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Solución de integrales dobles y triples por formula directa

2

¿∫ 0

¿

Alejandro Carrillo Rodriguez N. de lista 3 Integral doble: Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces la integral doble de f sobre ❑

R, denotada por

=

∬ f (x , y)

se define como

(

)

14 x3 −x 6 −x 4 + dx 3 3

|

.2 .0

x7 x5 7 x4 x2 + − + 2 6 21 5

216 35

R ❑

n

∑ f (x k , y k )∆ A k ∬ f ( x , y ) dA=|Plim |→ 0 ¿

❑

¿

k=1

R

Si el límite en (2) existe, afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la región de

(x k , y k ) ¿

¿

integración. Para una partición

P de R en subregiones Rk con en Rk, una suma de l

Integral triple: Sea f una función de tres variables definida sobre una región cerrada D del espacio tridimensional. Entonces la integral triple de f sobre D, denotada por medio de ❑

∭ f ( x , y , z ) dV

n

f (x k , y k )∆ A k ∑ k=1 ¿

¿

a forma se denomina suma de

se define como

D

Riemann. La partición de R, donde las Rk yacen por completo en R, recibe el nombre de partición interior de R. La colección de rectángulos sombreados en las siguientes dos figuras ilustra una partición interna. Nota: Cuando f es continua sobre R, el límite en (2) existe, esto es, f es necesariamente integrable sobre R.

❑

n

∑ f (x k , y k , z k )∆ V k |P|→ 0

∭ f ( x , y , z ) d v= lim D

¿

¿

❑

¿

k=1

Ejemplo de integrales triples: 2 −1

3

3 2

∫∫ ∫ xy z

Ejemplos de integrales Dobles

2

dz dx dy

=

0 −1 0

∫∫ 0 −1

[

]

x2 y z2 dy dz 2

x 2x

∫ (¿ ¿ 2+ y 2 )dydx x

3 2

=

2

2

∫∫ 0 −1

∬ ( x + y ) dA=∫ ¿ 2

3

2

yz dy dz 2

=

∫ 0

2

[ ]|

y−2 y 2 z 2 . dz 4 . y−1

0

D

3

2

[

¿∫ x 2 y + 0

2

0

[

| ]

y 3 . y−2 x dx 3 . y−x

0

2

]|

2 z3 .3 3z dz= 4 .0 4

=

27 4

[3] Zill, D., Wright, W. and Ibarra Escutia, J. (2015). Matemticas 3. M4xico, D.F.: McGraw Hill/Interamericana.

2

¿∫ x ( 2 x )+

[

∫

]

(2 x )3 (x 2)3 2 2 −x x − dx 3 3...