25 Extremos Resumen-2 - mates algebra PDF

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C´ alculo de extremos. Resumen y ejemplos (01.03.2018) ◦

Sea f : D → R, D ⊂ Rn , f ∈ C 2 . Buscamos sus extremos en D, interior del dominio. 1.- Condici´ on necesaria. Al ser el conjunto abierto y f diferenciable, sus extremos est´an en puntos que cumplan la condici´on de gradiente nulo. Entonces los posibles extremos (puntos cr´ıticos) vienen dados por las soluciones de la ecuaci´on ~ f = ~0 ∇ 2.- Condici´ on suficiente. Para saber qu´e puntos cr´ıticos son extremos, el primer paso es determinar de qu´e tipo es la forma cuadr´atica d2 f en ellos. Sabemos que: - Si es definida, se trata de un m´ınimo (positiva) o de un m´aximo (negativa). - Si es indefinida, no hay m´aximo ni m´ınimo (punto de silla). - Si es semidefinida, solo sabemos que no puede haber m´aximo (si es SD positiva) o no puede haber m´ınimo (si es SD negativa). As´ı pues, seguimos los pasos siguientes: a) ¿Es H definida? Se averigua aplicando el criterio de Sylvester. Entonces si es definida positiva, existe un m´ınimo. Si es definida negativa, un m´ aximo. b) Si H no es definida, estudiando su determinante tenemos dos casos: b.1. |H| = 6 0 . Como |H| = |C|2 |D|, resulta que |D| = d1 d2 · · · 6= 0, lo que significa que ning´ un di es nulo, con lo que tendr´an signos iguales o distintos. Si tuvieran igual signo, H ser´ıa definida, cosa que no ocurre. Entonces han de existir di ≷ 0, por lo que H es indefinida y tenemos un punto de silla. b.2. |H| = 0 . Entonces |D| = 0 por lo que los di pueden ser ≥ 0, ≤ 0 o´ ⋚ 0 (alguno ha de ser nulo), por lo que H puede ser semidefinida o indefinida. En estos casos se puede conocer el tipo diagonalizando por congruencia. En el caso particular n = 2, s´olo existen dos di , de los que al menos uno es nulo. No puede entonces ser indefinida, por lo que ser´a semidefinida. c) Casos dudosos (H semidefinida): para solucionarlos podemos probar distintas direcciones de alejamiento desde el punto ~a. Si en una direcci´on la funci´on crece pero en otra decrece, se trata de un punto de silla. Lo mismo ocurre si, en la misma direcci´on, crece en un sentido y decrece en el otro. En el caso n = 2, podemos movernos desde (a, b) paralelamente a los ejes, a las bisectrices y = x, y = −x, etc. 3.- Ejemplos. a) f (x, y) = x2 + y 2 + xy − x − 2y.

Aplicando  on necesaria, resulta el punto cr´ıtico P(0,1). La matriz hessiana es  la condici´ 2 1 , definida positiva (Sylvester), luego se trata de un m´ınimo. H(0,1) = 1 2 b) f (x, y) = xy + x − y − 1.

Aplicando la condici´  on necesaria, resulta el punto cr´ıtico P(1,–1). La matriz hessiana es 0 1 . En este caso H no es definida (Sylvester). Como |H| = 6 0, resulta que H(1,−1) = 1 0 H es indefinida, por lo que tenemos un punto de silla. C´ alculo Infinitesimal 2. ETSI Caminos. A Coru˜ na

√ c) f (x, y) = R2 − x2 . Aplicando C.N. =⇒ P(0,y) (son cr´ıticos todos los puntos del eje Y ). En todos ellos,  1 la  0 −R =⇒ |H| = 0 =⇒ H semidefinida (n = 2) =⇒ caso dudoso. H= 0 0 1 Para solucionarlo consideramos la diferencial segunda d2 f = − dx2 ≤ 0, que toma valor R negativo ∀ dx 6= 0. Luego el valor de f disminuye si nos movemos, desde los puntos (0, y) en cualquier direcci´on, salvo la dada por dx = 0. Pero dx = 0 corresponde al eje Y , donde el valor de la funci´on es constante. Es decir, en todo punto (0, y) existe un m´aximo en sentido amplio, de valor z = R. Lo vemos gr´aficamente escribiendo la ecuaci´on en la forma z 2 + x2 = R2 , que corresponde a un cilindro de radio R y eje horizontal (el eje OY ). La expresi´on del enunciado corresponde a la parte del cilindro sobre el plano XY (z ≥ 0). d) f (x, y) = y 3 − x2 − 2x − 1. Aplicando la C.N. =⇒ P(−1, 0). H(−1,0)

  −2 0 . La matriz H, diagonal, es semidefi= 0 0

nida negativa (caso dudoso). Para resolverlo podemos –como en c)–observar que d2 f = −2dx2 . Esto nos indica que el valor de f disminuye al movernos en cualquier direcci´on, salvo la del eje Y . Estudiando este caso (variaci´on s´olo de la y), comprobamos que f crece si ∆y > 0 y decrece si ∆y < 0, por lo que es un punto de silla. Otra opci´on es movernos en distintas direcciones a partir de P(−1, 0), donde f es nula: por ejemplo en las de los ejes, incrementando alternativamente x e y en un valor ∆. Resulta: d.1. En cualquier punto de coordenadas (−1 + ∆, 0), la funci´on toma el valor −∆2 , luego decrece, a partir de su valor en P, independientemente del signo de ∆. d.2. En cualquier punto de coordenadas (−1, ∆), la funci´on vale ∆3 . Es decir, crece si nos movemos desde P en el sentido positivo del eje Y (∆ > 0) y decrece en caso contrario. Concluimos que, en P(−1, 0), f no tiene m´aximo ni m´ınimo (punto de silla). e) f (x, y, z) = 3x2 − 6x + y 4 − z 4 . Aplicando la C.N. =⇒ P(1,0,0). H(1,0,0)

 6 0 0 =  0 0 0 . 0 0 0 

H es semidefinida positiva (caso dudoso) y la diferencial segunda vale d2 f = 6dx2 , por lo que la funci´on crecer´a siempre que dx 6= 0. Si en cambio nos movemos a partir de P , paralelamente al plano Y Z (dx = 0), la diferencial segunda vale 0. Para identificar el tipo de extremo, nos movemos paralelamente a dicho plano a partir de P, modificando el valor de una de las variables y, z cada vez: e.1. Valor de f en P: f (1, 0, 0) = −3.

e.2. Incrementamos y: f (1, ∆, 0) = −3 + ∆4 =⇒ ∆f = ∆4 , luego f crece.

e.3. Incrementamos z: f (1, 0, ∆) = −3 − ∆4 =⇒ ∆f = −∆4 , luego f decrece. Se trata, entonces, de un punto de silla. No hemos probado a modificar el valor de la x, pues, como se ha dicho, la funci´ on crecer´a siempre que dx 6= 0 (compru´ebese).

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