Solucionari mates 2 bat tecnolc 3b2gic PDF

Preview

Summary

Solucionari de matematiques per a alumnes de segon de batxillerat...

Description

S OLU CION ARI

MATEMÀTIQUES

2 Autors del llibre de l’alumne Àngela Jané Jordi Besora Josep M. Guiteras Revisió tècnica Antoni Giménez

BARCELONA - MADRID - BUENOS AIRES - CARACAS GUATEMALA - LISBOA - MÈXIC - NOVA YORK PANAMÀ - SAN JUAN - BOGOTÀ - SÃO PAULO AUCKLAND - HAMBURG - LONDRES - MILÀ - MONT-REAL NOVA DELHI - PARÍS - SAN FRANCISCO - SYDNEY - SINGAPUR SAINT LOUIS - TÒQUIO - TORONTO

Matemàtiques 2 · Batxillerat · Solucionari No és permesa la reproducció total o parcial d’aquest llibre, ni el seu tractament informàtic, ni la transmissió de cap forma o per qualsevol mitjà, ja sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o d’altres mitjans. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necessiteu fotocopiar o escanejar algun fragment d’aquesta obra. Drets reservats © 2009, respecte a la primera edició en català per: McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U. Edificio Valrealty, 1.ª planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 978-84-481-7026-4 Depósito legal: Editora de projecte: Alícia Almonacid Tècnic editorial: Conrad Agustí Disseny de coberta: Quin Team! Disseny d’interiors: McGraw-Hill Il·lustracions: Jordi Soto Composició: Servei Gràfic NJR, S.L. IMPRÈS A - PRINTED IN

ÍNDEX

Guies didàctiques interactives McGraw-Hill ........................................................

Bloc 2. Matrius i sistemes 4

Unitat 0. Comencem Activitats finals ....................................................

3

Unitat 6. Vectors a l’espai Activitats ..........................................................

9

94

Activitats finals .................................................. 101 Avaluació .......................................................... 104

Bloc 1. Funcions

Unitat 7. Matrius i determinants

Unitat 1. Derivades

Activitats .......................................................... 105

Activitats ............................................................

14

Activitats finals ..................................................

Activitats finals .................................................. 113

27

Avaluació .......................................................... 114

Avaluació ..........................................................

32

Unitat 2. Funcions contínues i derivables

Unitat 8. Sistemes d’equacions Activitats .......................................................... 115

Activitats ..........................................................

33

Activitats finals ..................................................

Activitats finals .................................................. 121

36

Avaluació .......................................................... 125

Avaluació ..........................................................

40

Bloc 3. Geometria

Unitat 3. Aplicacions de la derivada Activitats ..........................................................

41

Unitat 9. Equacions de rectes i plans

Activitats finals ..................................................

50

Activitats .......................................................... 126

Avaluació ..........................................................

61

Activitats finals .................................................. 129 Avaluació .......................................................... 132

Unitat 4. Primitives Activitats ..........................................................

63

Unitat 10. Posició relativa de rectes i plans

Activitats finals ..................................................

74

Activitats .......................................................... 133

Avaluació ..........................................................

82

Activitats finals .................................................. 138 Avaluació .......................................................... 142

Unitat 5. La integral Activitats ..........................................................

83

Unitat 11. Distàncies i angles

Activitats finals ..................................................

87

Activitats .......................................................... 144

Avaluació ..........................................................

92

Activitats finals .................................................. 153 Avaluació .......................................................... 160

4

GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

j Guies didàctiques interactives McGraw-Hill A fi de facilitar-vos la tasca docent, hem complementat l’oferta del nostre llibre de Matemàtiques 2 amb una guia didàctica interactiva, que estem convençuts que us serà de gran ajut. A continuació us en presentem els trets principals, tot i que, sens dubte, serà a mesura que l’aneu fent servir que en descobrireu totes les potencialitats. A més, incorpora una adreça de correu electrònic, on ens podeu fer arribar les vostres observacions i suggeriments. Com veureu, és fàcil de fer anar, molt visual i intuïtiva, i no requereix cap mena d’instal·lació prèvia. McGraw-Hill, avui, com sempre, qualitat al servei de l’educador. Menú amb les accions disponibles per als professors

Continguts addicionals

A la pantalla principal apareix la barra de menú amb les opcions de navegació i de visualització de les guies digitals. El vídeo de presentació explica com s’ha de treballar amb les guies didàctiques interactives de McGraw-Hill. Prement en els ítems de l’índex de continguts podeu accedir a material genèric de la matèria amb més informació i activitats extres.

GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

Opció de cerca

El menú us mostra totes les opcions genèriques per navegar dins de les guies i per visualitzar les pàgines i els continguts. Pàgina anterior: prement aquest botó podeu navegar fins la pàgina anterior. Pàgina següent: amb aquesta opció podeu avançar fi ns a la pàgina següent. Inici de la guia: prement aquesta opció podeu anar al començament de la guia. Fi de la guia: podeu navegar fi ns a la darrera pàgina de la guia. Opció de lectura recoman da: permet ampliar el text i les imatges de la pàgina que s’està llegint. Opció cerca ràpida: aquesta opció us mostra en versió reduïda totes les pàgines de la guia. Cerca: us serveix per cercar paraules dins del text de la publicació. Ajuda: en qualsevol moment podeu visualitzar l’ajuda per fer servir adequadament la guia digital. Índex de continguts: l’índex de continguts està sempre accessible per navegar pels continguts addicionals més ràpidament.

5

6

GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

GUIES DIDÀCTIQUES INTERACTIVES MCGRAW-HILL

visualització

Visualització de doble pàgina:

Opció de lectura recomanada:

L’ús d’aquestes guies interactives no requereix cap instal·lació especial, ja que funcionen amb el navegador d’Internet. Tot i que no és necessari estar connectat a la Xarxa per fer-les anar, sí que hi ha continguts, com l’accés a pàgines web, que només es podran aprofitar al 100% si s’està on-line. La major part d’equips ja incorporen el Flash Player, però si no fos el vostre cas, us el podeu descarregar gratuïtament des del web d’Adobe.

7

MATEMÀTIQUES 2

j Unitat 0. Comencem

d)

Activitats finals 1. Calcula: a) e) b) f) c) g)

d)

2. Expressa de la manera més senzilla possible el resultat de les operacions següents:

h)

a) 7

i)

b)

·

c) ·

a) 2 . A(x) Multipliquem els coeficients per 2:

d)

3. Expressa en forma d’una sola arrel: a) c) A(x) : B(x) b)

c)

0

9

0

10

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

Apliquem la regla de Ruffini. Com que B(x) no té terme de grau dos, en el seu lloc hi posem un zero. El primer nombre de la el terme independent del binomi. El quocient queda determinat El residu és 2.

8. Calcula:

1 x 1

5. Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan que sigui possible.

x x

x2 1 x2 1

1 1

(x 1 )(x 1 ) x2 1

(x

)(x ) x 1 2

x2 1 x2 1

x2 1 x2 1

Per Ruffini: 9. Donades les fraccions algèbriques següents: A(x)

i B(x)

calcula: A(x) . B(x), A(x) : B(x) i B(x) : A(x). Residu: 9

Per Ruffini:

Residu: 2 6. Factoritza els polinomis següents:

10. Resol els sistemes d’equacions lineals següents pel mètode que s’indica: a)

per reducció.

Multipliquem la primera equació per 2. D’aquesta manera, la x tindrà el mateix coeficient en les dues equacions:

7. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis: Restem les dues equacions per reduir-ne el nombre d’incògnites:

MATEMÀTIQUES 2

Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions (per exemple, en la primera) per trobar el valor de l’altra incògnita.

per substitució.

Aïllem una incògnita d’una de les equacions, per exemple la y de la segona equació:

a) Substituïm en la segona, i resolem l’equació:

Resolem la equació que apareix, que té una única incògnita: b) Substituïm aquest valor en la igualtat en la qual hem aïllat la incògnita y:

c)

11

Substituïm aquest valor en qualsevol equació en la qual la x estigui aïllada, per exemple en la primera:

11. Resol els sistemes d’equacions següents: b)

0

per igualació.

Aïllem una mateixa incògnita de les dues equacions, per exemple la x: Substituïm en l’equació aïllada:

Igualem els membres de la dreta de les equacions: c) Per reducció. Restem les dues equacions: Resolem l’equació que apareix, que té una única incògnita:

Resolem l’equació:

0

12

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

Arribem a una identitat, per la qual cosa les dues equacions són 14. Determina el domini de cadascuna de les funcions següents: equivalents (gairebé són la mateixa). El sistema és compatible indeterminat: té infinites solucions. Si aïllem una de les incògnites d’una equació obtindrem una fórmula per trobar totes les solucions. Per exemple, la x de la primera equació:

Per a cada valor de y tindrem una solució del sistema. Exemples:

solució? zero:

a) Troba les funcions: ( f ( té una solució única?

,

13. Sense resoldre’ls, classifica els sistemes següents: a)

b)

c)

2x y 3 4x 2y 4

1 2

3 6

05

05

05

2x y 3 4x 2y 6

6

)( )

g )(x ) .

f g

x

MATEMÀTIQUES 2

b) Troba el domini d’aquestes funcions.

0

13

1

14

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

j Bloc 1. Funcions j Unitat 1. Derivades Activitats la variació mitjana a cadascun dels intervals següents: [ 3, 1], [0, 2] i [5, 7]. En quin dels tres intervals té un creixement més ràpid?

Quantifica aquest decreixement calculant

.

Interpreta’n el resultat obtingut.

[5, 7].

Per a valors de x pròxims a 4, la funció f(x) disminueix de l’ordre de dues vegades el que augmenta x.

mitjana sempre és la mateixa, independentment de l’interval [x1, x2] considerat. Fixa’t en la gràfica de la funció i interpreta el resultat que has obtingut.

En qualsevol interval [x1, x2] la variació mitjana de la funció és 3.

sevol interval [x1, x2]? Val zero, ja que es tracta d’una funció constant.

3

terval [2,9, 3,1]. Creix o decreix aquesta funció al voltant de

Fes-ne la representació gràfica i comprova després la teva resposta.

MATEMÀTIQUES 2

és a dir, presenta un decreixement uniforme. En general,

1

15

ció. f x

x

independentment del valor x0 considerat.

dica’n, a partir de la gràfica, els intervals de creixement i

9. Calcula, si és possible:

f ]1 h g f (1) h 2 ] g 1 2 ] 1 hg 4 3 h lim0 h" h 2 lim0 1 2h h 2 2h 4 3 h" h 2 h lim lim h 0 h" 0 h h" 0

fl(1) lim h 0

11. Sense fer-ne la representació gràfica, indica si la funció

16

1

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

14. Troba l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció

12. Com ha de ser una funció perquè la derivada sigui nul·la en tots i cadascun dels punts del seu domini? Per què? una funció és constant, la seva variació és zero per a qualsevol

13. Calcula, si és possible:

ca d’aquesta funció la recta tangent és paral·lela a la recta Es tracta de buscar els valors de x per als quals es compleix que

x

16. Dibuixa la recta tangent a la corba representada a la gràfica

1

MATEMÀTIQUES 2

17

a) Quin és el signe del pendent de cadascuna d’aquestes 19. Esbrina quins són els punts de la gràfica de la funció tangents? cisses.

Per tant, es tracta de trobar quins són els valors de x que com-

17. A partir de la gràfica, fes una estimació dels valors de f’(2),

xent en tots els punts del seu domini.

x

és decrei-

a) Calcula b i c. Es compleix:

b) Representa-la gràficament i verifica el resultat de la teva resposta.

h’(0)

0,4

de la seva gràfica la recta tangent forma un angle de 45º amb el sentit positiu de l’eix X. Aquesta funció, és creixent 22. Les gràfiques de les funcions polinòmiques de segon o decreixent en aquest punt? Per què? nim. Demostra que es troba localitzat en el punt d’abscissa 2a

.

de la funció presenta sempre tangent horitzontal. 2a

1

18

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

23. Digues en quins punts no són derivables cadascuna de les 25. Donada la funció: funcions següents i indica’n en cada cas el motiu: x2 lim lim

3

, perquè no pertany al Dh. 5

24. Representa gràficament la funció:

26. La funció:

finida a trossos:

La gràfica de la funció es pot obtenir fàcilment a partir de la de les dues funcions. Estudia la continuïtat i la derivabilitat

10

y = x2 − 6x + 8 8

6

4

2

2

2

4

6

8

10

MATEMÀTIQUES 2

Calcula b.

ficament i indica raonadament en quin punt no és derivable.

30. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

1

19

20

1

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

diferents: a) Aplicant la definició de funció derivada.

31. Sense fer-ne la representació gràfica, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció b) A partir de la segona regla que acabem de veure.

34. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

MATEMÀTIQUES 2

(4 ) f (16 )

1 2

1 2

21

anul.la el denominador de la funció f’(x).

Interpreta’n els resultats obtinguts. ( )

1

1

40. Calcula la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

2

1 4 1 8

De fet, la funció és decreixent en tot el seu domini, excepte en

la funció és creixent o decreixent en aquests dos punts, i en cas que hi presenti el mateix tipus de variació, digues on és més ràpida aquesta variació.

41. Per a quins valors de x s’anul·la la derivada de la funció

37. Pot decréixer en algun punt la funció de l’activitat anterior? Per què? 42. Demostra que la derivada de la funció polinòmica de segon nent al vèrtex de la paràbola que en resulta de representarla gràficament.

xent en tots els punts del seu domini.

per a qualsevol valor de x real i diferent de zero. Cal tenir en 43. Quina és l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció 39. Troba la funció derivada de la funció f ( x )

f x

x

x3

f x

1 x 3

2 3

1 3

3 x2

3

x

Els punts són (0, 0) i (6, 0).

22

1

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

punt

Punt (0, 0):

, la recta tangent té

47. Determina l’equació de la recta perpendicular a la recta tan-

Punt (6, 0):

recta s’anomena recta normal a la gràfica de la funció en aquest punt. 44. Troba l’equació d’una funció f(x) que tingui per derivada la funció f’(x) representada en la gràfica. Pots trobar-ne més d’una? Per què?

1 2 Equació de la normal:

Compleixen la condició que s’estableix a l’enunciat totes les fun-

tingui recta tangent paral·lela a la bisectriu del primer quadrant i del tercer? Si la resposta és afirmativa, troba l’equació d’aquesta recta tangent.

45. Troba la funció derivada de cadascuna de les funcions següents:

ln2

ln2

x x2

x

ln2

x

~ (1,44, 0,53)

El punt és Equació de la recta tangent:

tenir ni màxims ni mínims. x

real de x: 1

no s’anul·la per a cap valor

A

paral·lela a l’eix OX. Escriu les equacions d’aquestes rectes tangents.

50. Calcula la derivada de les funcions següents: a) f (x)

3

1 x2

1

MATEMÀTIQUES 2

23

Equació de la recta tangent:

cos x

53. Indica per a quins valors de x és creixent la funció Té la gràfica d’aquesta funció algun punt en el qual la recta tangent tingui pendent nul? Si la resposta és afirmativa, de quin punt es tracta? x

La recta tangent a la gràfica de la funció té pendent nul·la en el punt (0, 0). 54. Calcula la funció derivada de les funcions següents:

x

x

x

sin x

x

sin2 x

sin2 x

preta’n el resultat obtingut.

52. Troba l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció

( )

(cos – sin )(1 – sin ) – (sin (1 sin x)2 cos x – sin x 1 ( 1 sin x)

cos ) (– cos x )

1

24

SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE

55. Utilitzant la derivada logarítmica, demostra que la derivada k

g(x) cos 3x ( )

g(x)

5

3 sin3 cos2 3 x

3 tg3x cos 3x Per tant:

x

2

g(x) x
...