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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

CÁLCULO II

TEMA:

APLICACIÓNES DE LAS SUCECIONES Y SERIES A LA INGENIERÍA Y ECONOMÍA.

.

2019.

ÍNDICE

ÍNDICE DE IMAGENES............................................................................................................................1 ÍNDICE DE TABLAS..................................................................................................................................1 1. INTRODUCCIÓN................................................................................................................................2 2. TEMA SELECCIONADO...................................................................................................................3 3. JUSTIFICACIÓN................................................................................................................................3 4. OBJETIVOS........................................................................................................................................4 4.1. Objetivo General.............................................................................................................................4 4.2. Objetivos Específicos.....................................................................................................................4 5. PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA EN ESTUDIO........................................................................5 6. MARCO METODOLÓGICO..............................................................................................................6 6.1. Marco Metodológico........................................................................................................................6 6.2. Enfoque de la investigación...........................................................................................................6 6.3. Tipo de investigación......................................................................................................................6 6.4. Fuentes de información..................................................................................................................7 6.5. Fuentes secundarias......................................................................................................................7 6.6. Instrumentos y técnicas de recolección de información............................................................7 7. MARCO TEORÍCO.............................................................................................................................8 7.1. Sucesiones.......................................................................................................................................8 7.1.1. Origen............................................................................................................................................8 7.1.2. Definición......................................................................................................................................9 7.1.3. Notación........................................................................................................................................9 7.1.4. Límite de una sucesión.............................................................................................................10 7.1.4.1. Propiedades de los límites de las sucesiones....................................................................11 7.1.5. Tipos de Sucesiones.................................................................................................................12 7.1.5.1. Sucesiones constantes..........................................................................................................12 7.1.5.2. Sucesiones finitas...................................................................................................................12

7.1.5.3. Sucesiones infinitas...............................................................................................................12 7.1.5.4. Sucesiones convergentes.....................................................................................................12 7.1.5.5. Sucesiones divergentes.........................................................................................................13 7.1.5.6. Sucesiones oscilantes...........................................................................................................13 7.1.5.7. Sucesiones alternadas..........................................................................................................13 7.1.5.7.1. Sucesiones alternadas convergentes...............................................................................13 7.1.5.7.2. Sucesiones alternadas divergentes..................................................................................14 7.1.5.7.3. Sucesiones alternadas oscilantes.....................................................................................14 7.1.5.8. Sucesiones monótonas.........................................................................................................14 7.1.5.9. Sucesiones acotadas.............................................................................................................15 7.1.5.9.1. Secuencia acotada superiormente...................................................................................15 7.1.5.9.2. Secuencia acotada inferiormente.....................................................................................15 7.2. Series..............................................................................................................................................17 7.2.1. Origen..........................................................................................................................................17 7.2.2. Definición....................................................................................................................................18 7.2.3. Notación......................................................................................................................................18 7.2.4. Límite de una serie....................................................................................................................18 7.2.5. Tipos de series...........................................................................................................................20 7.2.5.1. Serie geométrica.....................................................................................................................20 7.2.5.2. Serie armónica........................................................................................................................20 7.2.5.3. Serie alternada........................................................................................................................20 7.2.5.4. Serie de potencias..................................................................................................................21 7.2.5.5. Serie telescópica....................................................................................................................21 7.2.6. Criterios de convergencia.........................................................................................................22 7.2.6.1. Criterio del término N-Enésimo para la divergencia..........................................................22 7.2.6.2. Teorema (criterio de Cauchy para convergencia uniforme de series).............................22 7.2.6.3. Teorema (criterio de Weierstrass para convergencia uniforme de series).....................22

7.2.6.4. Convergencia en serie de potencias....................................................................................23 7.2.6.5. Condición suficiente...............................................................................................................23 7.2.6.6. Criterio de Alembert o Criterio del Cociente........................................................................23 7.2.6.7. Criterio de la raíz o de Cauchy.............................................................................................24 7.2.6.8. Criterio de Leibniz...................................................................................................................24 7.2.6.9. Criterios de convergencia comparativos.............................................................................24 7.2.6.10. Criterio de comparación directa (mayorante o de Carl Friedrich Gauss).....................24 7.2.6.11.

Criterio de la Integral............................................................................................................25

7.2.6.12. Criterio Series-P....................................................................................................................25 7.2.6.13. Convergencia absoluta y condicional................................................................................25 7.2.6.13.1. Convergencia absoluta.....................................................................................................25 7.2.6.13.2. Convergencia condicional................................................................................................25 7.2.6.14. Residuo del teorema de Taylor...........................................................................................26 

El límite................................................................................................................................................26



Serie de Taylor de la función exponencial......................................................................................26



Serie de Taylor de la función seno..................................................................................................26



Serie de Taylor de la función coseno..............................................................................................26



Serie de Taylor de la función arco tangente...................................................................................27



Serie de Taylor de la función logarítmica 1.....................................................................................27



Serie de funciones de la función logarítmica 2..............................................................................27

7.3. Conceptos sobre la aplicación de las sucesiones y series en la ingeniería y economía....28 7.3.1. Ingeniería....................................................................................................................................28 7.3.1.1. Ingeniería Industrial................................................................................................................28 7.3.1.2. Ingeniería Informática............................................................................................................28 7.3.1.3. Ingeniería en Telemática.......................................................................................................28 7.3.1.4. Ingeniería en Topografía........................................................................................................29 7.3.1.5. Ingeniería Civil........................................................................................................................29

7.3.2. Economía....................................................................................................................................29 7.3.2.1. Microeconomía.......................................................................................................................29 7.3.2.2. Macroeconomía......................................................................................................................29 8. APLICACIONES DE LA SUCESIONES Y SERIES A LA INGENIERÍA Y ECONOMIA..........30 8.1. Ingeniería.......................................................................................................................................30 8.1.1. Ejemplo de una aplicación de las sucesiones y series en la ingeniería.............................31 8.2. Economía.......................................................................................................................................34 8.2.1. Ejemplo de una aplicación de la sucesiones y series en la Economía..............................34 9. CONCLUSIONES.............................................................................................................................38 9.1. En cuanto al concepto de una sucesión....................................................................................38 9.2. En cuanto al concepto del límite de una sucesión...................................................................38 9.3. En cuanto a las propiedades fundamentales del límite de una sucesión..............................38 9.4. En cuanto al cálculo de límites....................................................................................................38 9.5. En cuanto a la simplificación de la expresión del término general de una sucesión...........39 9.6. En cuanto al concepto de una serie...........................................................................................39 9.7. En cuanto calcular la suma de una serie...................................................................................39 9.8. En cuanto la explicación a la suma de n términos consecutivos............................................40 9.9. En cuanto a la definición de sus alcances y usos....................................................................40 9.10. En cuanto a sus aplicaciones en la ingeniería y la economía..............................................41 10. RECOMENDACIONES.................................................................................................................42 11.

BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................................44

12. WEBGRAFÍA..................................................................................................................................44

ÍNDICE DE IMAGENES Ilustración 1..................................................................................................................................................................10 Ilustración 2..................................................................................................................................................................13 Ilustración 3..................................................................................................................................................................14 Ilustración 4..................................................................................................................................................................15 Ilustración 5..................................................................................................................................................................16 Ilustración 6..................................................................................................................................................................31

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1..........................................................................................................................................................................11 Tabla 2..........................................................................................................................................................................19

1

1. INTRODUCCIÓN La inquietud de investigar las diferentes ramas de las matemáticas trajo consigo uno de los mayores desafíos para profesionales no solo en el área de la matemática, sino también para físicos, ingenieros, economistas y profesionales que aplican los números para la solución de problemas. Las series y sucesiones han introducido a la vida diaria la simplificación de términos, una serie permite la simplificación de n-términos a la utilización de una fórmula matemática en términos de la variable; entendiendo que una serie es una suma de infinitos números enteros positivos. Y una sucesión al ser una lista ordenada de elementos infinitos, se simplificó dicha suma a solamente la utilización del primer término y el último de dicha sucesión (en términos de la variable estudiada). Esta investigación tiene la finalidad de dar a conocer como las sucesiones y series a lo largo de su origen y desarrollo, han sido un pilar importante en la aplicación a la ingeniería y economía; dando así su aporte para descubrir que la mayoría de sus ramas permanecen siempre en constante innovación. Desde su origen hasta la actualidad las ramas de la ingeniería y economía han sido áreas en constante desarrollo, siempre modernizando métodos e innovación para la resolución de problemas. No obstante, la aplicación de las series y sucesiones llevan gran cantidad de tiempo siendo parte de estas ciencias, simplificando procedimientos para llegar a conclusiones modernas. A continuación, se ampliará los diferentes conceptos, métodos y aplicaciones.

2

2. TEMA SELECCIONADO El tema asignado para esta investigación es series y sucesiones y se le dará el enfoque teórico sin dejar de lado su aplicación a la vida real. 3. JUSTIFICACIÓN La investigación está enfocada primeramente a la teoría del tema asignado que son las series y las sucesiones, esto con el fin de brindar conceptos importantes para el claro entendimiento del tema como tal. Además, nuestro deseo es dar a conocer con varios ejemplos como las series y sucesiones son utilizadas en la vida cotidiana. ¿En qué contribuyen las series y sucesiones a la ingeniería y economía? Respondiendo a esta pregunta, ejemplos muy sencillos como lo es el que se utilicen para determinar las longitudes de los barrotes intermedios y la longitud total de la madera a utilizar en la realización de una escalera de un edificio o casa. De igual manera se utilizan para medir las señales en el dominio de una frecuencia, donde se puede representar cualquier señal sumando solo senos y cosenos que entre en una frecuencia múltiplo de la primera. En la economía se ejemplifica con una simple alcancía donde al hacer un ahorro este va incrementando día a día haciendo una sucesión en los montos a ahorrar para llegar a una meta en un periodo específico. Otro ejemplo es el caso de la cuota de los préstamos que mes a mes el monto de la cuota suma más los intereses sobre saldo del monto prestado. Como los ejemplos anteriores, hay muchos más en el que podemos mostrar la relevancia que tiene el conocer como las series y sucesiones aplicadas de una forma correcta responden y cubrir muchas de nuestras necesidades diarias.

3

4. OBJETIVOS 4.1.

Objetivo General

Definir el concepto de Series y Sucesiones y sus aplicaciones presentes en las diferentes áreas de la ingeniería y/o economía. 4.2.

Objetivos Específicos



Definir el concepto de sucesión



Definir el concepto de límite de una sucesión.



Conocer las propiedades fundamentales del límite de una sucesión.



Comprender el concepto de sucesiones y utilizarlas para el cálculo de límites.



Simplificar correctamente la expresión del término general de una sucesión.



Definir el concepto de serie.



Calcular la suma de una serie.



Explicar la suma de n



Definir sus principales alcances y usos



Mostrar sus aplicaciones en la ingeniería y/o economía.

términos consecutivos.

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5. PLANTAMIENTO DEL PROBLEMA EN ESTUDIO Las series y sucesiones han aportado de manera significativa gran cantidad de mejoras en los campos de la ingeniería y la economía. La utilización y optimización de estos avances han facilitado al mundo empresarial tanto en la economía como en las ingenierías manej...