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Sucesiones y Series
Módulo 1, matemáticas 1...

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1 Sucesiones y Series

Sucesiones y Series Módulo 1

Módulo 1 Sucesiones y Series

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2 Sucesiones y Series ACTIVIDAD 1  1 Dada la función de densidad de probabilidad f ( x )  e  2

( x  ) 2 2 2

correspondiente a una

variable con distribución normal X : N (0,1) . Calcular la probabilidad que    x  . Para tal fin nos ayudamos con la tabla de Distribución Normal.

1

¿Puede calcular la probabilidad anterior mediante la integral

f ( x )dx ? El principal problema es 1  x2

hallar una función elemental cuya derivada tenga la forma e ; lo cual es imposible. De modo que emprendemos un recorrido para encontrar una alternativa de solución a nuestro problema. Adoptemos la siguiente definición:

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos

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3 Sucesiones y Series

(El Cálculo; Leithold. Pág. 648) Algunos gráficos de sucesiones:

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4 Sucesiones y Series

(El Cálculo; Leithold. Pág. 649) Definición: La sucesión  a n  converge al número L si para todo   0 existe un entero N tal que para todo n(número natural) se verifica que: n  N  an  L   .  Si no existe el número L decimos que  a n  diverge. an L , o simplemente an  L  Si  a n  converge a L, escribimos lim n   Llamamos L al límite de la sucesión. Usaremos con mucha frecuencia el siguiente teorema Teorema 8.2.3: si lim f ( x) L , y f está definida para todo número entero positivo, entonces también lim f (n) L , para todo n número natural. (El Cálculo; Leithold. Pág. 650) x 

n 

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5 Sucesiones y Series

ACTIVIDAD 2  2n  1    n 1 

Sea la sucesión: 

a) Escribir los términos para n 1; n 2; n 5; n 10; n 100; n 1000; n 10000 ¿A qué límite parece tender? b) Aplicando el Teorema 8.2.3 comprobar que es correcto el resultado obtenido anteriormente ACTIVIDAD 3 Indicar si las siguientes sucesiones son convergentes.  n  2 !  a)    n!  b)  n 1  n 

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6 Sucesiones y Series Definición: El número C es una cota inferior de la sucesión a n  , sii C  an para todo entero positivo n Definición: El número D es una cota superior de la sucesión a n  , sii a n  D para todo entero positivo n Definición: Una sucesión a n  es acotada, si y sólo si tiene una cota inferior y una cota superior

Teorema: Una sucesión monótona y acotada es convergente. (8.2.10)

ACTIVIDAD 4 Indicar si las siguientes sucesiones son crecientes, decrecientes, o no monótonas.

Usaremos aquí una aplicación de la derivada para funciones crecientes o decrecientes a) asociando una función de variable real f ( x )  x /(2 x  1) (Teorema 8.2.3) tenemos que f ' (x ) 

1

 2 x 1 2 (Teorema 8.2.10)

ACTIVIDAD 5 Demuestre que la sucesión cuyo término general es: a n 

3n 1 es: n2

a) Acotada b) Monótona creciente Por lo tanto la sucesión tiene límite

Teorema 8.2.4: Si a n  y b n  son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces:  La sucesión constante  c  tiene a c como límite.  limn   .cna .climn  an ,  nliman bn  nliman nlimb ,

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7 Sucesiones y Series  nlim an bn  nliman lnimb , bn 0 ,y bn 0 ,  nliman bn  nliman nlimb , si lim n 

ACTIVIDAD 6  4n 3  sen  es convergente y determinar su límite 2 n 2 n  1

Demostrar que la sucesión 

(Sugerencia: asociar una función de variable real y aplicar límite, ver ejemplo anterior) ACTIVIDAD 7

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8 Sucesiones y Series

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SERIES.MÓDULO 2. TEORÍA.Larson - Hostetler

Módulo_2_Teórico Práctico Series numéricas

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SERIES.MÓDULO 2. TEORÍA.Larson - Hostetler

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SERIE TELESCÓPICA

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SERIES.MÓDULO 2. TEORÍA.Larson - Hostetler

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CRITERIO DE LA INTEGRAL

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SERIES ALTERNADAS

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Análisis Real. Módulo 3

Módulo 3_Actividades adicionales

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Análisis Real. Módulo 3 1. Hallar la suma: a  ar  ar2  ar3  ....  ar n  1  ...

Recordar que

n

a a (1  r ) : Sn  . Rta . : S  1 r 1 r

2. Hallar la expresión racional del número: 1,222222.... 

3. Hallar la suma de la serie:

1

 n(n  1)

(serie telescópica).

Rta : 1

n 1

4. Se deja caer una pelota desde una altura “a”. Cada vez que la pelota rebota, después de caer de una distancia “h”, rebota hasta una altura “r.h”, donde r es positiva y menor que 1. Hallar la distancia total que recorre la pelota.

Rta. : S n 

a(1  r) 1 r

5. Demostrar que las siguientes series divergen: 

n 1 n n 1

a)



b)

n



2

n 1



c)

 n

 2n  5 n1



d)

 ( 1)

n1

n 1

Teorema: Si  a n A , y 

 (a



 (a



 ka

b

n

n

n

n

Si  a n es convergente y

Módulo 3_Actividades adicionales

B , son series convergentes, entonces

 bn )  a n   bn A  B  bn )  a n 

b

n

A  B

k an

b

n

es divergente entonces

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Análisis Real. Módulo 3

3



 (a



 (a

n

n

 bn )  bn )

Son divergentes 6. Hallar la suma de: 3 n 1  1  6n 1 n 1 

1.



2.

2



4 n 1

Rta :

4 5

Rta : 8

1



3.

1

5

n

4

Criterio de la Integral: Sea “f” una función positiva y decreciente para todo x 1 . La





serie



f (n) converge si y sólo si la integral impropia

n 1

f ( x)dx

converge.

1

7. Analizar la convergencia de 

1.

ln 2 (n ) 1 n3 n

2.



3.

n



arctg (n) n2 1 n 1 

1

n 1



4.

n 1



5.

1

n  n 1

3

1 n

Módulo 3_Actividades adicionales

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

ACTIVIDADES DE APLICACIÓN

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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SERIES DE POTENCIAS. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_4_Series de Potencias Parte 1

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1 SERIES DE POTENCIAS_2. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_5_Series de Potencias_2_Teórico

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2 SERIES DE POTENCIAS_2. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_5_Series de Potencias_2_Teórico

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3 SERIES DE POTENCIAS_2. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

ACTIVIDADES:

Módulo_5_Series de Potencias_2_Teórico

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4 SERIES DE POTENCIAS_2. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_5_Series de Potencias_2_Teórico

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5 SERIES DE POTENCIAS_2. Cálculo. Larson Hostetler. Vol I

Módulo_5_Series de Potencias_2_Teórico

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