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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES(Área de Ingeniería)ASIGNATURA: Cálculo IRESPONSABLE: Equipo de los docentes de cálculo ICICLO: 2020 -IGUÍA DE PRÁCTICA N° 03Tema: Funciones trascendentes y composición de funciones.1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones...

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES (Área de Ingeniería) ASIGNATURA: RESPONSABLE:

Cálculo I Equipo de los docentes de cálculo I

CICLO:

2020-I GUÍA DE PRÁCTICA N° 03

Tema: Funciones trascendentes y composición de funciones. 1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥) = 2 arctan(√1 − 𝑥 2 )

Usamos: 𝑓(𝑎) = √𝑎; 𝑎 ≥ 0 √1 − 𝑥 2 ⇒ 1 − 𝑥 2 ≥ 0

𝑥2 − 1 ≤ 0 𝑥2 ≤ 1

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1

∴ 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = [−1,1]

b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√1 − 𝑥 ) + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑥) Usamos: 𝐷𝑜𝑚(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑎)) = [−1,1] (−1 ≤ √1 − 𝑥 ≤ 1)⋀(−1 ≤ √𝑥) (0 ≤ 1 − 𝑥 ≤ 1)⋀(0 ≤ 𝑥 ≤ 1)

(0 ≥ 𝑥 − 1 ≥ −1)⋀(0 ≤ 𝑥 ≤ 1)

(1 ≥ 𝑥 ≥ 0)⋀(0 ≤ 𝑥 ≤ 1)

𝑥 ∈ [0,1]

∴ 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = [−1,1] c)

𝑓(𝑥) = arccos (

−1 ≤

1−𝑥2 ) 1+𝑥2

1 − 𝑥2 ≤1 1 + 𝑥2

1 − 𝑥2 0 ≤ 1 + 𝑥2 + 1 ≤ 2

0≤

0≤

0≤

1 − 𝑥2 + 1 + 𝑥 2 ≤2 1 + 𝑥2

2 ≤2 1 + 𝑥2 1

1 + 𝑥2

(0 ≤

≤1

1 1 ≤ 1) )⋀( 2 1 + 𝑥2 1+𝑥

(0 ≤ 1 + 𝑥 2 ) ∧ (

(0 ≤ 1 + 𝑥 2 ) ∧ (

1 − 1 ≤ 0) 1 + 𝑥2

1 − 1 − 𝑥2 ≤ 0) 1 + 𝑥2

(0 ≤ 1 + 𝑥 2 ) ∧ (−𝑥 2 ≤ 0) (0 ≤ 1 + 𝑥 2 ) ∧ (𝑥 2 ≥ 0)

𝑥∈ℝ

∴ 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

d) 𝑓(𝑥) = sen ( ) 𝑥 1

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(𝑠𝑒𝑛(𝑎)) = ℝ

Usamos: Inverso multiplicativo: ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃ 𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∗ 𝑥 = 1 1

Usamos: 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜. 0 Entones 𝑥 ≠ 0. 𝑥 ∈ ℝ − {0}

∴ 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

1

1

2.- Graficar las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥) = 2 + cos(𝑥) 1

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(cos(𝑥)) = ℝ

Usamos: 𝑅𝑎𝑛(cos(𝑥)) = [−1,1] −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1

−

1 1 3 ≤ cos(𝑥) + ≤ 2 2 2

1 3

Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝑓 (𝑥)) = [− 2 , ] 2

b) 𝑓(𝑥) = 1 − cos(2𝑥)

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(cos(𝑥)) = ℝ

Usamos: 𝑅𝑎𝑛(cos(𝑥)) = [−1,1] −1 ≤ cos(2𝑥) ≤ 1

1 ≥ − cos(2𝑥) ≥ −1

2 ≥ 1 − cos(2𝑥) ≥ 0

Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) = [0,2]

c) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2 𝑥

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(sen(𝑥)) = ℝ

Usamos: 𝑅𝑎𝑛(sen(𝑥)) = [−1,1]

𝑥 −1 ≤ sen ( ) ≤ 1 2 𝑥 1 ≥ −𝑠𝑒𝑛 ( ) ≥ −1 2 𝑥 3 ≥ 2 − 𝑠𝑒𝑛 ( ) ≥ 1 2

Entonces: 𝑅𝑎𝑛 (𝑓(𝑥)) =[1,3]

d) 𝑓(𝑥) = −2 + 4 cos(𝑥)

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(cos(𝑥)) = ℝ

Usamos: 𝑅𝑎𝑛(cos(𝑥)) = [−1,1] −1 ≤ cos(𝑥) ≤ 1

−4 ≤ 4 cos(𝑥) ≤ 4

−6 ≤ cos(𝑥) ≤ 2

Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝑓 (𝑥)) = [−6,2]

e) 𝑓(𝑥) = −3cos (3𝑥)

Usamos: 𝐷𝑜𝑚(cos(𝑥)) = ℝ

Usamos: 𝑅𝑎𝑛(cos(𝑥)) = [−1,1] −1 ≤ cos(3𝑥) ≤ 1

1 ≥ − cos(3𝑥) ≥ −1

−3 ≤ −3cos(3𝑥) ≤ 3

Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝑓(𝑥)) = [−3,3]

3.- Grafique la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cuando 𝑥 ∈ [−2,2] 2 𝜋

Hallamos el rango:

Si 𝑥 𝜖 [−2,1)

⇒ 𝑓(𝑥) = 0 + 𝑠𝑒𝑛(−2) = −0,034

Si 𝑥 𝜖 [−1,0)

⇒ 𝑓(𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑛(−1) = −1,017

Si 𝑥 𝜖 [0,1)

⇒ 𝑓(𝑥) = 0 + 𝑠𝑒𝑛(0) = 0

Si 𝑥 𝜖 [−1,2)

⇒ 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛(1) = 1,017

Si 𝑥 𝜖 2

⇒ 𝑓(𝑥) = 0 + 𝑠𝑒𝑛(2) = 0,034

4.- Dadas las siguientes funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por: 𝑓(𝑥) = {

1 − 2𝑥 , 𝑥 ∈ [−2, −1 > 4 + cos(𝑥) , 𝑥 ≥ 0

Determinar la suma y esbozar su gráfica.

𝑥2 − 5 , 𝑥 < 0 𝑔(𝑥) = { 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 5, 𝑥 ∈ [0, 𝜋]

𝑓1(𝑥) = 1 − 2𝑥 , 𝑥 ∈ [−2, −1⟩

𝑓2(𝑥) = 4 + cos 𝑥 , 𝑥 ≥ 0

𝑔1(𝑥) = 𝑥 2 − 5 , 𝑥 < 0

𝑔2(𝑥) = sin 𝑥 − 5, 𝑥 ∈ [0, 𝜋]

Calculamos el dominio de las funciones:

𝐷(𝑓1 + 𝑔1 )(𝑥) = 𝑥 ∈ [−2, −1⟩ ∩ 𝑥 < 0 ⇒ 𝑥 ∈ [−2, −1⟩

𝐷(𝑓1 + 𝑔2 )(𝑥) = 𝑥 ∈ [−2, −1⟩ ∩ 𝑥 ∈ [0, 𝜋] ⇒ ∅ 𝐷(𝑓2 + 𝑔1 )(𝑥) = 𝑥 ≥ 0 ∩ 𝑥 < 0 ⇒ ∅

𝐷(𝑓2 + 𝑔2 )(𝑥) = 𝑥 ≥ 0 ∩ 𝑥 ∈ [0, 𝜋] ⇒ 𝑥 ∈ [0, 𝜋] Calculamos (𝑓 + 𝑔)(𝑥): 𝑓(𝑥) = {

𝑥 2 − 2𝑥 − 4, cos 𝑥 + sin 𝑥 − 1,

Graficamos

𝑥 ∈ [−2, 0⟩ 𝑥 ∈ [0, 𝜋]

5.- Demuestra las siguientes identidades:

a) 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)) =

𝑥

√1+𝑥2

Hacemos que 𝛼 = arctan (𝑥); entonces:

tan(𝛼) =

𝐵𝐶 𝑎 = 𝐴𝐶 𝑏

tan(𝛼) = tan(arctan(𝑥)) = 𝑥 = Luego:

𝑎 𝑥 = ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑥 𝑦 𝑏 = 1 𝑏 1 También:

𝑥 1

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ; 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠, 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 ≥ 0

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 ; 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 𝑥 𝑦 𝑏 = 1 𝑐 = √𝑥 2 + 1

Calculamos el 𝑠𝑒𝑛(𝛼):

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =

𝐵𝐶 𝑎 𝑥 ; 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝛼 = arctan (𝑥) = = 𝐴𝐵 𝑐 √𝑥 2 + 1

𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑆𝑒𝑛(arctan(𝑥)); 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑥

𝑠𝑒𝑛(arctan(𝑥)) =

√𝑥 2

∴ 𝑠𝑒𝑛(arctan(𝑥)) =

b) cos(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥)) =

+1 𝑥

√1 + 𝑥 2 1

√1+𝑥2

Usando los datos del problema anterior, calculamos cos(𝛼): cos(𝛼) =

𝐶𝐴 𝑏 1 ; 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝛼 = arctan(𝛼) = = 𝐴𝐵 𝑐 √𝑥 2 + 1

𝑐𝑜𝑠(𝛼) = cos(arctan(𝑥)) ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

cos(arctan(𝑥)) =

1

√𝑥 2

∴ 𝑠𝑒𝑛(arctan(𝑥)) =

c) tan(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) =

+1 1

√1 + 𝑥 2 𝑥

√1−𝑥2

Hacemos 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥); entonces:

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =

𝐵𝐶 𝑎 = 𝐴𝐵 𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑥 = Luego:

𝑎 𝑥 = ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑥 𝑦 𝑐 = 1 𝑐 1

También:

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎2

𝑥 1

𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎 2 ; 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 = 𝑥 𝑦 𝑐 = 1 𝑏 = √1 − 𝑥 2

Calculamos tan(𝛼): tan(𝛼) =

𝑥 𝐵𝐶 𝑎 ; 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) = = 𝐴𝐶 𝑏 √1 − 𝑥 2

tan(𝛼) = tan(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝛼)); 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: tan(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝛼)) =

𝑥

√1 − 𝑥 2

∴ tan(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝛼)) =

𝑥

√1 − 𝑥 2 6.- Trazar la gráfica de siguientes funciones: 3 𝑥

a) 𝑓(𝑥) = ( 4) X

-8

-5

-2

-1

0

1

2

5

8

Y

9.99

4.21

1.78

1.33

1

0.75

0.56

0.24

1

b) 𝑓(𝑥) = (

4 𝑥

3

)

X

-8

-5

-2

-1

0

1

2

5

8

Y

0.1

0.24

0.56

0.75

1

1.33

1.78

4.21

9.99

c) 𝑓(𝑥) = −2−𝑥 X

-2

-1

0

1

2

5

Y

-4

-2

-1

-0.5

-0.25

-0.03

d) 𝑓(𝑥) = −5 + 𝑒 𝑥 X

-5

-2

-1

0

1

2

Y

-4.99

-4.86

-4.63

-4

-2.28

2.39

e) 𝑓(𝑥) = 2 + 𝑒 −𝑥 X

-2

-1

0

1

2

5

Y

9.39

4.72

3

2.37

2.14

2.01

f)

𝑓(𝑥) = 3−𝑥 X

-2

-1

0

1

2

Y

9

3

1

0.33

0.11

7.- Sombrear la gráfica de las siguientes relaciones: a) 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 ≤ 2𝑥 ∧ 𝑦 ≥ 2−𝑥 }

b) 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 ≤ log3 (𝑥) ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9 ∧ 𝑥 > 0 }

c) 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 ≤ 2−𝑥 ∧ 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑥 2 + 𝑦 2 < 4 }

9.- Resuelva las siguientes ecuaciones a) 𝑥 = log1 36 6

1 𝑥 ( ) = 36 6

6−𝑥 = 62 𝑥 = −2

b) ln(𝑥) + ln(𝑥 − 2) = ln (3) ln(𝑥) (𝑥 − 2) = ln(3)

𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0

∴ 𝑥 = 3 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ≠ 1

c) ln(3) + ln(2𝑥 − 1) = ln(4) + ln (𝑥 + 1) ln(3) (2𝑥 − 1) = ln(4) (𝑥 + 1)

3(2𝑥 − 1) = 4(𝑥 + 1)

7 2 1−𝑥 𝑎+𝑏 10. Si 𝑓(𝑥) = log ( ) demostrar que𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑓( ) 𝑥=

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑓(

𝑎+𝑏

𝑎+𝑏 1+𝑎𝑏

=

1−𝑥 𝑎+𝑏 ) , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑓( ) 1+𝑥 1 + 𝑎𝑏

) = 𝑓( 1+𝑥 − 1)

1+𝑎𝑏

𝑎+𝑏 1+𝑎𝑏

1+𝑎𝑏

1+𝑥

2 − 1+𝑥

+1=

1

2

2 1+𝑥

𝑥 = (1+𝑏)(1+𝑎) 1−𝑏

1−𝑎

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑙𝑜𝑔 (1+𝑎) + 𝑙𝑜𝑔 ( 1+𝑏) 1−𝑎

1−𝑎 1−𝑏 ) 1+𝑏

𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑙𝑜𝑔 (1+𝑎)( 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) = 𝑓𝑥)

1−𝑏

11. Si 𝑔 = { (6,7), (5,4), (4,3), (2,3), (1,4), (0,7)} y ℎ = {(0,1), (1,2) , (2,4), (4,3) , (5,2), (6,1)}. Determinar la función 𝑓 tal que ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔. 𝐷𝑜𝑚𝑔 = {6,5,4,2,1,0} 𝑅𝑎𝑛𝑓 = {1,2,3,4}

𝐷𝑜𝑚𝑔 ∩ 𝑅𝑎𝑛𝑓 ≠ 0 → ℎ𝑎𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛

ℎ = 𝑓𝑜𝑔 = {(6, 𝑓(𝑔(6))) ; (5, 𝑓(𝑔(5))) ; (4, 𝑓(𝑔(4))) ; (2, 𝑓(𝑔(2))) ; (1, 𝑓(𝑔(1))) ; (0, 𝑓(𝑔(0)))}

ℎ = 𝑓𝑜𝑔 = {(6, 𝑓(7)); (5, 𝑓(4)); (4, 𝑓(3)); (2, 𝑓(3)); (1, 𝑓(4)); (0, 𝑓(7))}

𝑓(7) = 1, 𝑓(4) = 2, 𝑓(3) = 3, 𝑓(3) = 4, 𝑓(4) = 2, 𝑓(7) = 1

𝑓 = {(7,1); (4,2); (3,3); (3,4); (4,2); (7,1)} ∴ 𝑓 = {(7,1); (4,2); (3,3); (3,4)}

12. Si 𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 1, 𝑔(𝑥 − 1) = 𝑥 + 1. Hallar 𝑚 si 𝑓 ∘ 𝑔 (1) = 𝑚. 𝑓(𝑥 + 1) = 2𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 1

𝑓(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2 + 𝑥 2 + (𝑚 − 2)𝑥 − 2𝑚

𝑓(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2 + (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑚) + 2𝑚

𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥 2 + (𝑥 − 3)(𝑥 + 𝑚 − 1) + 2𝑚 𝑔(𝑥 − 1) = 𝑥 + 1

𝑔(𝑥 − 1) = 𝑥 − 1 + 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)))

𝑓𝑜𝑔(1) = 𝑚 = 𝑓(𝑔(1)) 𝑓𝑜𝑔(1) = 𝑚 = 𝑓(3)

𝑓𝑜𝑔(1) = 𝑚 = 9 + 2𝑚 𝑚 = −9

13. Sean las funciones

Determinar 𝑓 ∘ 𝑔 .

4 − 𝑥2, 𝑥 ≤ 1 𝑥2 − 9 , 𝑥 < 4 𝑓(𝑥) = { 2 , 𝑔(𝑥) = { 2 𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 4 𝑥 + 2, 𝑥 > 1

Hallamos el dominio de 𝑓𝑜𝑔:

❖ 𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔1 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔1/𝑔1(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓1} 𝑥 ∈< −∞, 4 > ∩ 𝑥 2 − 9 ≤ 1

Evaluamos: 𝑥 2 − 9 ≤ 1 𝑥 2 − 10 ≤ 0

(𝑥 − √10)( 𝑥 − √10)≤ 0 𝑥 ∈ [−√10, √10]

𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔1: 𝑥 ∈< −∞, 4 > ∩ 𝑥 ∈ [−√10, √10] 𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔1: [−√10, √10] …(I)

❖ 𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔2 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔2/𝑔2(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓1} 𝑥 ∈ [4, ∞+> ∩ 𝑥2 + 2 ≤ 1

Evaluamos: 𝑥 2 + 2 ≤ 1

𝑥2 + 1 ≤ 0 𝑥∈∅

𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔2: 𝑥 ∈ [4, ∞+> ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑓1𝑜𝑔2: ∅ …(II)

𝑥∈∅

❖ 𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔1 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔1/𝑔1(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓2} 𝑥 ∈< −∞, 4 > ∩

𝑥2 − 9 > 1

Evaluamos: 𝑥 2 − 9 > 1 𝑥 2 − 10 > 0

(𝑥 − √10)( 𝑥 − √10)> 0

𝑥 ∈< −∞, −√10 >∪< √10, ∞+>

𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔1: 𝑥 ∈< −∞, 4 > ∩ 𝑥 ∈< −∞, −√10 >∪< √10, ∞+> 𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔1: < −∞, −√10 >∪< √10, 4 > …(III)

❖ 𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔2 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔2/𝑔2(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓2} 𝑥 ∈ [4, ∞+> ∩ 𝑥2 + 2 > 1 Evaluamos: 𝑥 2 + 2 > 1 𝑥2 + 1 > 0 𝑥∈𝑅

𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔2: 𝑥 ∈ [4, ∞+> ∩ 𝑥 ∈ 𝑅

𝐷𝑜𝑚𝑓2𝑜𝑔2: 𝑥 ∈ [4, ∞+> …(IV) Hallamos las reglas de correspondencia de (I), (III), (IV). El (II) tiene como dominio al vacío, por lo que no se evalúa. 𝑓1𝑜𝑔1 → 𝑓1(𝑔1(𝑥)) → 𝑓1(𝑥 2 − 9) → 4 − (𝑥 2 − 9)2

𝑓2𝑜𝑔1 → 𝑓2(𝑔1(𝑥)) → 𝑓2(𝑥 2 − 9) → (𝑥 2 − 9)2 + 2

𝑓2𝑜𝑔2 → 𝑓2(𝑔2(𝑥)) → 𝑓2(𝑥 2 + 2) → (𝑥 2 + 2)2 + 2

Entonces, la regla de correspondencia de 𝑓𝑜𝑔 es: 4 − (𝑥 2 − 9)2 , ∴ 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = { (𝑥 2 − 9)2 + 2, (𝑥 2 + 2)2 + 2,

𝑠𝑖 𝑥 ∈ [−√10, √10] 𝑠𝑖 𝑥 ∈ < −∞, −√10 >∪< √10, 4 > 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [4, ∞+>

14. Si 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 y 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8. Determinar 𝑔(𝑥).

Primero reducimos 𝑓(𝑥) por Ruffini: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)3

Analizamos 𝑓𝑜𝑔: 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥) + 2)3 = 𝑥 + 2 𝑔(𝑥) + 2 = √𝑥 + 2 3

𝑔(𝑥) = 3√𝑥 + 2 − 2

∴ 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 − 2 3

15. Si 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(√𝑥 2 + 1). Determinar 𝑔(𝑥) si 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1 − 1. Analizamos 𝑓(𝑥) y hacemos un cambio de variable:

𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1 − 1 √𝑥 2 + 1 = 𝛼

𝑓(𝑥) = 𝛼 − 1

Analizamos 𝑔𝑜𝑓(𝑥): 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑔(𝛼 − 1) = 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑔(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 1)

𝑔 (√𝑥 2 + 1) = 𝑠𝑒𝑛(√𝑥 2 + 1 + 1) Resolvemos 𝑦 = √𝑥 2 + 1: 𝑦 = √𝑥 2 + 1

√𝑦 2 − 1 = 𝑥

𝑔(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛√(√𝑦 2 − 1)2 + 1 + 1 𝑔(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛√𝑦 2 − 1 + 1 + 1 𝑔(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛√𝑦 2 + 1 𝑔(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 1

Cambiamos la variable “𝑥” por “𝑦”:

𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

∴ 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

16. La población proyectada P de una ciudad está dada por 𝑃 = 100000𝑒 0.05𝑡 ,

Donde t es el número de años después de 1990. Predecir la población para el año 2010.

Analizamos la cantidad de habitantes que hay en el año 1990; es decir, cuando 𝑡 = 0. 𝑃 = 100000𝑒 0.05𝑡

𝑃 = 100000𝑒 0.05(0)

𝑃 = 100000𝑒 0

𝑃 = 100000(1) 𝑃 = 100000

Podemos ver que la cantidad de habitantes en 1990 es 100000.

Sabemos que de 1990 a 2010 pasaron exactamente 20 años; entonces, 𝑡 = 20. 𝑃 = 100000𝑒 0.05(20) 𝑃 = 100000𝑒 1 𝑃 = 100000𝑒

El valor aproximado de 𝑒 es 2,71828 𝑃 = 100000(2,71828) 𝑃 = 271828

∴ 𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 2010 𝑒𝑠: 271828 aproximadamente.

17. Un elemento radioactivo decae de tal manera que después de 𝑡 días, el número de 𝑁 miligramos presentes este dado por 𝑁 = 100𝑒 −0.062𝑡 .

a) ¿Cuántos miligramos están presentes inicialmente? 𝑡=0 𝐹(0) = 100𝑒 −0.062(0)

𝐹(0) = 100(1) = 100

∴ 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑦 100 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

b) ¿Cuántos miligramos están presentes después de 10 días?

𝐹( 10) = 100𝑒−0.062(10)

𝐹(10) =

100 𝑒 0.62

𝐹(10) = 53.794

∴ 𝐻𝑎𝑦 53.794 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 10 𝑑í𝑎𝑠.

18.- Hay un límite máximo sobre la población de peces en un cierto lago debido a la cantidad de oxígeno, alimentación, etc. Proporcionadas. La población de peces en este lago en el tiempo t, en mes esta dado por la función. 𝑝(𝑡) =

20000

𝑡

200001+24− 4

, 𝑡 ≥ 0.

¿Cuál es el límite máximo de la población de peces? Recordamos que en este caso para maximizar la cantidad de peces debemos minimizar el 𝑡

denominador; entonces, 1 + 24− 4 debe ser mínimo. 𝑡

1 + 24− 4 el valor de t debe tender al infinito para que valor se aproxime a 0 y es así como conseguimos un denominador mínimo. 20000 lim = 20000 1 𝑡→∞ 1+ 𝑡 244 ∴ 𝐸𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 20000

19.- La velocidad de descomposición del ácido dibromoniccinico en disolución acuosa obedece a la ley 𝑐 = 5𝑒 −0.03𝑡 donde 𝑐 es la concentración de ácido en mililitros, que

permanece después de t minutos. Dibujar el grafico de c en función de t y determinar cuánto tarda en descomponerse la mitad de la concentración del ácido.

𝑐 = 5𝑒 −0.03𝑡

2.5 = 5𝑒 −0.03𝑡 1

1)0.03𝑡 = (𝑒

2 𝑒 0.03𝑡 = 2

0.03𝑡 = ln 2

𝑡 = 23.10490

∴ 𝑇𝑎𝑟𝑑𝑎 23.10490 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

20. Un modelo exponencial para la cantidad de sustancia radioactiva remanente en el

instante t esta dado por 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 donde 𝐴0 es la cantidad inicial 𝑘 < 0 es la constante de desintegración.

a) Al inicio estaban presente 200mg de una sustancia radioactiva. Después de 6hrs la masa había decrecido en 3%. Elabore un modelo exponencial para la cantidad de sustancia en desintegración remanente después de t horas. 𝐴(𝑡) = 𝐴0 𝑒 𝑘𝑡 194 = 200𝑒 𝑘6 𝑙𝑛𝑒 6𝑘 = 𝑙𝑛0.97 6𝑘 = -0.03 𝑘 = −0.005 ∴ 𝐴(𝑡) = 200𝑒 −0.005𝑡

b) Encuentre la cantidad remanente después de 24 horas. 𝐴(𝑡) = 200𝑒 −0.005𝑡

𝐴(24) = 200𝑒 −0.005(24) 𝐴(24) = 177.38

∴ 𝐴(𝑡) = 177.38

c) Encuentre el instante en que 𝐴(𝑡) = 0.5𝐴, se denomina vida media. 𝐴(𝑡) = 0.5𝐴

200(𝑒 −0.005𝑡 ) = 100 𝑙𝑛𝑒 −0.005𝑡 = 𝑙𝑛0.5

−0.005𝑡 = ln(0.5)

𝑡 = 138.629436 ≈ 138.63

∴ 𝑡 = 138.63

21. Si un objeto se coloca en un medio (como aire, agua, etc.) que se mantiene a

temperatura constante 𝑇𝑛 y si la temperatura inicial es 𝑇0 entonces la ley de enfriamiento de Newton pronostica que la temperatura del objeto es el instante t esta dado por: 𝑇(𝑡) = 𝑇𝑚 + (𝑇0 − 𝑇𝑚 )𝑒 𝑘𝑡 , 𝑘 < 0.

a) Un pastel se retira de un horno donde la temperatura es de 3500 𝐹 y se coloca en una

cocina donde la temperatura es de 750 𝐹. Un minuto después se mide y la temperatura del pastel es de 3000 𝐹. ¿Cuál es la temperatura del pastel después de 6 minutos?

𝑇𝑜 = 350°𝐹

En el primer minuto

300 = 75 + (275) (ℯ 𝑘 ) 𝟗/𝟏𝟏 = 𝓮𝒌 En el sexto minuto

𝑋 = 75 + (275)𝑒 6𝑘

𝑋 = 157.2173°𝐹

∴ 𝐿𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠: 157.2173°𝐹

b) ¿En qué instante la temperatura del pastel es de 800 𝐹? 80 = 75 + 275(𝑒 𝑘 )𝑡 9 𝑡 1 =( ) 55 11

𝑡 = 𝑙𝑜𝑔9/11 1/55

𝑡 = 20

∴ 𝑡 = 20...