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TRASPOSIZIONE DI MATRICI. MATRICI SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE Definizione: Data una matrice A ∈ M(m × n), la sua trasposta `e la matrice, denotata AT , ottenuta da A scambiandone ordinatamente tra loro le righe con le colonne.   1 0 2 Esempio: Sia A = . Allora la matrice AT `e la matrice −3 −1 5   1 −3 AT = 0 −1 . 2 5 Osservazione: L’elemento di posto ij in A diventa l’elemento di posto ji in AT .

A ∈ M(m × n)

Si verifica facilmente che la trasposizione soddisfa le seguenti propriet`a: 1. (AT )T = A; 2. (A + B)T = AT + B T ; 3. (kA)T = kAT .     8 0 3 1 eB= , si ha: 5 6 4 −2   T  3 4 3 1 1. (AT )T = = =A 1 −2 4 −2          T  T 8 0 3 4 8 5 3 1 11 1 11 9 T + = + = AT + B T 2. (A + B) = = = 4 −2 1 4 1 −2 0 6 5 6 9 4   T    24 8 24 32 3 4 3. (8A)T = = =8 = 8AT 32 −16 8 −16 1 −2

Esempio: Date A =

1

=⇒

AT ∈ M(n × m).

Definizione: Una matrice quadrata di ordine n si dice simmetrica se AT = A, si dice antisimmetrica se AT = −A. Osservazione: La condizione di simmetria di A = (aij ) si traduce nella condizione aij = aji per ogni i, j = 1, . . . , n; la condizione di antisimmetria equivale alla condizione aij = −aj i per ogni i, j = 1, . . . , n; in particolare aii = 0. =⇒ una matrice antisimmetrica ha gli elementi sulla sua diagonale principale tutti uguali a 0. Esempio: La matrice A `e una matrice simmetrica di ordine 3; la matrice B `e una matrice antisimmetrica di ordine 4.     0 1 −2 −4 2 3 −1 −1 0 3 −6   A= 3 8 0 B=  2 −3 0 −1  . −1 0 4 4 6 1 0 Esercizio: Verificare che la somma di due matrici simmetriche `e simmetrica, e che il prodotto di una matrice simmetrica per uno scalare `e ancora una matrice simmetrica. Analogamente, provare che la somma di due matrici antisimmetriche `e antisimmetrica, e che il prodotto di una matrice antisimmetrica per uno scalare `e ancora una matrice antisimmetrica. Siano A, B ∈ M(n × n) due matrici simmetriche. Allora (A + B )T = AT + B T = A + B

=⇒

A + B `e simmetrica

Se A `e simmetrica e k `e uno scalare, si ha (kA)T = kAT = kA

=⇒

kA `e simmetrica.

Siano ora C, D ∈ M(n × n) due matrici antisimmetriche. Allora (C + D)T = C T + DT = (−C) + (−D) = −(C + D)

=⇒

C + D `e antisimmetrica

Se C `e antisimmetrica e h `e uno scalare, si ha (hC )T = hC T = h(−C) = −hC

=⇒ 2

hC `e antisimmetrica.

Esercizio: Dimostrare che ogni matrice quadrata A pu`o essere scritta come somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica come 1 1 A = (A + AT ) + (A − AT ) 2 2 e che tale decomposizione `e unica. Si ha (A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A = A + AT =⇒ A + AT `e simmetrica

1 (A 2

=⇒

+ AT ) `e simmetrica

Si ha poi (A − AT )T = AT − (AT )T = AT − A = −A + AT = −(A − AT ) =⇒ A − AT `e antisimmetrica

=⇒

1(A 2

Infine, l’uguaglianza

− AT ) `e antisimmetrica 1 1 A = (A + AT ) + (A − AT ) 2 2

`e banalmente verificata. Dimostriamo l’unicit`a di una tale decomposizione. Sia A=B+C

con B simmetrica e C antisimmetrica

(1)

Vogliamo dimostrare che deve necessariamente essere B = 12 (A + AT ) e C = 21 (A − AT ). Trasponendo (1), si trova AT = B − C, poich´e B `e simmetrica e C `e antisimmetrica per ipotesi. Da quest’ultima equazione si ricava B = AT + C. Sostituendo tale espressione di B nella (1) si ricava A = AT + 2C ⇒ A − AT = 2C ⇒ C = 21 (A − AT ). Sostituendo tale espressione di C nella (2) si ricava B = 21 (A + AT ). 3

(2)

    0 1 −1 3 2 −1 Esercizio: Date le matrici A = 1 −2 0  e B = 2 −2 4  in M(3 × 3), calcolare le matrici A + 2B, AT , B T − 2A. Verificare 3 −1 6 4 1 5 che la matrice AT + A `e simmetrica; verificare che la matrice B T − B `e antisimmetrica. Si ha        0 2 3 2 −1 2·0 2·1 2 · (−1) 3 2 −1 A + 2B =  1 −2 0  +  2 · 2 2 · (−2) 2 · 4  =  1 −2 0  + 4 −4 6 −2 4 1 5 2 · 3 2 · (−1) 2·6 4 1 5     3 4 −3 3+0 2+2 −1 + (−2) 0 + 8  =  5 −6 8  =  1 + 4 −2 + (−4) 10 −1 17 4 + 6 1 + (−2) 5 + 12     0 2 3 3 1 4 Si ha AT =  2 −2 1  e B T =  1 −2 −1 , e quindi −1 4 6 −1 0 5        −6 0 2 3 −2 · 3 −2 · 2 −2 · (−1) 0 2 3 T B − 2A =  1 −2 −1  + −2 · 1 −2 · (−2) −2 · 0  =  1 −2 −1  + −2 −8 −1 4 6 −2 · 4 −2 · 1 −2 · 5 −1 4 6     −6 −2 5 0 + (−6) 2 + (−4) 3+2 =  1 + (−2) −2 + 4 −1 + 0  = −1 2 −1 . −9 2 −4 −1 + (−8) 4 + (−2) 6 + (−10) Infine

   6 3 3 3+3 1+2 4 + (−1) 1 + 0  = 3 −4 1  AT + A =  2 + 1 −2 + (−2) 3 1 10 −1 + 4 0+1 5+5 

Tale matrice `e simmetrica, in quanto i suoi elementi soddisfano la condizione aij = aj i per ogni i, j = 1, 2, 3.

4

 −2 8  12

 −4 2 4 0  −2 −10

Poi

       0 1 4 0+0 2 + (−1) 3+1 0 1 −1 0 2 3 −2 + 2 −1 + (−4) =  −1 0 −5 . B − B =  1 −2 −1 −  2 −2 4  =  1 + (−2) −4 5 0 −1 + (−3) 4+1 6 + (−6) 3 −1 6 −1 4 6 T



Tale matrice `e antisimmetrica, in quanto i suoi elementi soddisfano la condizione aij = −aji per ogni i, j = 1, 2, 3.

5...