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Sistemas de unidades funciones trigonometricas algebra de vectores cinematica...

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SISTEMA DE UNIDADES, ÁLGEBRA DE VECTORES Y CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Caracas, Febrero de 2019

ÍNDICE Contenido

Pág.

INTRODUCCIÓN…………………………………………..………………

1

FÍSICA 1. Conocimientos Básicos 1.1.Funciones Trigonométricas…………………………………………..

2

1.2.Sistema de Unidades…………………………………….….………..

6

2. Álgebra de Vectores 2.1.Operaciones Vectoriales…………………………………………….

12

2.2.Fuerza …………………………………………………………….…

19

2.3.Diagrama de cuerpo libre………………………………........………

28

2.4.Momento de una fuerza respecto a un punto………………………..

30

3. Cinemática de la Partícula 3.1.Definición……………………………………………………..…….

34

3.2.Movimiento general de una partícula en 3 dimensiones …………...

34

3.3.Movimiento Rectilíneo…………………………………………...…

35

3.4.Movimiento Rectilíneo Uniforme..…………………………………

35

3.5.Movimiento Uniformemente variado……………………………….

43

3.6.Velocidad Relativa……………………………………………….....

44

3.7.Movimiento Curvilíneo……………………………………………..

45

3.8.Velocidad y Aceleración Angular………………………………..…

48

3.9.Movimiento Circular Uniforme………………………………….…

49

3.10. Movimiento Circular Uniformemente Variado…………………...

52

ii

GLOSARIO…..………………………………………………………………

55

CONCLUSIONES……………………………………………………………

60

REFERENCIAS ..……………………………………………………………

61

iii

INTRODUCCIÓN

Desde las primeras civilizaciones se tiene conocimiento de la utilización de unidades de medición. Para poder intercambiar y comerciar, se tenía la tierra, la cantidad de artículos recolectados y aún el peso de las presas de casería. Todo parece indicar que las primeras magnitudes empleadas fueron: la longitud y la masa. Para la longitud se estableció como unidad de comparación el tamaño de los dedos y la longitud del pie entre otros; para la masa, se compararon las cantidades mediante piedras, granos etc. Este tipo de medición era cómoda porque cada persona, llevaba consigo su propio patrón de medida. Sin embargo, tenía el inconveniente que las medidas variaban de un individuo a otro. Al intercambiar productos se presentó el problema de la diferencia de los patrones anatómicos de cada etnia, surgiendo de esta manera la necesidad de unificar las unidades de medida. En el mundo occidental el primer patrón de medida de la longitud lo estableció Enrique I de Inglaterra, quien llamó yarda a la distancia entre su nariz y el dedo pulgar. Sin embargo, la verdadera revolución en la metrología se dio en el siglo XVII cuando se crea en Francia la toesa que consistía en una barra de hierro con una longitud de aproximadamente dos metros. Posteriormente, con la revolución francesa se crea el sistema métrico decimal, lo cual permitió unificar las diferentes unidades. La física es la más fundamental de las ciencias. Estudia el comportamiento y la estructura de la materia. El campo de la física se divide usualmente en física clásica, que incluye movimiento, fluidos, calor, sonido, luz, electricidad y magnetismo; y física moderna que incluye relatividad, estructura atómica, materia condensada, física nuclear, partículas elementales, y cosmología y astrofísica. La comprensión de la física es indispensable para cualquiera que piense estudiar una carrera científica o tecnológica. Por ejemplo, los ingenieros deben saber cómo calcular las fuerzas dentro de una estructura, para diseñarla de manera que permanezca estable. 1

SISTEMA DE UNIDADES, ÁLGEBRA DE VECTORES Y CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS 1. Conocimientos Básicos. 1.1. Funciones Trigonométricas Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.

Sea un triángulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa. La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno. Algunas observaciones y propiedades. - En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian". 2

- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, los valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo. Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor. Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:

lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:

La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia. 3

La función seno. Por y = sin x (o y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre -

y +

, teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose

en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida. Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.

En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes, mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que: 1 + 2 equivale a 1 radian, 1 + 4 2

equivale a 1, 1 + 6

- 1 equivale a - 1, 4 - 1 equivale a -1,

6

equivale a 1, .....

- 1 equivale a -1, .....

En definitiva, x + 2 k (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2 k

).

4

Gráfica de la función y = sin x.

Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo [0,

], y es negativa

en el intervalo [ , 2 ], asimismo se anula en los puntos x=0, x= , x=2 .

La función coseno. Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre -

y +

, teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2

(360 grados) es considerado un ángulo superior a

una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno. Gráfica de la función y = cos x.

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Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, 2

/2] y [3

/2,

], y es negativa en el intervalo [ /2, 3 /2], asimismo se anula en los puntos x= /2, x=3 /2. La función tangente. Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x

comprendidos entre -

y +

, teniendo como imágenes la tangente del ángulo x

radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k

/2, para k entero (positivo o negativo).

* Gráfica de la función y = tg x.

Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [- /2, 0], se anula en los puntos x=0, x= , x=2 ... (al igual que el seno). En los puntos x = k tendiendo hacia -

/2 tiene un tipo específico de discontinuidad:

por la derecha de ellos, y tendiendo hacia +

por la izquierda.

1.2. Sistemas de Unidades En las ciencias físicas tanto las leyes como las definiciones relacionan matemáticamente entre sí grupos, por lo general amplios, de magnitudes. Por ello, es posible seleccionar un conjunto reducido pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud pueda ser expresada en función de dicho conjunto. Esas pocas 6

magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales, mientras que el resto que pueden expresarse en función de las fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas. La definición de unidades dentro de un sistema se atiene a diferentes criterios. Así la unidad ha de ser constante como corresponde a su función de cantidad de referencia equivalente para las diferentes mediciones, pero también ha de ser reproducible con relativa facilidad en un laboratorio. Así, por ejemplo, la definición de amperio como unidad de intensidad de corriente ha evolucionado sobre la base de este criterio. Debido a que las fuerzas se saben medir con bastante precisión y facilidad, en la actualidad se define el amperio a partir de un fenómeno electromagnético en el que aparecen fuerzas entre conductores cuya magnitud depende de la intensidad de corriente.

El Sistema Internacional de Unidades (SI) El Sistema Internacional de Unidades (abreviadamente SI) distingue y establece, además de las magnitudes básicas y de las magnitudes derivadas, un tercer tipo formado por aquellas que aún no están incluidas en ninguno de los dos anteriores, son denominadas magnitudes suplementarias. El SI toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las correspondientes unidades para cada una de ellas. A estas siete magnitudes fundamentales hay que añadir dos suplementarias asociadas a medidas angulares, el ángulo plano y el ángulo sólido. La definición de las diferentes unidades fundamentales ha evolucionado con el tiempo al mismo ritmo que las propias ciencias físicas. Así, el segundo se definió inicialmente como 1/86 400 la duración del día solar medio, esto es, promediado a lo largo de un año.

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Unidades fundamentales •

Unidad de Longitud: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299 792 458 s.

•

Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París.

•

Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133.

•

Unidad de Corriente Eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual, al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 x 10-7 N por cada metro de longitud.

•

Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

•

Unidad de Intensidad Luminosa: la candela (cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada,de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr).

•

Unidad de Cantidad de Sustancia: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas.

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Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son: MAGNITUD BASE longitud masa tiempo corriente eléctrica temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa

NOMBRE metro kilogramo segundo Ampere Kelvin mol candela

SIMBOLO m kg s A K mol cd

Unidades derivadas Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y símbolos especiales. Estas unidades pueden así mismo ser utilizadas en combinación con otras unidades base o derivadas para expresar unidades de otras cantidades. Estos nombre y símbolos especiales son una forma de expresar unidades de uso frecuente. •

Coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo por una corriente de un amperio.

•

Joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando su punto de aplicación se desplaza la distancia de un metro en la dirección de la fuerza.

•

Newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo, cada segundo.

•

Pascal (Pa): Unidad de presión. Es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

•

Volt (V): Unidad de tensión eléctrica, potencial eléctrico, fuerza electromotriz. Es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre esos puntos es igual a 1 watt.

•

Watt (W): Potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo. 9

•

Ohm (Ω): Unidad de resistencia eléctrica. Es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

•

Weber (Wb): Unidad de flujo magnético, flujo de inducción magnética. Es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme. Magnitud derivada

Nombre

ángulo plano radián ángulo sólido estereorradián hertz frecuencia fuerza newton presión, esfuerzo pascal joule energía, trabajo, calor watt potencia, flujo de energía coulomb carga eléctrica, cantidad de electricidad volt diferencia de potencial eléctrico, fuerza electromotriz capacitancia farad ohm resistencia eléctrica siemens conductancia eléctrica flujo magnético weber densidad de flujo tesla magnético inductancia henry

Símbolo

Expresadas en términos de otras unidades del SI

rad sr Hz N Pa J

N/m² N.m

Expresadas en términos de las unidades base del SI m.m-1=1 m².m-2=1 s-1 m.kg.s-2 m-1.kg.s-2 m².kg.s-2

W

J/s

m².kg.s-3

C

s.A

V

W/A

m².kg.s-3.A-1

F W

C/V V/A

m-2.kg-1.s4.A² m².kg.s-3.A-2

S

A/V

m-2.kg-1.s³.A²

Wb T

V.s Wb/m²

m².kg.s-2.A-1 kg.s-1.A-1

H

Wb/A

m².kg.s-2.A-2

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temperatura Celsius flujo luminoso radiación luminosa actividad (radiación ionizante) dosis absorbida, energía específica (transmitida) dosis equivalente

Celsius

°C

lumen lux

lm lx

becquerel

Bq

gray

sievert

K cd.sr lm/m²

m².m².cd=cd m².m-4.cd=m2 .cd s-1

Gy

J/kg

m².s-2

Sv

J/kg

m².s-2

Tipos de magnitudes Una magnitud física es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. Ejemplos: el tiempo (t), la velocidad ( eléctrico (

), la masa (m), la temperatura (T), el campo

).

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en: •

Magnitudes escalares: son aquellas que quedan completamente determinadas mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un número real) seguida de una unidad (a excepción de las adimensionales). Así, por ejemplo, si decimos que la masa de un objeto es 3 kg, hemos aportado toda la información necesaria.

•

Magnitudes vectoriales: son aquellas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido de su actuación y su punto de aplicación. Así, al decir que sobre un objeto se aplica una fuerza de 3 N, no poseemos toda la información, ya que habrá que indicar hacia dónde se dirige dicha fuerza.

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Ejemplos de magnitudes Escalares Vectoriales Magnitud Símbolo Magnitud Símbolo Masa m Posición Tiempo t Velocidad Temperatura T Fuerza Energía E Campo eléctrico 2. Álgebra de Vectores. 2.1. Operaciones Vectoriales. Las operaciones que pueden efectuarse entre magnitudes vectoriales entre sí y con magnitudes escalares, son más amplias y poseen propiedades específicas. Suma de vectores Las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de homogeneidad dimensional (una fuerza puede sumarse con otra, pero no con una velocidad, por ejemplo).

Gráficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos formas equivalentes: •

Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen (regla del paralelogramo).

•

Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (regla del triángulo).

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Regla del paralelogramo

Regla del triángulo

Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.

Para que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo punto de aplicación. No tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en un punto con el campo eléctrico en otro. Sí lo tiene sumar dos campos eléctricos aplicados sobre el mismo punto. Cuando los puntos de aplicación coinciden, el punto de aplicación de la suma será el mismo que el de los sumandos.

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Producto vectorial

Dados dos magnitudes,

y

, que forman un ángulo θ, podemos construir una

nueva magnitud como el producto vectorial de estas dos

. Esta

magnitud es también vectorial, con las propiedades: •

Módulo: Es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el valor absoluto del seno de...