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Prueba de Evaluación Continua_ 3 (PEC 3 )SoluciónEsta PEC consta de 7 ejercicios que evalúan los conceptos adquiridos en el módulo 3.Competencias Conocimiento de materias básicas y tecnologías, que capaciten para el aprendizaje de nuevos métodos y nuevas tecnologías, y doten al estudiante de una gra...

Description

Señales y Sistemas II · PEC3 · 20 20-21 - Programa Estudios de Informática Multimedia y Telecomunicación

Pru Prueb eb ebaa d de e EEvvalu aluac ac ació ió ión nC Co ont ntinu inu inua_3 a_3 ((PE PE PEC3) C3) So Soluc luc lució ió ión n Esta PEC consta de 7 ejercicios que evalúan los conceptos adquiridos en el módulo 3.

Co Comp mp mpet et etenc enc encia ia iass 1.

Conocimiento de materias básicas y tecnologías, que capaciten para el aprendizaje de nuevos métodos y nuevas tecnologías, y doten al estudiante de una gran versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.

2.

Comprensión y dominio de los conceptos básicos de sistemas lineales y las funciones y transformaciones relacionadas, y su aplicación para la resolución de problemas propios de la ingeniería.

3.

Capacidad para analizar, codificar, procesar y transmitir información multimedia empleando técnicas de procesamiento analógico y digital de la señal.

Ob Objetiv jetiv jetivo os 1. Calcular la DFT y DFT inversa. 2. Conocer la relación entre la DFT y la Transformada discreta de Fourier 3. Analizar las principales propiedades de la DFT y la DFT inversa. 4. Aplicar las ecuaciones de la DFT para resolver cálculos de transformadas. 5. Resolver la convolución lineal mediante la DFT

Des Descr cr cripc ipc ipción ión d de e la PPEC EC a rre ealiz alizar ar Resolver los problemas propuestos. Es imprescindible justificar todos los resultados obtenidos mediante la descripción de las operaciones llevadas a cabo para obtener estos resultados.

Recu Recurs rs rsos os Apuntes y problemas resueltos del módulo 3 que se encuentran en el foro.

For Forma ma mato to y ffe echa d de e eent nt ntre re rega ga Se entregará editada y/o escaneada en un único archivo en formato PDF, con el siguiente nombre: apellidos_nombre_PEC3.pdf La fecha límite para la entrega de las soluciones de la presente PEC es la siguiente: Lu Lunes nes 3 d de e ma mayo yo d de e2 202 02 021 1 a las 2 23:5 3:5 3:59 9

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Eje Ejerci rci rcicio cio 1 (1 pu punto nto nto))

Dada la secuencia 𝑥[𝑛] = [2, 4, −3, 4], determina su transformada discreta de Fourier (DFT) de cuatro muestras: a) Usando la definición de esta transformada b) Usando la matriz simétrica de transformación. Para ello, determina en primer lugar una expresión simplificada de dicha matriz

Solu Soluci ci ción ón ón::

a) Usando la definición de la DFT de cuatro muestras tenemos: 4−1

𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗 𝑛=0

2𝜋

4 𝑘𝑛

𝜋

𝜋 2 𝑘·0

𝜋

𝜋

𝜋

3𝜋 2𝑘

+ 4𝑒 −𝑗 2 𝑘·1 − 3𝑒−𝑗 2 𝑘·2 + 4𝑒 −𝑗 2 𝑘·3 = 2 + 4𝑒 −𝑗 2 𝑘 − 3𝑒 −𝑗𝜋𝑘 + 4𝑒 −𝑗

= 2𝑒 −𝑗

Dando valores a k entre 0 y 3 resulta: 𝑋[0] = 2 + 4 − 3 + 4 = 7 𝜋

3𝜋 2

𝑋[1] = 2 + 4𝑒 −𝑗 2 − 3𝑒 −𝑗𝜋 + 4𝑒 −𝑗

= 2 − 4𝑗 + 3 + 4𝑗 = 5

𝑋[2] = 2 + 4𝑒 −𝑗𝜋 − 3𝑒 −𝑗2𝜋 + 4𝑒 −𝑗3𝜋 = 2 − 4 − 3 − 4 = −9 3𝜋 2

𝑋[3] = 2 + 4𝑒 −𝑗

9𝜋 2

− 3𝑒 −𝑗3𝜋 + 4𝑒 −𝑗

Por tanto: 𝑋[𝑘] = [7, 5, −9,5]

= 2 + 4𝑗 + 3 − 4𝑗 = 5

b) La matriz simétrica de transformación DFT de 4 muestras viene dada por:

𝑀=

𝜋

𝜋

𝜋 2 ·0·2 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·1·2 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·2·2 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·3·2

𝑒 −𝑗 2 ·0·0 𝑒 −𝑗 2 ·0·1 𝑒 −𝑗

𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·1·0 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·2·0 𝜋 [𝑒 −𝑗 2 ·3·0

𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·1·1 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·2·1 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·3·1

De modo que podemos obtener la DFT buscada como: 1 1 𝑋 = 𝑀𝑥 = [ 1 1

1 −𝑗 −1 +𝑗

𝜋 2 ·0·3 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·1·3 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·2·3 𝜋 𝑒 −𝑗 2 ·3·3 ]

𝑒 −𝑗

1 −1 1 −1

1 1 1 −𝑗 =[ 1 −1 1 +𝑗

1 1 −1 +𝑗 ] 1 −1 −1 −𝑗

1 7 2 +𝑗 4 ]=[ 5 ] ][ −1 −3 −9 4 5 −𝑗

2

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Eje Ejerci rci rcicio cio 2 (1 pu punto nto nto))

La DFT de 6 muestras de una secuencia viene dada por 𝑋[𝑘] = [2, 1 + √3𝑗, −1 − √3𝑗, 2 , −1 + √3𝑗, 1 − √3𝑗]. Determina la secuencia original: a) Usando la definición de la transformada inversa b) Usando la matriz simétrica de transformación inversa. Para ello, determina en primer lugar una expresión simplificada de dicha matriz

Solu Soluci ci ción ón ón::

a) Usando la definición de la IDFT de seis muestras tenemos: 𝑥[𝑛] =

6−1

𝜋 1 ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗 3 𝑘𝑛 6 𝑘=0 2𝜋 4𝜋 𝜋 1 = [2 + (1 + √3𝑗)𝑒 𝑗 3 𝑛 + (−1 − √3𝑗)𝑒 𝑗 3 𝑛 + 2𝑒 𝑗𝜋𝑛 + (−1 + √3𝑗)𝑒 𝑗 3 𝑛 6 5𝜋 𝑛 + (1 − √3𝑗)𝑒 𝑗 3 ] 2𝜋 2𝜋 2𝜋 4𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 1 = [2 + 2𝑒 𝑗 3 𝑒 𝑗 3 𝑛 + 2𝑒 −𝑗 3 𝑒 𝑗 3 𝑛 + 2𝑒𝑗𝜋𝑛 + 2𝑒 𝑗 3 𝑒 𝑗 3 𝑛 + 2𝑒 −𝑗 3 𝑒 −𝑗 3 𝑛 ] = 6 𝜋 𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 1 𝑗 𝑛 −𝑗 −𝑗 𝑛 −𝑗 𝑗 𝑛 𝑗 −𝑗 𝑛 = [1 + 𝑒 𝑗 3 𝑒 3 + 𝑒 3 𝑒 3 + 𝑒 3 𝑒 3 + 𝑒 3 𝑒 3 + 𝑒 𝑗𝜋𝑛] 3 1 𝜋 2𝜋 = [1 + 2 cos ( (𝑛 + 1)) + 2 cos ( (𝑛 − 1)) + (−1)𝑛 ] 3 3 3

Dando valores a n entre 0 y 5 resulta: 𝜋 −2𝜋 2 1 [1 + 2 cos ( ) + 2 cos ( ) + 1] = 3 3 3 3 2𝜋 1 1 𝑥[1] = [1 + 2 cos ( ) + 2 cos(0) − 1] = 3 3 3 2𝜋 1 1 𝑥[2] = [1 + 2 cos(𝜋) + 2 cos ( ) + 1] = − 3 3 3 1 4𝜋 4𝜋 2 𝑥[3] = [1 + 2 cos ( ) + 2 cos ( ) − 1] = − 3 3 3 3 5𝜋 5 1 𝑥[4] = [1 + 2 cos ( ) + 2 cos(2𝜋) + 1] = 3 3 3 8𝜋 1 1 𝑥[5] = [1 + 2 cos(2𝜋) + 2 cos ( ) − 1] = 3 3 3 𝑥[0] =

Por tanto: 𝑥[𝑛] = [ , , − , − , , ] 3 3 3 3 3 3 2 1

1

2 5 1

3

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b) La matriz simétrica de transformación IDFT de 6 muestras viene dada por: 𝜋

𝑀𝐻

𝜋 3 ·1·0 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·1·1 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·1·2 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·1·3 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·1·4 𝜋 ·1·5 𝑒𝑗 3

𝑒 𝑗 3 ·0·0 𝑒 𝑗 𝜋

𝑒 𝑗 3 ·0·1 𝜋

𝑗 ·0·2 3 = 𝑒𝜋 ·0·3 𝑒𝑗3 𝜋

𝑒 𝑗 3 ·0·4 𝜋

[ 𝑒 𝑗 3 ·0·5

1

=

1

1

1

1

[1

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

·2·0 𝑒 𝑗 3 ·3·0 𝑒 𝑗 3 ·4·0 𝑒 𝑗 3 ·5·0 𝑒 𝑗𝜋3 𝜋 𝜋 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·2·1 𝑒 𝑗 3 ·3·1 𝑒 𝑗 3 ·4·1 𝑒 𝑗 3 ·5·1 𝜋

𝜋

𝜋

𝜋 3 ·5·2 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·5·3 𝜋 𝑒 𝑗 3 ·5·4 𝜋 ·5·5 𝑒𝑗 3 ]

𝑒 𝑗 3 ·2·2 𝑒 𝑗 3 ·3·2 𝑒 𝑗 3 ·4·2 𝑒 𝑗 𝜋 ·2·3

𝑒𝑗 3 𝜋

𝜋

𝑒 𝑗 3 ·3·3 𝜋

𝜋 ·4·3

𝑒𝑗 3 𝜋

𝑒 𝑗 3 ·2·4 𝑒 𝑗 3 ·3·4 𝑒 𝑗 3 ·4·4 𝜋

𝜋 ·3·5

𝜋

𝑒 𝑗 3 ·2·5 𝑒 𝑗 3 𝑒 𝑗 3 ·4·5 1 1 1 1 1 1 √3 √3 √3 √3 1 1 1 +𝑗 −𝑗 −1 − − 𝑗 − +𝑗 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 √3 √3 √3 √3 1 − +𝑗 − −𝑗 − +𝑗 − −𝑗 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 √3 √3 √3 √3 1 − +𝑗 − +𝑗 1 − −𝑗 − −𝑗 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 √3 √3 √3 1 √3 −1 − + 𝑗 − −𝑗 −𝑗 +𝑗 2 2 2 ] 2 2 2 2 2

De modo que podemos obtener la IDFT buscada como: 1 1

1 1 𝑥 = 𝑀𝐻 𝑋 = 1 6

1

[1

1

1

√3 √3 1 1 +𝑗 − +𝑗 2 2 2 2 1 1 √3 √3 − +𝑗 − −𝑗 2 2 2 2 −1 1 1 √3 √3 1 − +𝑗 − −𝑗 2 2 2 2 1 1 √3 √3 − −𝑗 −𝑗 2 2 2 2

2 3 √3 1 √3 1 1 −𝑗 −1 − − 𝑗 2 2 2 2 2 3 1 1 1 √3 √3 1 + √3𝑗 − − −𝑗 1 − +𝑗 −1 − √3𝑗 3 2 2 2 2 = 2 1 −1 2 −1 − 1 1 √3 √3 −1 + √3𝑗 3 − +𝑗 1 − −𝑗 5 2 2 2 2 [ 1 − √3𝑗 ] 3 1 1 √3 √3 −1 − + 𝑗 +𝑗 1 ] 2 2 2 2 [ 3 ] 1

1

1

4

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Eje Ejerci rci rcicio cio 3 (1 pu punto nto nto))

Sea 𝑥[𝑛] una secuencia finita cuya DFT de cuatro muestras viene dada por 𝑋[𝑘] = [0, 1 + 𝑗, 1, 1 − 𝑗]. Determina la DFT de las siguientes secuencias a partir de las propiedades de esta transformada: a) 𝑥1 [𝑛] = 𝑥[(𝑛 − 1)4 ] 𝜋 b) 𝑥2 [𝑛] = cos ( 𝑛) 𝑥[𝑛] 2 c) 𝑥4 [𝑛] = [0, 0, 1 ,0] ⊛ 𝑥[𝑛] (donde ⊛ representa el operador de convolución circular)

Solu Soluci ci ción ón a) 𝑥1 [𝑛] = 𝑥[(𝑛 − 1)4 ]

Por la propiedad del desplazamiento circular sabemos que 𝑥[(𝑛 − 𝑚)𝑁 ] ↔ 𝑋[𝑘]𝑒 −𝑗𝑘 𝐷𝐹𝑇{𝑥[(𝑛 − 1)4 ]}= 𝑋[𝑘]𝑒

−𝑗𝑘

𝜋 2

b) 𝑥2 [𝑛] = cos ( 2 𝑛) 𝑥[𝑛] 𝜋

= (−𝑗)𝑘 𝑋[𝑘] = [0, 1 − 𝑗, −1, 1 + 𝑗].

Por la propiedad de modulación sabemos que 𝑥[𝑛]𝑒 𝑗𝑙 𝐷𝐹𝑇 {cos ( 𝑛) 𝑥[𝑛]} = 2 𝜋

2𝜋 𝑛 𝑁

𝜋 𝜋 1 1 𝑛 𝑛 𝐷𝐹𝑇 { 𝑒 𝑗 2 𝑥[𝑛] + 𝑒 −𝑗 2 𝑥[𝑛]} 2 2

2𝜋 𝑚 𝑁

↔ 𝑋[(𝑘 − 𝑙)𝑁 ], de modo que

= 𝐷𝐹𝑇 { 𝑒 𝑗 2 1

2𝜋 𝑛 4

𝑥[𝑛] + 𝑒 −𝑗 2 1

2𝜋 4

2𝜋 1 1 2𝜋 1 1 𝐷𝐹𝑇 { 𝑒 𝑗 4 𝑛 𝑥[𝑛] + 𝑒 −𝑗 4 𝑛 𝑥[𝑛]} = 𝑋[(𝑘 − 1)4 ] + 𝑋[(𝑘 + 1)4 ] 2 2 2 2 1 1 1 1 − 𝑗, 0] = [1, , = [1 − 𝑗, 0, 1 + 𝑗, 1] + [1 + 𝑗, 1, 2 2 2

𝑛

, de modo que

𝑥[𝑛]}

Haciendo ahora uso de la propiedad de linealidad de la DFT tenemos finalmente:

c) 𝑥3 [𝑛] = [0, 0, 1 ,0] ⊛ 𝑥[𝑛]

1,

1

] 2

Como sabemos, la convolución circular de una secuencia discreta con una delta desplazada es la secuencia original desplazada circularmente, esto es 𝑥3 [𝑛] = [0, 0, 1 ,0] ⊛ 𝑥[𝑛] = 𝑥[(𝑛 − 2)4 ]

Aplicando de nuevo la propiedad del desplazamiento circular tenemos 𝐷𝐹𝑇{𝑥[(𝑛 − 2)4 ]}= 𝑋[𝑘]𝑒 −𝑗𝑘𝜋 = (−1)𝑘 𝑋[𝑘] = [0, −1 − 𝑗, 1, −1 + 𝑗]. Eje Ejerci rci rcicio cio 4 (1 pu punto nto nto)) Sea 𝑥[𝑛] una secuencia de muestras reales con media cero y 𝑋[2𝑚 + 1] (0 ≤ 𝑚 ≤ 2) = [7.1528 − 4.5691𝑗, 0.0332 + 11.8634𝑗, −3.6860 + 3.4106𝑗] , la secuencia que contiene a todas las muestras impares de su DFT de 7 muestras. Determina:

a) La DFT completa de la secuencia 𝑥[𝑛], teniendo en cuenta las propiedades de simetría de la DFT de una secuencia real. b) La secuencia 𝑥[𝑛] a partir de la matriz de transformación IDFT. Comprueba que el resultado es coherente con el enunciado (puedes utilizar un programa de computación numérica para obtener dicha matriz) 5

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Solu Soluci ci ción ón a) La DFT completa de la secuencia 𝑥[𝑛]

Por un lado sabemos que si la secuencia es real entonces 𝑋[𝑘] = 𝑋 ∗[(−𝑘)𝑁 ] , lo que nos permite obtener las muestras pares de su transformada: 𝑋[2] = 𝑋∗[−2 + 7] = 𝑋 ∗[5] = −3.6860 − 3.4106j

𝑋[4] = 𝑋∗[−4 + 7] = 𝑋 ∗[3] = 0.0332 − 11.8634j 𝑋[6] = 𝑋∗[−6 + 7] = 𝑋 ∗[1] = 7.1528 + 4.5691j

Por otro lado, al ser la secuencia de media cero tenemos la primera muestra de su DFT: 6

 = 0 𝑋[0] = ∑ 𝑥[𝑛] = 7 · 𝑥[𝑛] 𝑛=0

De modo que la DFT completa queda: 𝑋[𝑘] (0 ≤ 𝑘 < 7) = [0, 7.1528 − 4.5691𝑗, −3.6860 − 3.4106j, 0.0332 + 11.8634𝑗, 0.0332 − 11.8634j, −3.6860 + 3.4106𝑗, 7.1528 + 4.5691j]

b) La secuencia 𝑥[𝑛] a partir de la ecuación de síntesis de la DFT. Comprueba que el resultado es coherente con el enunciado. La matriz de transformación IDFT puede expresarse como 𝑀𝐻 = {𝑒 𝑗 7 𝑘·𝑛 } 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑛, 𝑘 < 7. Esta matriz puede obtenerse de forma manual o, más rápidamente, utilizando un programa de computación numérica como Matlab. En este segundo caso definimos: 2𝜋

k=[0:6]; n=[0:6]; Mh=exp(j*2*pi/7*transpose(k)*n);

Definimos a continuación la DFT de forma explícita como: 𝑋 = [0, 7.1528 − 4.5691𝑗, −3.6860 − 3.4106j, 0.0332 + 11.8634𝑗, 0.0332 − 11.8634j, −3.6860 + 3.4106𝑗, 7.1528 + 4.5691j]; Y obtenemos la secuencia buscada:

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1 2 4 x=(1/7)*Mh*transpose(X)= −6 1 −3 [1] Que, como era de esperar, es una secuencia de valores reales y valor medio cero.

Ejercicio 5 (2 puntos) La TFSD de una secuencia viene dada por 𝑋(𝑒 𝑗𝜔 ) = a) b) c) d)

16−𝑒 −𝑗4𝜔

16−8𝑒 −𝑗𝜔

. Determina:

La DFT de cuatro muestras. La IDFT de la transformada anterior (ecuación de síntesis). La TFSD de la secuencia obtenida en el apartado anterior (ecuación de análisis) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué puedes decir sobre el número de muestras de la secuencia original?

Solu Soluci ci ción ón a) La DFT de cuatro muestras. Como sabemos, la DFT de N muestras puede obtenerse muestreando la TFSD en el conjunto de pulsaciones equiespaciadas 𝜔𝑘 = 2𝜋𝑘/𝑁 con 0 ≤ 𝑘 < 𝑁. En nuestro caso:

O bien, tomando valores de k: 𝑋4 [0] =

16 − 𝑒 −0 15 = −0 8 16 − 8𝑒

𝑋4 [2] =

2 − 𝑒 −𝑗4𝜋 5 = 2 − 𝑒 −𝑗𝜋 8

𝑋4 [1] =

𝑋4 [3] =

16 − 𝑒 −𝑗2𝜋

𝜋 16 − 8𝑒 −𝑗 2

2−𝑒 −𝑗6𝜋

3𝜋 2−𝑒 −𝑗 2

=

𝜋𝑘 𝑘= 2

con 0 ≤ 𝑘 < 4

3 3 − 𝑗 4 8

= + 𝑗, 8 4 3

𝑋4 [𝑘] = 𝑋(𝑒 𝑗𝜔 )|𝜔

3

De modo que la transformada pedida es 𝑋4 [𝑘] = [

15

8

,

3 5 3 3 3 − 8 𝑗, 8 , 4 + 8 𝑗] 4

b) La IDFT de la transformada anterior (ecuación de síntesis)

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Tomando valores tenemos: 1 𝑥[0] = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗0 = 1 4

𝑥[𝑛] = 𝐼𝐷𝑇𝐹4 {𝑋[𝑘]} =

3

𝜋 1 ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗 4 𝑘=0

2 𝑘𝑛

3

𝑘=0

𝜋 1 𝑥[1] = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗 4 3

𝑘=0 3

1 𝑥[2] = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗𝜋𝑘 4

2𝑘 =

𝑘=0 3

=

1 2

1 4

3𝜋 1 1 𝑥[3] = ∑ 𝑋[𝑘]𝑒 𝑗 2 𝑘 = 8 4 𝑘=0

De modo que la secuencia pedida es 𝑥[𝑛] = [1,

1 1 1 , , ] 2 4 8

c) La TFSD de la secuencia obtenida en el apartado anterior (ecuación de análisis)

La TFSD de la secuencia anterior puede calcularse fácilmente si tenemos en cuenta que esta secuencia puede representarse como: 1 1 1 1 𝑛 𝑥[𝑛] = [1, , , ] = ( ) [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 4]] 2 2 4 8

De modo que: ∞

𝑇𝐹𝑆𝐷{𝑥[𝑛]} = ∑

𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗𝜔𝑛

𝑛=−∞

∞

= ∑ (

1

𝑛=−∞

𝑛

) [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 2

1 4 ( ) 𝑒 −4𝑗𝜔 16 − 𝑒 −4𝑗𝜔 1 − 2 = = 1 1 −𝑗𝜔 16 − 8𝑒 −𝑗𝜔 1 − 2 𝑒 −𝑗𝜔 1 −2𝑒

− 4]]𝑒 −𝑗𝜔𝑛

∞

= ∑(

1

𝑛=0

) 2

𝑛

𝑒 −𝑗𝜔𝑛

∞

− ∑(

1

𝑛=4

𝑛

) 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 2

d) A partir del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿qué puedes decir sobre el número de muestras de la secuencia original 𝑥[𝑛]? Como la TFSD que hemos obtenido en el apartado c) es idéntica a la TFSD original, podemos afirmar que hemos recuperado la secuencia original calculando la IDFT de la TFSD muestreada, lo que implica

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que la secuencia original no tiene más de 4 muestras. En caso contrario, se produciría un aliasing en frecuencia y no sería posible recuperar la TFSD original.

Ejercicio 6 (2 puntos)

La siguiente tabla muestra dos secuencias y sus correspondientes transformadas discretas de Fourier: 𝑥[𝑛] = [1, 2, 3, 4]

𝑋[𝑘] = [10, −2 + 2𝑗, −2, −2 − 2𝑗]

Secuencia

DFT

𝑤[𝑛] = [1, 1, 1 ,1, 0, 0, 0, 0]

𝑊[𝑘] = [4, 1 − 2.4142𝑗, 0, 1 − 0.4142𝑗, 0, 1 + 0.4142𝑗, 0, 1 + 2.4142𝑗]

a) Calcula la DFT de la nueva secuencia 𝑠[𝑛] = [1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4] a partir de 𝑋[𝑘] b) Calcula la DFT de la nueva secuencia 𝑦[𝑛] = [1, 2, 3, 4,0,0,0,0] a partir de 𝑊[𝑘] y la transformada 𝑆[𝑘] obtenida en el apartado anterior.

Solu Solución ción a) Calcula la DFT de la nueva secuencia 𝑠[𝑛] = [1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4] a partir de 𝑋[𝑘]

La DFT de la secuencia 𝑠[𝑛] viene dada por: 7

𝑆[𝑘] = ∑ 𝑠[𝑛]𝑒 𝑛=0

−𝑗

2𝜋

8 𝑘𝑛 =

3

= ∑ 𝑥[𝑛]𝑒 𝑛=0

3

2𝜋 ∑ 𝑠[𝑛]𝑒 −𝑗 8 𝑘𝑛 + 𝑛=0

2𝜋 −𝑗 8 𝑘𝑛

3

3

∑ 𝑠[𝑛 + 4]𝑒 −𝑗 𝑛=0 2𝜋

+ ∑ 𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗 𝑛=0

𝑘 2𝑋 [ ] 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 𝑝𝑎𝑟 ={ 2 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

8

𝑘𝑛 −𝑗𝑘𝜋 𝑒

2𝜋

8 𝑘(𝑛+4)

3

2𝜋

= [1 + (−1)𝑘 ] ∑ 𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗 𝑛=0

8 𝑘𝑛

Por tanto la DFT buscada es: 𝑆[𝑘] = [20,

0,

−4 + 4𝑗,

0,

−4,

0,

−4 − 4𝑗,

0]

b) Calcula la DFT de la nueva secuencia 𝑦[𝑛] = [1, 2, 3, 4,0,0,0,0] a partir de 𝑊[𝑘] y la transformada 𝑆[𝑘] obtenida en el apartado anterior.

La secuencia 𝑦[𝑛] puede expresarse como el producto de las secuencias 𝑠[𝑛] y 𝑤[𝑛]. Por la propiedad del enventanado de la DFT sabemos que:

9

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𝑌[𝑘] = 𝐷𝐹𝑇|𝑁 {𝑠[𝑛] · 𝑤[𝑛]} =

1

𝑆[𝑘] ⊛ 𝑊[𝑘] 𝑁 Donde ⊛ representa la convolución circular. Podemos obtener las muestras de 𝑌[𝑘] como:

𝑌[0] =

𝑌[1] =

1

8

1

8

∑ 7𝑘=0 𝑆[𝑘] · 𝑊[(0 − 𝑘)8 ] =10 7

∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊[(1 − 𝑘)8 ] = −0.4142 − 7.2426𝑗 𝑘=0 7

1 𝑌[2] = ∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(2 − 𝑘)8 ] = −2 + 2𝑗 8 𝑘=0

1 𝑌[3] = ∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(3 − 𝑘)8 ] = 2.4142 − 1.2426𝑗 8 7

𝑌[4] =

1

8

𝑘=0 7

∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(4 − 𝑘)8 ] = −2 𝑘=0 7

1 𝑌[5] = ∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(5 − 𝑘)8 ] = 2.4142 + 1.2426𝑗 8 𝑘=0 7

1 𝑌[6] = ∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(6 − 𝑘)8 ] = −2 − 2𝑗 8 𝑘=0 7

1 𝑌[7] = ∑ 𝑆[𝑘] · 𝑊 [(7 − 𝑘)8 ] = −0.4142 + 7.2426𝑗 8 𝑘=0

La transformada buscada es, por tanto: 𝑌[𝑘] = [10, −0.4142 − 7.2426𝑗, −2 + 2𝑗, 2.4142 − 1.2426𝑗, −2, 2.4142 + 1.2426𝑗, −2 − 2𝑗, −0.4142 + 7.2426𝑗]

Ejercicio 7 (2 puntos)

Un sistema lineal discreto en el tiempo está caracterizado mediante la respuesta impulsiva ℎ[𝑛] = 1 𝑛

(3) [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 3]]. Se desea determinar la respuesta de este sistema a la secuencia de entrada 𝑥[𝑛] = (𝑛 + 1) · [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 5]] en el dominio discreto de Fourier. Para ello calcula: a) b) c) d)

El tamaño mínimo N de las DFTs necesarias. La DFT de N muestras de las secuencias ℎ[𝑛] y 𝑥[𝑛] a partir de las ecuaciones de análisis. La secuencia de salida y[n] a partir de las DFTs obtenidas en el apartado anterior La secuencia de salida y[n] mediante la convolución lineal de ℎ[𝑛] y 𝑥[𝑛]. Compara el resultado con el obtenido en el apartado anterior.

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Señales y Sistemas II · PEC3 · 20 20-21 - Programa Estudios de Informática Multimedia y Telecomunicación

Solución a) El tamaño mínimo N de las DFTs necesarias. Como sabemos, para que coincidan la convolución líneal y la convolución circular que se obtiene a partir de la IDFT debe cumplirse que 𝑁 ≥ 𝐿 + 𝑀 − 1. Teniendo en cuenta que las secuencias impulsiva y de entrada son:

1 𝑛 1 1 ℎ[𝑛] = ( ) [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 3]] = [1, , ] (𝐿 = 3) 3 3 9 𝑥[𝑛] = (𝑛 + 1) · [𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 5]] = [1, 2, 3, 4, 5]

El tamaño mínimo que buscamos es 𝑁 = 3 + 5 − 1 = 7

b) La DFT de N muestras de las secuencias ℎ[𝑛] y 𝑥[𝑛]

𝐻[𝑘] = ∑6𝑛=0 ℎ[𝑛]𝑒 −𝑗

2𝜋 7

𝑘𝑛

= ∑ 2𝑛=0 ℎ[𝑛]𝑒 −𝑗

2𝜋 7

𝑘𝑛

y

𝑋[𝑘] = ∑

(𝑀 = 5)

−𝑗 𝑘𝑛 6 7 𝑛=0𝑥[𝑛]𝑒 2𝜋

= ∑ 4𝑛=0 𝑥[𝑛]𝑒 −𝑗

2𝜋 7

Como ℎ[𝑛] y 𝑥[𝑛] son secuencias reales es suficiente con calcular de forma explícita las muestras: 𝐻[0] = ∑2𝑛=0 ℎ[𝑛]𝑒 0 = 1.4444

𝑋[1] = ∑

−𝑗 4 𝑛=0𝑥[𝑛]𝑒

𝐻[3] = ∑2𝑛=0 ℎ[𝑛]𝑒 −𝑗 7 𝑛 = 0.7690 − 0.0578j

𝑋[3] = ∑

−𝑗 𝑛 4 7 = 𝑛=0𝑥[𝑛]𝑒

𝐻[2] = ∑2𝑛=0 ℎ[𝑛]𝑒

4𝜋 −𝑗 𝑛 7 6𝜋
<...