17. Demuestre, usando el criterio de la integral, que la serie  Solución:

13

Sea f ( x)  f (n ) 

1 con x  1,    , f es una función continua, positiva y decreciente, además xp

1 n 

Evaluemos  f ( x) dx . 1

b

 x 1 p   b1 p 1   lim    f ( x) dx   p dx  lim  p dx  lim      b b     b 1 x 1 x 1  1  p 1 1  p 1  p  



1

b

1

b1 1 Como p  1 se tiene que 1  p  0 y lim b1 p  0 , por lo tanto lim  dx  y la integral b  b  1 x p 1  1 converge, en consecuencia, la serie  p , con p  1 converge. n 1 n   n  18. Determine si la serie   n  es convergente o divergente. n 1  e 

Solución: Sea f ( x ) 

x , f es una función continua, positiva en 1,   y además es decreciente ya que ex

f ´(x ) 

e x  xe x e

2x



1 x x

e

 0 si x  1

Luego, se puede aplicar el criterio de la integral para estudiar la convergencia de la serie 

 1

x e

b

1 1 2 2 1 1 1  x  b  b dx  lim  x  x   lim  b  b     lim  b  b    (*) x b b b       e e e e e e e e 1e  1  e  e 

b

x

dx  lim  x b 

(*) Ya que lim b 

1 e

0 y

b



Como la integral 

1

lim

b

b   eb

L ´H

 lim

b 

1 eb

0

  n  dx converge, la serie   n  converge. n 1  e  e

x

x

2  5n es convergente o divergente. n n1 2 

19. Determine si la serie  Solución:

14

Observe que 0 

2  5n  5 y 0   n 2  2

n

2  5n 2n 

5 n1  2 



5n

5    n 2 2 

n

La serie    es una serie geométrica de razón

n

(1)

5  1 y por lo tanto diverge (2) 2 

2  5n

n 1

2n

De (1) y (2), por el criterio de comparación resulta que la serie 

n3  2 n



20. Determine si la serie 

n7  3

n1

diverge.

es convergente o divergente.

Solución: Observe que 0 

Sean a n 

7

n 3

n3  2 n n7  3



La serie 

3 n 2 n

1

n1

y 0

y bn 

n3 n

n3



n7

7

1



1 n

.

n

es divergente ¿por qué?

n

Se evalúa lim

n 

an , bn

   2   1  5    3 7 an 2  n n n n 3 n2  1  lim   lim  lim lim n  b n  n  n  1 3 n n 7 3 1 7 n n  1 diverge, por el criterio por comparación en Dado que el límite es finito y positivo y la serie  n 1 n n3  2 n



el límite la serie 

n1

n3  2 n





diverge.

n7  3

15

   21. Determine si la serie   1   n

n 1



3

2  es convergente o divergente. n( n  4)  

Solución:











n k

n k

n k

n k

n k

Recuerde que si  an y  bn son convergentes entonces   an b n    an   bn es convergente. n

   La serie   1  es una serie geométrica de razón 1 con 1  1 por lo tanto converge. n 1  3  3 3



1

n 1

n2

La serie 

es una p serie con

p  2  1,

por lo tanto converge, como 0 

1 1  , n(n  4) n 2



1 también converge. n 1 n (n  4)

por el criterio de comparación, la serie 

       1 En consecu...