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ESERCIZI. Esercizio: Determinare i coseni direttori della retta r passante per i punti A(3, 1, −2) e B(2, 0, −1) e orientata da B verso A.

−→

La retta r ha vettore direttore AB = (−1, −1, 1)

=⇒ (l, m, n) = (−1, −1, 1) −1 1 −1 cos yr b = ±√ cos zr b = ±√ . =⇒ cos x cr = ± √ 3 3 3 r `e orientata nel verso delle x crescenti (la x cresce da B ad A) =⇒ deve essere cos x cr > 0 =⇒ scegliamo il segno − 1 1 1 =⇒ cos x cr = √ cos yr b =√ cos zr b = −√ . 3 3 3   x = 2 − t Esercizio: Determinare le coordinate del versore vers r della retta r di equazioni parametriche y = 3 + 2t   z = −1 + t orientata nel verso delle y decrescenti.

t ∈ R,

→ − → − → − → v = − i + 2 j + k =⇒ I versori paralleli alla retta sono r ha parametri direttori (l, m, n) = (−1, 2, 1) =⇒ vettore direttore = − − → 1 v di coordinate ± √ (−1, 2, 1). ± − → kvk 6

vers r = (vx , vy , vz ) della retta r `e, per definizione, il versore parallelo e concorde con la retta r orientata nel verso delle y decrescenti.

=⇒ Tra i due vettori scegliamo il versore t.c. vy < 0. Infatti, le coordinate del versore della retta coincidono con i coseni direttori della retta stessa =⇒ l’orientazione nel verso delle y decrescenti equivale a richiedere che cos yr b = vy < 0:

=⇒

1 vers r = −√ (−1, 2, 1). 6 1

− → Esercizio: Determinare la componente ortogonale del vettore v = (2, −1, 4) lungo la retta di equazioni parametriche x = −2 + 3t   y = −1 + t r :  z = 2 − 2t

orientata nel verso delle x crescenti.

t∈R

→ −

La componente ortogonale del vettore v secondo la retta r `e il numero reale

−v · vers r. vr = → Un vettore direttore della retta, parallelo e concorde con essa, `e il vettore di coordinate (3, 1, −2)

=⇒

1 vers r = √ (3, 1, −2) 14

−v · vers r = √1 (6 − 1 − 8) = − √3 . vr = → 14 14

=⇒

Esercizio: Determinare il coseno dell’angolo convesso formato dalle rette

  x = 2 − t ′ r : y = 2t   z =1+t

( x−y+1 =0 r: y + 2z − 1 = 0 entrambe orientate nel verso delle x crescenti.

t ∈ R.

→ − → − Un vettore direttore per la retta r `e il vettore v = (−2, −2, 1); un vettore direttore di r ′ `e il vettore v ′ = (−1, 2, 1). Le due rette sono entrambe orientate nel verso delle x crescenti − → v 1 ⇒ vers r = − → = (2, 2, −1) − kvk 3

− → 1 v′ vers r ′ = − → = √ (1, −2, −1) − ′ kv k 6 2

⇒

1 c′ = vers r · vers r ′ = − √ cos rr 3 6

Esercizio: Determinare il coseno dell’angolo formato dai due piani

α′ : x + 3y + 2z − 2 = 0.

α : 2x − y − z + 12 = 0

Il coseno dell’angolo dei due piani `e individuato a meno del segno, essendo opposti i coseni di due angoli tra loro supplementari:

aa′ + bb′ + cc′ 2−3−2 −3 √ =± √ √ =± √ . 2 2 2 ′2 ′2 ′2 a +b +c a +b +c 6 14 2 21 ( x + y − 2z = 0 Esercizio: Determinare l’equazione cartesiana del piano α contenente la retta r : 2x + y − z − 1 = 0 piano β : 2x − y + 2z + 8 = 0. d′ = ± √ cos αα

e perpendicolare al

Il piano cercato appartiene al fascio proprio di piani di asse la retta r , il cui generico piano ha equazione cartesiana:

x + y − 2z + k(2x + y − z − 1) = 0,

k∈R

=⇒

x(2k + 1) + y(k + 1) + z(−2 − k) − k = 0,

Imponiamo la condizione che tale generico piano del fascio sia perpendicolare al piano β : la condizione aa′ + bb′ + cc′ = 0 d` a:

2(2k + 1) − (k + 1) + 2(−2 − k) = 0 =⇒

=⇒

α : 7x + 4y − 5z − 3 = 0.

3

k=3

k∈R

 x = 1 − t  t ∈ R determinare l’equazione cartesiana del piay =t+2  Esercizio: Dati nello spazio il punto P (0, 1, 2) e la retta r : z = 2t + 1 no π contenente r e passante per P , e scrivere equazioni cartesiane per la retta s passante per P , incidente e perpendicolare alla retta r . Ricaviamo le equazioni cartesiane di r esplicitando il parametro t nell’espressione di x nelle sue equazioni parametriche =⇒ t = 1−x =⇒ risostituendo: (

r:

=⇒ il generico piano contenente r ha equazione

x+y−3 =0 2x + z − 3 = 0.

x + y − 3 + h(2x + z − 3) = 0

h ∈ R.

Imponendo il passaggio per P :

0 + 1 − 3 + h(0 + 2 − 3) = 0 =⇒

=⇒

h = −2

π : 3x − y + 2z − 3 = 0. La retta per P , perpendicolare e incidente alla retta r , `e intersezione del piano π contenente r e passante per P , con il piano α per P e perpendicolare a r . r ha parametri direttori (−1, 1, 2) =⇒ il piano perpendicolare a r cercato `e −1(x − 0) + 1(y − 1) + 2(z − 2) = 0 =⇒ α : x − y − 2z + 5 = 0 ( 3x − y + 2z − 3 = 0 =⇒ s: x − y − 2z + 5 = 0. 4

Esercizio: Determinare equazioni cartesiane per la retta r ′ proiezione ortogonale sul piano π : 2x + y − z − 14 = 0 della retta

( 3x + y − 2z − 1 = 0 r: x − 2y + 3z = 0.

La proiezione ortogonale della retta r sul piano π `e, per definizione, la retta intersezione del piano π , su cui si proietta, con il piano α contenente la retta r e perpendicolare a π . Il generico piano contenente r `e il generico piano del fascio proprio di asse r :

3x + y − 2z − 1 + k (x − 2y + 3z) = 0

k ∈ R.

=⇒ x(k + 3) + y(1 − 2k) + z (3k − 2) − 1 = 0,

k ∈ R.

Condizione di perpendicolarit` a con il piano π :

2(k + 3) + 1(1 − 2k) − 1(3k − 2) = 0 =⇒ =⇒

=⇒

−3k + 9 = 0

α : 6x − 5y + 7z − 1 = 0. ( 2x + y − z − 14 = 0 r′ : 6x − 5y + 7z − 1 = 0.

5

=⇒

k=3

( x + y + 3z − 1 = 0 Esercizio: Determinare l’equazione del piano α passante per il punto P (3, 1, 0), parallelo alla retta r : x − y − z = 0 e perpendicolare al piano π : x + y + z − 3 = 0. Il generico piano passante per il punto P ha equazione cartesiana

a(x − 3) + b(y − 1) + c(z − 0) = 0,

Imponiamo la condizione che il piano cercato sia parallelo alla retta r :

a, b, c ∈ R.

al + bm + cn = 0, con (l, m, n) = parametri direttori di r , che sono proporzionali alla terna

             1 3  , − 1 3  , 1 1  = (2, 4, −2) 1 −1  1 −1 −1 −1

=⇒ Condizione di parallelismo tra r e α: ′

′

l=1

m=2

n = −1.

a + 2b − c = 0.

′

Condizione di perpendicolarit` a aa + bb + cc = 0 di α con π :

=⇒

a + b + c = 0. ( a + 2b − c = 0 a + b + c = 0.

Tale sistema ammette ∞1 soluzioni, tutte proporzionali alla terna (3, −2, −1)

=⇒

α : 3(x − 3) − 2(y − 1) − 1(z − 0) = 0 6

=⇒

α : 3x − 2y − z − 7 = 0.

Esercizio: Determinare le coordinate di un versore perpendicolare alle rette

r1 :

( x−y−z−1=0 x+y+z−3 =0

x =3+t    y =1−t   r2 : z = 2t

e

La retta r1 ha parametri direttori

t ∈ R.

(l1 , m1 , n1 ) = (0, −2, 2).

Si deduce dalle equazioni parametriche di r2 che essa ha parametri direttori

→ − Il versore v cercato ha coordinate

(l2 , m2 , n2 ) = (1, −1, 2).

(vx, vy , vz ) che devono soddisfare simultaneamente le due condizioni di perpendicolarit`a:

vxl1 + vy m1 + vz n1 = 0 vxl2 + vy m2 + vz n2 = 0. ( −2vy + 2vz = 0 =⇒ vx − vy + 2vz = 0.

=⇒ sistema omogeneo di due equazioni in tre incognite, di rango 2, che ammette le ∞1 soluzioni h(1, −1, −1), con h ∈ R. Il vettore che stiamo cercando deve avere modulo unitario

=⇒

√ p h2 + (−h)2 + (−h)2 = 3h2 = 1

=⇒ i due versori perpendicolari alle due rette r1 ed r2 hanno coordinate

1 ± √ (1, −1, −1). 3 7

=⇒

1 h = ±√

3

( x−y+z =0 Esercizio: Determinare le equazioni cartesiane dei piani passanti per la retta r : x = 0 il piano α : x − z − 8 = 0.

e formanti un angolo di

Il generico piano contenente la retta r `e il generico piano del fascio proprio di asse la retta r , che ha equazione cartesiana

x − y + z + kx = 0,

k∈R

=⇒

x(k + 1) − y + z = 0,

k ∈ R.

π Imponiamo la condizione che tale piano formi un angolo di 3 con il piano α:

±√

π 1 aa′ + bb′ + cc′ √ = cos = , 2 2 2 ′2 ′2 ′2 2 3 a +b +c a +b +c

b = −1 c=1 a′ = 1 b′ = 0 c′ = −1. k+1−1 k 1 ±√ √ = , √ = ±√ 2 2 k 2 + 2k + 1 + 1 + 1 1 + 1 k + 2k + 3 2 p 2 ±2k = 2k + 4k + 6 =⇒ k 2 − 2k − 3 = 0

a=k+1

con:

=⇒ =⇒

=⇒

k1 = −1

k2 = 3.

=⇒ I due piani cercati sono i piani ottenuti sostituendo tali valori di k nell’espressione del generico piano del fascio:

π1 : y − z = 0

π2 : 4x − y + z = 0.

8

π con 3...