CALCULO VECTORIAL 1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES AREA DE REGIONES PLANAS PDF

Preview

Summary

CALCULO VECTORIAL CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO III Aplicaciones - Área de regiones planas APLICACIONES DE LAS - Volumen de un sólido INTEGRALES DOBLES - Masa de un lámina - Centro de masa de una lámina Rosa Ñique Alvarez 2 AREA DE REGIONES PLANAS EJEMPLO 1 Si integramos sobre la función constante f(x,...

Description

CALCULO VECTORIAL

CÁLCULO VECTORIAL

CAPÍTULO III

Aplicaciones -

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

Área de regiones planas Volumen de un sólido Masa de un lámina Centro de masa de una lámina

Rosa Ñique Alvarez

AREA DE REGIONES PLANAS

EJEMPLO 1

Si integramos sobre la función constante f(x,y)=1 sobre la región R, obtenemos el área de R.

Area ( R ) =

2

Calcule el área de la región limitada por la parábola x = y2 y la recta x – y = 2.

∫∫ dA R

Rosa Ñique Alvarez

Area( R) =

Solución

3

∫∫ d A

Rosa Ñique Alvarez

Solución

R

 y2 ≤ x ≤ y + 2 R:  −1 ≤ y ≤ 2

2

y

(4, 2)

R

x

-y

=

2

x=

4

 y2 ≤ x ≤ y + 2 R:  −1 ≤ y ≤ 2

Area( R ) =

Rosa Ñique Alvarez

5

y+2

−1

y2

∫∫ d A = ∫ ∫ d x d y = R

( 1, -1)

2

Rosa Ñique Alvarez

9 2

6

1 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

Solución: R es la parte superior

Ejemplo 2 Calcule el área de la región ubicada dentro del caracol r = 3 - cosθ y fuera de la circunferencia r = 5cos θ.

Area = 2∫∫ dA R

Area = 2 ∫∫ dA R

Rosa Ñique Alvarez

90

Area = 2∫∫ dA R

60 4

5 cos θ ≤ r ≤ 3 − cos θ  R1  π π ≤θ ≤  3 2

3 30 2 1

180

0

0 ≤ r ≤ 3 − cos θ  R2  π  2 ≤ θ ≤ π

330

210

240

r = 5cos θ

300 270

Rosa Ñique Alvarez

9

Solución: R = R1 U R2

R

R1

π / 2 3− cosθ

∫

π /3

∫ r dr dθ

R

π

3− cosθ

π /2

0

+2

Rosa Ñique Alvarez

3 −cosθ

π /3

5 cosθ

∫

∫ r dr dθ

π

3−cosθ

π /2

0

∫

∫ r dr dθ

Rosa Ñique Alvarez

Area = 2 ∫∫ dA =

R2

5 cosθ

π /2

10

Solución

Area = 2 ∫∫ dA = 2 ∫∫ dA + 2∫∫ dA

Area = 2

8

Solución: R = R1 U R2

circunferencia caracol

5

120

150

r = 3 - cosθ

Rosa Ñique Alvarez

7

∫

17π + 24 3 4

∫ r dr dθ 11

Rosa Ñique Alvarez

12

2 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

VOLUMEN

EJEMPLO 3

Si f (x ,y) ≥ 0, entonces el volumen V del sólido que se encuentre arriba de la región R y debajo de la superficie z = f (x ,y) es

V =

∫∫

Calcule el volumen del tetraedro limitado por los planos: x + 2 y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0.

f ( x , y ) dA

R

Rosa Ñique Alvarez

V =

13

Rosa Ñique Alvarez

14

Descripción de la región R

∫∫ (2 − x − 2 y) dA R

y =1− 1

R

(1, 1/2)

y=

Rosa Ñique Alvarez

Solución

V =

∫∫

f ( x, y ) dA = ∫∫ ( 2 − x − 2 y ) dA

1

1− x / 2

R

V =

Rosa Ñique Alvarez

16

Solución V =

1

1− x / 2

0

x/2

∫ ∫

( 2 − x − 2 y) d y d x

R

∫ ∫ 0

x 2

15

 0 ≤ x ≤1  R : x x  2 ≤ y ≤ 1 − 2

 0 ≤ x ≤1  R : x x  2 ≤ y ≤ 1 − 2

x 2

V = 1/ 3

( 2 − x − 2 y) d y d x

x/2 Rosa Ñique Alvarez

17

Rosa Ñique Alvarez

18

3 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

EJEMPLO 4

Solución z = f(x, y) = x2 + y2

Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por el paraboloide z = x2 + y2 y arriba de la región limitada y = x2 y x = y2.

V =

∫∫ (x

2

+ y 2 )dA

R

Rosa Ñique Alvarez

19

SOLUCION

Rosa Ñique Alvarez

Solución y = x2 x = y2

0 ≤ x ≤ 1 R 2 x ≤ y ≤ x

(1, 1)

0 ≤ x ≤ 1 R 2 x ≤ y ≤ x

V =

∫∫ (x

V =

∫ ∫ (x

R

2

0

Rosa Ñique Alvarez

x

2

+ y 2 )d y d x

x2

21

Rosa Ñique Alvarez

Solución

22

MASA

∫∫ (x

2

+ y 2 )dA

Si ρ(x, y) es la densidad de la lamina R entonces la masa m de la lámina es

R

V =

+ y 2 )dA

R

1

V =

20

∫ ∫ (x 1

x

0

2

x

2

+ y 2 )d y d x

m=

∫∫

ρ ( x, y ) dA

R

R

6 V = 35

Rosa Ñique Alvarez

23

Rosa Ñique Alvarez

. (x, y)

24

4 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

Ejemplo 5

Solución

m=

∫∫ R

ρ ( x, y ) dA = ∫∫ 3 dA R

Calcule la masa de una lámina formada por la parábola x = y2 y la recta y = x - 2, si la densidad en cualquier punto de la lámina es ρ(x, y) = 3.

y2 ≤ x ≤ y + 2 R − 1 ≤ y ≤ 2

Rosa Ñique Alvarez

25

Solución m=

∫∫ R

Una lámina ocupa la región dentro de la circunferencia x2 + y2 = 2y pero fuera de la circunferencia x2 + y2 = 1. Calcule la masa si la densidad en cualquier punto es inversamente proporcional a su distancia al origen.

R

y+ 2

−1

y2

∫ 3 dx dy =

27 2

Rosa Ñique Alvarez

26

EJEMPLO 6

ρ ( x, y ) dA = ∫∫ 3 dA

2

m=∫

Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

27

Solución

28

Solución k

ρ ( x, y ) =

m = k ∫∫ R

x =r cosθ,

x2 + y2

1 x + y2 2

Rosa Ñique Alvarez

y = r senθ

Circunfere ncia : x 2 + y 2 = 2 y ,

dA

Circunfere ncia : x 2 + y 2 = 1,

29

Rosa Ñique Alvarez

r = 2 senθ

r =1

30

5 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

1 ≤ r ≤ 2 senθ R: π / 6 ≤ θ ≤ 5π / 6

r = 2 senθ

Solución 1

m = k ∫∫

π /6

5π / 6

1 ≤ r ≤ 2 senθ R : π / 6 ≤ θ ≤ 5π / 6

x + y2 2

R

m= k

Rosa Ñique Alvarez

5π / 6

2 senθ

π /6

1

∫

31

32

MOMENTOS 1

x2 + y2

R

1   rd r dθ r

Rosa Ñique Alvarez

SOLUCION m = k ∫∫

∫

dA

dA = k

5π / 6

2 senθ

• Momento alrededor del eje X es:

π /6

1

Mx =

∫

∫ d r dθ

∫∫ y ρ ( x, y) dA R

m = 2k

(

)

• Momento alrededor del eje Y es:

3 − π /3

My =

Rosa Ñique Alvarez

CENTRO DE MASA x=

My 1 = ∫∫ x ρ ( x, y) dA m m R

y=

Mx 1 = ∫∫ y ρ ( x, y) dA m m R

Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

33

(x , y )

∫∫R x ρ (x, y) dA 34

EJEMPLO 7 Una lámina ocupa la región dentro del círculo x2 + y2 = 2y pero fuera del círculo x2 + y2 = 1. Determine el centro masa si la densidad en cualquier punto es inversamente proporcional a su distancia al origen.

35

Rosa Ñique Alvarez

36

6 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

SOLUCION

SOLUCION 1

M x = k ∫∫ y R

5

π 6 2 senθ

Mx =k ∫

∫

π 6

dA

x + y2 2

1

1

M y = k ∫∫ x

r senθ r dr dθ r

x2 + y2

R

=0

Mx = k 3 Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

37

Solución x=

38

r = 2 senθ

My =0 m 

(x, y ) =  0 , 

y=

;

Mx 3 = m 2 3 − π /3

3 2 3 − π /3

(

(

)

)

π /6

5π / 6

   

Rosa Ñique Alvarez

Rosa Ñique Alvarez

39

Ejemplo 8

40

Solución

Determine las coordenadas del centro de masa de una lámina formada por la parábola x = y2 y la recta y = x - 2, si la densidad en cualquier punto de la lámina es ρ(x, y) = 3.

Rosa Ñique Alvarez

Mx =

∫∫ y ρ ( x, y ) dA R

2

y +2

−1

y2

Mx = ∫

41

∫ 3 y dx dy =

Rosa Ñique Alvarez

27 4

42

7 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

CALCULO VECTORIAL

Solución My =

Solución

∫∫ x ρ ( x, y ) dA

x=

R

My =

2

y +2

−1

y2

∫ ∫ 3 x dx dy =

108 5

My 8 = , m 5

y=

Mx 1 = m 2

(x , y ) =  85 , 12  

Rosa Ñique Alvarez

43



Rosa Ñique Alvarez

44

CARGA ELECTRICA Q DE R

2

1.5

DENSIDAD CARGA : σ ( x, y ) en ( x, y) ∈ R

1

0.5

(8/5,1/2)

Q=

0

-0.5

R

-1

.

∫∫ σ ( x, y) dA R

(x, y)

-1.5

-2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Rosa Ñique Alvarez

3

3.5

4

45

Rosa Ñique Alvarez

46

EJEMPLO 9 Una carga eléctrica está distribuida sobre el disco unitario x2 + y2 ≤ 1de modo que la densidad de carga en (x, y) es σ ( x, y ) =1 + x 2 + y 2

(medida en coulombs por metro cuadrado). Calcule la carga total sobre el disco.

Rosa Ñique Alvarez

47

8 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com...