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SOLUCIONARIO DE LA PRACTICA CALIFICADA 01-MPI1. Hallar los puntos de intersección de las curvas p = 2 cosθ y p = 2 senθ 2 cosθ 2 sen⁡θ= 2 senθ 2 cosθ =1=> tanθ=1, θ=π 4p =2 cos π 4= 2 √ 2 2=¿ p = √ 2Punto de intersección####### (√ 2 ;π####### 4 )2. Grafique la siguiente función polar r = 3 se...

Description

SOLUCIONARIO DE LA PRACTICA CALIFICADA 01-MPI2

1. Hallar los puntos de intersección de las curvas 2 cosθ 2 senθ = 2 senθ 2 cosθ p=2 cos

p=2 cosθ y p=2 senθ

π 4

=1=> tanθ=1, θ=

π √2 =2 =¿ p=√ 2 2 4

Punto de intersección

(√ 2; 4π ) 2. Grafique la siguiente función polar r=3 senθ +2 θ

3.

∞

Calcular la integral impropia

I =∫

−∞

dx x + 4 x +9 2

o establecer su divergencia.

Solución: ∞

I =∫

−∞

dx x 2+ 4 x +9

b

=

lim ¿

∫( a

a

→− ∞

dx 2 x+2 ) +5

.

x+2 √5 b ¿|a ¿

= lim ¿

a →−∞

1 arc tan ¿ √5

b →+∞

=

=

1a →−∞ lim ¿ √5 b →+∞

1 √5

b+2 √5 a+2 √5 arc tan(¿)−arc tan ¿ ¿

[ ( )]

( )

π −π π√5 − = 2 5 2

∞

4. Calcular la integral mediante la función gamma

∫ √ x e−8 x dx 3

0 1 3

∞

γ ( x ) =∫ u

u u=8 x → x = 2 3

1

0 −2

1 u6 √ x= √ 2 dx= u 3 dx 6 ∞

∞

∫ √ x e−8 x dx =¿ 3

0

¿

∞

1

∞

1

1

u 6 −u ∫ √ 2 ∗e ∗1 −2 0 u 3 du 6

1 ∫u 2 e−u dx 6 √2 0

−1 −u 1 2 e dx u ¿ ∫ 6 √2 0

I ¿

1 1 √π =√2π ∗γ = 2 6 √ 2 12 6 √2

()

5. Grafica

r=tan θ sec θ

Sol: r=

sin θ 1 cos θ cos θ

r=

sin θ cos 2 θ

2

2

r cos θ=r sin θ

( r cos θ )2=r sin θ 2

x =Y

x−1 −u

e dx

1−sen6 x−cos 6 x ¿ ¿ ¿3 ¿ ¿ ¿

6. Calcular la siguiente integral mediante la función beta

π 2

∫¿ 0

sen 3 3 (¿ ¿ 2 x+cos2 x ) =1 ¿ sen 6 x +cos 6 x +3 sen2 x∗cos2 x=1 sen 6 1 sen x−cos x 3 ¿ ¿ 3 (¿ ¿ 2 x+cos2 x ) =¿ ¿ 6

π 2

∫ sen6 x∗cos6 x dx 0

π 2

1 β (m , n )=∫ cos 2 m−1 x∗ sen2 n−1 x dx 2 0

7 7 ( )γ ( ) 2 1 7 7 2 β , =γ 2 2 2 γ7

2 m−1=6 → m=

5 ∗3 2 ∗1 2 ∗√ π∗5 2 ∗3 2 ∗1 1 2 ∗ ∗√ π 2 2 ¿ 6!

β ( m ; n )=

( )

I=

15 π 256

7. Hallar los puntos de intersección de las curvas

7 2

γ (m )∗ γ (n) γ (m+n)

ϱ=4 ( 1+ senθ ) y ϱ ( 1−senθ )=3

4 ( 1+senθ )=

ϱ=4 (1+ senθ) ϱ=

3 1−senθ

cosθ=±

3 1−senθ

2 1- sen θ=

3 4

→ cos2 θ=

√3 11 π π 5π 7 π ; → θ= ; ; 6 6 6 6 2

( 6π )=6 5π ϱ 2=4 ( 1+sen =6 6 ) 7π ϱ 3=4 ( 1+ sen =2 6 ) 11 π ϱ 3=4 ( 1+sen =2 6 ) ϱ 1= 4 1+sen

( π6 ) , P 2=( 6 ; 56π ) , P3=( 2; 76π ), P 4=(2 ; 116π )

∴ P 1= 6 ;

8. Resolver la siguiente función gamma:

∞

I=

∫ x 4 e−5 x dx 2

0

Cambio de variable: 2

t=5 x

()

x=

t 5

∞

=

dt =10 x

1/ 2

;

( )

∫ ( 5t ) 0

;

1 /2 4

dx=

e−t .

dt 10 x

t 2 √5

−1/ 2

dt

3 4

1

=

2√

∞

2

t −t −1 /2 e t dt ∫ 5 25 0

∞

3

=

1 ∫t 2 e−t dt 50 √ 5 0

=

1 5 1 1 3 1 = .r . . .r 2 2 2 2 50 √ 5 50 √ 5

=

3 1 .r 200 √ 5 2

()

()

()

I=

3 200

√

π 5

=> Como

r

( 12 )= √ π

Rpta

9. Hallar la ecuación cartesiana de centro del lugar geométrico cuya ecuación polar es r=2 senθ

√ x2 + y 2=

2y

√ x 2+ y 2

2 Efectuando: x 2 + y 2=2 y ó x 2+ ( y−1) =1

Ecuación de una circunferencia de centro ( 0 , 1) y radio1

:Rpta

10. Dibujar la curva de ecuación: i)

r=3 sen 2 θ

Intersecciones

Con el eje polar: para

θ=nπ yn ϵ Z , r =0

( 2 n+2 1 )π y n ϵ Z , r=0

Con el eje a 90°: para θ= ii)

Simetrías

−r =3 sen ( π−θ )=3 sen ( 2 π−2 θ )=3 sen (−2 θ)=−3 sen 2 θ



r=3 sen 2 θ Con respecto al eje a 90°:

-

Se reemplazaθ por π −θ ; r=3 sen 2 ( x −θ )=3 sen ( 2 π −2θ ) =3 sen (−2θ ) =−3 sen 2

No cumple Se reemplaza θ por −θ y r por−r : −r =3 sen 2 (−θ )=3 sen ( −2 θ ) =−3 sen 2 θ  r=3 sen 2 θ Existe simetría con respecto al eje a 90° -

Con respecto al polo: Se reemplaza r por –r y se observa que no cumple Se reemplaza

θ por π + θ

r=3 sen 2 ( π +θ) =3 sen (2 π + 2 θ ) =3 sen 2θ Existe simetría con respecto al polo iii)

θ 2θ

Tabulaciones

0 0

15° 30°

30° 60°

45° 90°

60° 120°

75° 150°

90° 180°

sen 2 θ

0

1/2

√3

1

√3

1/2

0

r=3 sen 2 θ

0

3/2

2 2.60

3

2 2.60

3/2

0

iv)

Gráfica:

0

11.

−∞

∫

5 2

−∞

( x 2 +1 )

xdx

∫

0

xdx

I =∫

( x +1) 2

0

∫ b →−∞ lim

b

= 5 2

xdx

( x 2+1) 2

xdx

b

( x 2+ 1 ) 2

5

1 du −1 −2 −1 = u3= ∫ 5 3 3 2 u2 3 ( x 2 +1) 2

xdx = lim 5

( x +1 ) 2

0

∫ b →−∞

= lim 5

2

b → −∞

[

−1 3 ( x +1 ) 2

3 2

]

0 ¿b

2

u=x +1=¿ du=2 xdx

¿ lim

b →−∞

[

−1 + 3

1 3 ( x +1 ) 2

3 2

]

I=

−1 3

12. Hallar las coordenadas cartesianas de P, si sus coordenadas polares son (3;

2π ). 3

(3 ; 23π )= (3 cos 23π ; 3 sen 23π ) =( −32 ; 3 √23 ) entonces : P

( −32; 3 √2 3 )

13. Integrales Impropias ∞

A=∫ 1

sen2 (x) dx ; x>0 2 x

Si: 0 ≤ sen ( x )≤ 1−≫ 0 ≤ sen2 ( x ) ≤ 1; entonces 2

sen (x) 1 ≤ 2 2 x x

0≤

∞

∫ 12 dxconverge ; entonces A converge .

Como x>0 ; si

1

x

( −1n ) −( −11 )=¿ n=lim ¿ 1 n→∞ ¿ ¿ −1 ¿ x

( )

n

1

¿ ∫ x2 dx=¿ nlim →∞ 1

1 dx= lim ¿ n→ ∞ x2 ∞

∫¿ 1

( )

1 −1 +1=1 ; converge dx=¿ lim 2 n n→ ∞ x ∞

∫¿ 1

14. Función Gama: Evaluar:

( −32 ; 3√2 3 )

( x; y ) =

∞

B=∫ 0

Si:

xa dx a>0 ax

x

a =e

t

¿> x ln a=t ¿>x=

t ln a

¿>dx= ∞

B=∫ 0

(

ln a dt dt = 2; 2 ln a ln a

t ln(a)

)

a

∞

−t

e

dt 1 = ∫ ta e−t dt lna (lna)a+ 1 0

∞

r (a+1)=∫ e−t t(a+1)−1 dt 0

B=

1 1 a∗r r = (a ) a +1 a+1 ( a+1) (lna) ( lna )

15. Graficar en polares r ≤ ecosθ−2 cos(4 θ)

16. Determinar los puntos de intersección de las curvas de ecuación r =

2 sen ( θ) y r=

2 cos ( θ) 2 2 cos ( θ) =sen (θ )

cos 2( θ) −sen 2 (θ )=0 cos( 2 θ )=0

Luego:

2θ=nπ +

Por tanto:

impar, y a

nπ π π y θ= + 2 4 2

sen (θ )=sen

( nπ2 + π4 ); expresión quees igual a ±cos π4 =± √22

2 π ± sen =± √ si n es par. 2 4

si n es

±

√2

2 ¿ ¿ 2 r=sen ( θ ) =¿

Dado a n los valores(0,1,2 y 3) π 7π 5π 3π θ 1= ; θ 2= ; θ3= ;θ 4= 4 4 4 4 Los puntos de intersección son cinco:

( 12 , 4π)

El polo,p1=

;p2=

( 12 , 34π )

;p3=

( 12 , 54π )

y p4=

( 12 , 74π )

17. En el sistema polar, se tienen los puntos A(3, π/6) y B(3,π/2). Comprobar que el punto P(3√3/2, π/3) es punto medio del segmento de recta AB en el sistema rectangular.

A(3, π/6)-> x = 3Cos(π/6) -> x= 3(√3/2)= 3√3/2 y = 3Sen(π/6) -> y=3(1/2) = 3/2 B(3, π/2)-> x= 3Cos(π/2) -> x= 3(0) = 0 y = 3Sen(π/2) -> y= 3(1) = 3 P(3√3/2, π/3) -> x = 3√3/2Cos(π/3) -> x = 3√3/4 y = 3√3/2Sen(π/3) -> y = 9/4 A(3√3/2, 3/2)

3 √3 + 0) 3√ 3 2 = X p= 4 2 (

B(0,3)

P(3√3/4, 9/4)

3 ( +3) 2 9 = Y p= 4 2

18. Calcular la integral en función beta 1

√

∫ 0

1−x dx x 1

√

∫ 0

1

√

(1−x )1/ 2 1−x dx=¿ ∫ dx x x1 /2 0

1

∫ x−1 /2∗(1−x )1/ 2 dx 0 1

−1

∫x 2

3 −1 2

−1

∗ (1−x )

0

Г

( )

β dx = β 1 ; 2 2

√π ( 12 ) Г ( 32 ) =¿ √π∗1 π 2 =¿ Г(2)

+∞

19. I =∫ 0

1!

2

3

eπ . x2 ⅆx e 4 x+ π

(Función gamma)

Resolución: +∞

I =∫ 0 +∞

I =∫ 0

3 π

e . x2 ⅆx 4 x+ π e 3 π

∞

3

e .x2 −4 x ⅆx =∫x 2 . e dx 4x π e .e 0

u du →u =4 x → du=4 dx → x= → dx= 4 4 Reemplazando:

∞

∞

3

I =∫ x 2 . e

−4 x

dx →∫

0

I=

0

∞

1

3 2

( ) .e u 4

3 2

−u

∞

.

du 4

3

∫ u . e du= 321 ∫ u 2 . e−u du 3 0 0 4 2 .4 −u

Luego :

α−1=

3 2

;

α=

5 2

Finalmente: ∞

3

()

I=

1 5 1 1 3 τ = ( √π ) ∫ u2 ⋅ⅇ−u du= 32 32 0 2 32 4

I=

3 √π 128

20. Graficar r=3 cos ( 2θ)

Resolución: a) Intersecciones: i)

Con el eje polar

θ=nπ , n ∈ Z



Si n=0,θ=0, r=3 ; (3,0 )



Si n=1, θ=π , r =3 ;( 3 , π )



Si n=2,θ=2 π , r =3 ; ( 3,2 π ) = (3,0 )



Si n=−1,θ=−π , r =3 ; ( 3 ,− π ) = ( 3 , π)

ii)

Con respecto al eje a

π π :θ= +nπ , n ∈ Z 2 2

(

π π Si n=0,θ= , r=−3 ; −3, 2 2 Si n=1, θ=

)

(

3π 3π , r =−3 ; −3, 2 2

)

)( ) −π , r=−3 ; Si n=−1,θ= (−3 ,− π2 ) =( −3, 2π ) 2 Si n=2,θ=

iii)

(

5π 5π 3π ,r =−3 ; −3, = −3, 2 2 2

Con respecto al polo: r=0 Como r=3 cos (2θ )=0 →θ=

π 3π , 4 4

b) Simetría: i)

Con respecto al eje polar:

( r ,θ ) por (r ,−θ )

Si r=3 cos ( 2θ )=3 cos (−2 θ ) →∃simetría

ii)

Con respecto al eje a

π: ( r ,θ ) por( r , π −θ ) 2

Si r=3 cos ( 2θ )=3 cos 2 ( π −θ )=3 cos(θ )→ ∃simetría iii)

Con respecto al polo: ( r ,θ ) por (−r , θ ) o (r , π + θ )

Si r=3 cos ( 2θ )=3 cos 2 ( π +θ )=3 cos(2 θ )→ ∃simetría c) Tabulación:

θ

0

π 12

π 6

π 4

π 3

75°

90°

r

3

3 √3 2

3.5

0

-3.5

−3 √3 2

-3

θ

105°

120°

π 4

135°

150°

165°

r

−3 √3 2

-1.5

0

0

1.5

−3 √3 2

θ

180°

195°

210°

225°

240°

255°

r

3

3 √3 2

1.5

0

-1.5

−3 √3 2

θ

270°

285°

300°

315°

330°

345°

360°

r

-3

−3 √3 2

-1.5

0

1.5

3 √3 2

3

Gráfica:

∞

I=

∫ x 4 e−5 x dx 2

0

I=

3 200

√

π 5

=0.01Rpta...