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FACULTAD DE INGENIERIACurso: Cálculo 1####### SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N°Semana N°12 : Integración por sustitución algebraicaI. Usando el método de sustitución algebraica halle las siguientes integrales: a  bxdxSolución:bdu u  a  bx  du  bdx  dx a bx C b####### Cubu du b bdu a bxdx u    ...

Description

FACULTAD DE INGENIERIA Curso: Cálculo 1

SOLUCIÓN HOJA DE TRABAJO N°12 Semana N°12: Integración por sustitución algebraica I.

Usando el método de sustitución algebraica halle las siguientes integrales: 1.



a  bx dx

Solución:

u  a  bx  du  bdx  dx 

 2.

x

a  bx dx   u

du b

1  u3 / 2  2 du 1 1/ 2   C  (a  bx )3 / 2  C   u du   b b b  3/ 2  3b

2  x 2 dx

Solución:

u  2  x2  du  2 xdx  dx  2  x 2  x dx   x u

3.

x

du 2x

du 1 1/ 2  u du  2x 2 

1 u 3/ 2  1   C  (2  x 2 )3 / 2  C  2  3/ 2  3

2 x  1dx

Solución:

u  2 x  1  du  2dx  dx 

x

4.

u 1 du . Además x  2 2

u 1 du 1 1   ( u 1) u1 / 2 du   ( u 3 / 2  u1 / 2 ) du u 2 2 4 4 5/ 2 3/ 2 1 u 1 1 u    C  2 x  15 / 2  2 x  13 / 2  C    4  5 / 2 3/ 2  10 6

2 x  1dx  

x

 ( x 1)

2

dx

Solución:

u  x  1  du  dx. Además x  u 1

1

Integración por sustitución algebraica

u1 1  u 1     2  2 du     u 2 du 2 du u u  u u  1 u 1  ln | u |   C  ln | x  1 |  C 1 x 1

x

 ( x 1)

5.

 3x

2

Cálculo 1

dx  

2



3

 1 ex

x

dx

Solución:

u  x3  x  du  (3 x2 1) dx  dx 

 3x 6.

2

1e x

3

x

 ( x  2)sen(x

dx   3x 2 1e u 2

du 3x 2  1

3 du   eu du  eu  C  e x x  C 2 3x  1

 4 x  6)dx

Solución:

u  x 2  4 x  6  du  (2 x  4)dx  dx 

 (x  2)sen (x

7.

2

du 2( x  2)

du 1   sen(u )du 2( x  2) 2 1 1   cos(u )  C   cos( x2  4 x  6)  C 2 2

 4x  6)dx   ( x  2)sen (u )

x

 3 4 3x dx Solución:

u  4  3 x  du  3dx  dx 



x 3

4  3x

dx  

4 u du . Además x  3 3

4  u 1 du 1  4  u 1     1/ 3  du    4u 1/ 3  u 2 / 3 du 3 3 9 u  9 u 3





1  u2 / 3 u5 / 3  2 1   C   (4  3 x) 2 / 3  (4  3 x)5 / 3  C   4   9  2/3 5/3  3 15

8.



x2  1 x3  3 x

dx

Solución:

u  x3  3x  du  (3x 2  3) dx  dx 

du 3(x 2  1)

2

Integración por sustitución algebraica

x2  1



x3  3 x

dx   

Cálculo 1

x 2 1 du 1 1 / 2 1 u1 / 2 u du   C 3 1/ 2 u 3(x 2  1) 3 

2 3 ( x  3x )1 / 2  C 3

3

1  1 9.  x 2 1  x  dx Solución:

u  1

 10.

1 1  du  2 dx  dx  x 2du x x 3

3

u4 1  1 1 1 1 3 2 3 1      C  1    C   dx u x du u du   2 2   x x 4 4 x  x

x

1/ 3

(x 2 / 3  1) 3 dx

Solución:

u  x 2 / 31  du 

x

1/ 3

2 1/ 3 3 x dx  dx  x 1/ 3du . Además x 2 / 3  u  1 3 2

3 1/ 3 3 3 x du   x2 / 3 u 3 du   (u 1) u 3 du 2 2 2 1 2 u  3 u 3 C   (u  2  u  3 )du    2  1  2  2

  ( x2 / 3  1) 3 dx   x1/ 3 ( u) 3

3 3   ( x 2 / 3  1) 1  (x 2 / 3  1)2  C 2 4 11.

1

 x ln x 

3

dx

Solución:

u  ln x  du 

 12.

1 dx  dx  xdu x

u 2 1 1 1 3 dx xdu u du C   C    3 3   2 2 2 ln  x u  x x ln x 

(2 ln x  1) dx 2 x  ln x)

 x (ln

3

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

Solución:

xdu 1 1  u  ln 2 x  ln x  du   2(ln x )   dx  dx  x x 2 ln x  1 

(2 ln x  1) (2 ln x  1) xdu du dx    ln | u | C 2 x  ln x) x (u ) 2 lnx  1 u

 x (ln

 ln | ln 2 x  ln x | C

13.



3

1  ln x dx x

Solución:

u  1  ln x  du 

 14.

3

1 ln x dx  x 1  senx

  x  cos x

2



1 dx  dx  xdu x

3

u u4 / 3 3  C  (1 ln x ) 4 / 3  C xdu  u 1/ 3du  x 4/3 4

dx

Solución:

u  x  cos x  du  (1 senx)dx  dx 

du 1  senx

u 1 1 senx du 1 1  senx 2 C    C   dx u du   x cos x 2  u  2 1  senx  x cos x 1

15.

e 2x  1  e x dx Solución:

u  1  e x  du  e x dx  dx  e  x du . Además e x  u 1 u 1 ex e 2x  x e 2x  1 du   1   du  u  ln | u |  C e du dx   du    1 e x   u u u  u x x  1  e  ln | 1  e | C

16.

 x cot(x

2

 1)dx 4

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

Solución:

u  x 2  1  du  2 xdx  dx 

 x cot( x

2

 1) dx   x cot( u)

du 2x

du 1 1   cotudu  ln | senu | C 2 2x 2

1 2  ln | sen( x  1) |  C 2

II.

Resuelve los siguientes problemas: 1. VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor V (t ) de una hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de

V '(t ) 

0.4t 3

0.2t 4  8000 dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea. (a) Determine V (t ) (b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años? Solución: (a) El valor V(t) se determina integrando V’(t) con respecto a t:

V (t )  V '(t )dt  

0.4t 3 0.2 t 4 8000

dt

Para integrar, empleamos sustitución

u  0.2 t 4  8000  du  0.8 t 3dt  dt 

du 0.8 t3

Reemplazamos

V (t )  

0.4t3 du 1 1/2 1 u1/2 4 u du    C  0.2t  8000  C 2 1/ 2 u 0.8 t 3 2 

Por dato del problema V=500 cuando t=0, así,

500  V (0) 500  0.2(0)4  8000  C C  410.55 Por tanto, V (t )  0.2t4  8000  410.55 (b) El valor de la tierra dentro de 10 años será

V (10)  0.2(10)4  8000  410.55  510.55 5

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

Respuesta: El valor de una hectárea de tierra cultivable será de $ 510.55

2. CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una tasa de 1 

1

 x  1

2

metros por año. Después de 2 años el árbol

alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando se trasplantó? Solución: La tasa de crecimiento del árbol viene dada por h '( x)  1

1

 x  1

2

Luego, la altura del árbol es

 1  dx  dx  x   h( x)   h'( x) dx   1  2   x 1  ( x  1) 2   Para integrar, empleamos sustitución

u  x 1  du  dx

h( x)  x  

du (u) 2

 x   u2 du  x 

u 1 1  C  x C x 1 1

El valor de C se determina por el hecho de que h(2)  5 . Así,

5  2

Luego h( x)  x 

1 10 C C  2 1 3

1 10  x 1 3

Respuesta: Por tanto, la altura del árbol cuando se trasplantó es

h(0)  0 

1 10 7   m 0 1 3 3

3. INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será R '( x)  50  3.5xe0.01

x2

dólares por unidad, donde R( x) es el

ingreso en dólares. (a) Determine R(x) , suponiendo que

R(0)  0 . (b) ¿Qué

ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

6

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

Solución: (a) El ingreso R(x) se determina integrando R’(x) con respecto a x



2



2

R( x)   R '( x)dx   50  3.5xe0.01x dx  50x  3.5 xe 0.01x dx Para integrar, se emplea sustitución algebraica

u  0.01 x 2  du  0.02 xdx  dx 

du 0.02 x

Reemplazamos 2

R (x )  50x  3.5  xe 0.01x dx  50x  3.5  xeu  50x  175e u  C  50x  175e 0.01x

2

du  50x  175 eu du 0.02 x

C

El valor de C se determina por el hecho de que R(0)=0

0  R (0) 2

0  50(0)  175e 0.01(0)  C C  175 x2

Por tanto R (x )  50x 175e0.01

175

(b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es 2

R(1000)  50(1000)  175e0.01(1000)  175  50175 Respuesta: El ingreso por la venta de 1000 unidades es de 50175 dólares.

4. DEPRECIACIÓN. El valor de reventa de una máquina industrial disminuye a una tasa que depende de su edad. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es

V '(t )  960e t /5 dólares por año. (a) Exprese el valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial (b) Si originalmente la máquina valía $5200¿Cuánto valdrá cuando tenga 10 años? Solución: (a) Integrando tenemos

V (t )  V '(t )dt   960e t /5 dt  4800e t /5  C Del enunciado tenemos V(0)=5200. Entonces 7

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

5200  4800e0  C  C  400  Así V (t )  4800e t  400 /5

(b) V (10)  4800e

2

 400  1049.6

Respuesta: El valor de la máquina dentro de 10 años será de 1049.6 dólares. 5. CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t ) pies, t minutos después del inicio del derrame. El radio crece a una tasa de

21 pies/min . 0.07 t  5 (a) Determine una expresión para el radio R(t ) , suponiendo que R  0 cuando t  0. R '(t ) 

2 (b) (b) ¿Cuál es el área A  R del derrame después de 1 hora?

Solución: (a) El radio R(t) se determina integrando

R (t )   R '(t )dt  

21 dt 0.07 t  5

Empleamos la sustitución u  0.07 t  5  du  0.07 dt  dx 

du 0.07

Obteniendo

R(t) 

21

1 du

du

 0.07t  5dt  21  u 0.07  300  u

 300ln | u | C  300ln | 0.07 t 5| C

El valor de C se determina usando R(0)=0

R (0)  300ln | 0.07(0)  5 | C 0  300ln 5  C C  482.83 Por tanto R (t )  300ln | 0.07t  5| 482.83

(b) La función área es

A (t )   R (t )    300ln(0.07t  5)  482.83  2

2

Así, para t= una hora (60 minutos):

8

Integración por sustitución algebraica

Cálculo 1

A (60)  300ln(0.07(60) 5) 482.83   4144581.89 2

Respuesta: El área del derrame después de una hora es 4144581.89 pies cuadrados. 6. OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por

p '( x ) 

x

 x  3

2

dólares por unidad, donde p( x) es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las x unidades se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad. (a) Determine la función de oferta p ( x ) (precio). (b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar para que se vendan todas las unidades? Solución: (a) Hallamos el precio

p( x)  

x

 x  32

dx

Usando la sustitución u  x  3  du  dx, además x  u  3 . Reemplazamos

p( x)  

u 3

u 

2

3 3 1 3  du     2  du  ln | u | 3 u 2 du  ln | u |   C  ln | x  3 |  C u x3 u u 

Por dato del problema p=2.20 cuando x=5, así

p(5)  2.20 3  C  2.20 5 3  C  2.545

ln | 5 3 |

Por tanto

p (x )  ln | x  3 | 

3  2.545 x 3

(b) para x=10 (10000 unidades) se tiene

p( x)  ln |10  3 | 

3  2.545  5.34 10  3

Respuesta: Para que se vendan todas las 10000 unidades de alimento, el precio debe ser de 5.34 dólares.

9...