Solucionario Simulacro DE FC CON 2 PDF

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SIMULACRO DE FUNDAMENTOS DE CÁLCULO Un recipiente que contiene agua. En la base del recipiente hay un agujero por donde hay fuga de agua, lo que causa que el recipiente quede vacío. La función que proporciona el volumen de agua (en litros) que permanece en el recipiente después de “t” minutos está d...

Description

SIMULACRO DE FUNDAMENTOS DE CÁLCULO

1. Un recipiente que contiene agua. En la base del recipiente hay un agujero por donde hay fuga de agua, lo que causa que el recipiente quede vacío. La función que proporciona el volumen de agua (en litros) que permanece en el recipiente después de “t” minutos está dada por la siguiente función:

V( )

(

)

a) Determine V  1 . ¿Qué representa V  1

b) Determine V 1 (30) . ¿Qué representa su respuesta? c) Determine

( ). ¿Qué representa su respuesta?

() √

(

()

) (

(

√

(

√ √

()

() () ()

√

) ) )

El tiempo transcurrido está en función del volumen que queda en el recipiente √

( ) ( )

()

En 10.90 min queda 30 litros de agua en el recipiente.

En 12 min queda vacío el recipiente.

2. En la siguiente función, determine las intersecciones con ejes, asíntotas, y grafique la función.

F(x) =

Asíntota Vertical 5-x=0 Cortes de la función F(x) =

5=x Asíntota Horizontal no existe

X=0

Asíntota oblicua

Y=-3/5

2 5

÷ -1 -2x-9

-1 10

2

9

-2

-9

-3

F(X)=0 0= 𝑥

𝑥

0=(2x-3)(x+1) 3/2=x x=-1

𝑥 𝑥 𝑥

Cortes de la asíntota X=0

y=0

Y=-9

0=-2x-9 2x=-9 X=-9/2

3.

Escalas de temperatura. La relación entre las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) está dada por: ()

a) Encuentre . ¿Qué representa ? b) Determine (86) ¿Qué representa su respuesta?

Invirtiendo las variables:

( )

( )

Significa que cuando tenemos 86ºF equivale a 30ºC

( )

4. Determine de la siguiente función racional:

f(x)

(3 puntos)

x 2  5x  4  2x  3

a) Intersecciones con los ejes X e Y. b) Ecuaciones de las Asíntotas. c) Tabule y bosqueje su gráfica.

5. Un aeroplano privado transporta carga de armamentos militares. Este aeroplano cobra por derecho fijo $ 250 y $ 10 por tm/km (tonelada métrica por kilómetro). a) Halle la función “ f ” que modele el costo de transporte de armamentos militares. b) Encuentre “ f-1 ” ¿Qué representa su respuesta? (1.5 puntos) c) Calcule f-1(550), ¿Qué representa su respuesta? (1.5 puntos) ()

()

()

La cantidad de tm/km esta en función del costo ( )

( )

por el costo es $550 se puede cargar 30 Tm/Km

6. Un misil es lanzado describiendo la siguiente función: ()

Donde x representa la distancia en km y f(x) representa la altura en Km a) ¿Cuál e la altura máxima a la cual es lanzado el misil? (1 punto) b) ¿A que distancia llegara el misil al momento del impacto? (1 punto) ( ) ( )

( )

(

)

a) La altura máxima es 1089 km b) El misil llega a una distancia aproximada de 1890 km

7.

Resuelve la siguiente ecuación y compruebe los resultados ( 2 puntos)

2log(2 x  2)  log(1  (

)

(

)

(

24x )  log100 50 (

)

)

X=12 x=-2

8. El número de bacterias en un cultivo aumentan de acuerdo con la ley de crecimiento exponencial. Después de 4 horas, hay 250 bacterias y después de 7 horas, hay 800 bacterias. a) Encuentre la tasa de crecimiento exponencial. (1 punto) b) Encuentre el número inicial de bacterias (1 punto) c) Determine la cantidad de bacterias que habrá después de 10 horas (1 punto) d) Dentro de cuánto tiempo la cantidad de bacterias llegara bacterias ( 1 punto)

800=250

(

) )

c) d)

2500=

( )

()

)

a ser 2500

Ln(2500/170)/0.3877=7 horas 9. Un cultivo comienza con 3200 bacterias, después de una hora se incrementa en 5000. a) Encuentre una función que modele el número de bacterias n(t) después de t horas (trabajar con aproximación a tres decimales) b) Encuentre el número de bacterias después de dos horas. c) ¿Después de cuantas horas triplica el número de bacterias? () Datos ()

()

(

)

()

a)

() () () El número de bacterias después de dos horas es aproximadamente 7808 c)

b)

El número de bacterias se habrá triplicado aproximadamente en 2,46 horas 10, Un cultivo se inicia con 10 000 bacterias, y su número se duplica cada 40 minutos. a) b) c) d)

Obtenga una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. Determine el número de bacterias después de una hora. ¿Después de cuantos minutos habrá 50 000 bacterias? Trace la gráfica del número de bacterias en el tiempo t.

Solución a)

( )

() r=0.01733

b) v ( )

( )

c)

=92.9

d)

11. Escribe la siguiente función en forma estándar, determina el valor máximo o mínimo y gráfica:

( ) -2x²+3x+2 SOLUCIÒN ()

(

)

El valor máximo es 3.125

La población de la Provincia de Huancayo fue de 495 000 en el 2011 y la tasa de crecimiento relativa observada fue de 1.15 % por año. a) Encuentre una función que modele la población de la Provincia de Huancayo después de t años b) ¿Cuánto es la población en el año 2013? c) ¿En que año la población se duplicara?

2.

12.

De la siguiente función hallar los ceros de función , los cortes o intercepto en los ejes x e y , graficar ()

SOLUCIÓN ()

()

(

() (

) (

)(

)(

)

)

Hallando los ceros de la función

y=-24

13.

De la siguiente función hallar las asíntotas y graficar ()

Asíntota vertical X=-2

x=2

Asíntota horizontal y=1 Hallar los cortes

Y=1 X=-1 X=4

14. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto a la horizontal, tal que su trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática 3 y  5t 2  24t  2 a) Calcula la altura que alcanza la pelota a los 3 seg. de haberla lanzado. b) Calcula la altura máxima (h) que alcanza y en qué instante (t1 ) Solución

( )

( )

( )

) ()

)

()

()

15. Determina el dominio, rango, asíntota y cortes con el eje x de la siguiente función logarítmica. () Solución

16. La población de conejos se comporta de acuerdo al modelo de crecimiento logístico

() a) Determinar cuál es la población inicial. b) ¿Cuál es la población máxima? c) Dibujo la gráfica de la población en el año 5 , 10, 15, 20 Solución

() a) t=0

()

()

()

La población inicial de conejos es 10 000 b) t

()

()

() La población máxima de conejos es 10 500 t

P(t) 10 000 10106 10191 10258 10310

0 5 10 15 20 10500

10000

5

10

15

20

17.

.

18.

Flujo de sangre. Cuando la sangre se mueve por una vena o arteria, su velocidad es mayor a lo largo del eje central y disminuye a medida que se incrementa la distancia desde el eje central (véase la figura). Para una arteria con radio está dada como una función de por. ()

(

)

a) Encuentre . ¿Qué representa b) Determine ( )

?

Respuesta: a)

() √

b) A la distancia de 0.4888 del eje central, la velocidad es de 20.

19.

Una enfermedad infecciosa comienza a dimensionarse en una ciudad pequeña con 10 000 habitantes. Después de t días , el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

() a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente? b) Calcule el número de personas infectadas después de un día, dos días y cinco días. c) Grafique la función d) Si la política es tener estado de cuarentena cuando el 30% de la población se contagia en cuanto tiempo ocurre esta situación?

20. Utilice las propiedades de logaritmos para resolver la siguiente

ecuación y compruebe las respuestas

3log x - log 30 = log log

𝒙𝟑 𝟑𝟎

= log

=

𝒙𝟐 𝟓

𝒙𝟑 𝟑𝟎

𝒙𝟐 𝟓

X=6 21. La empresa de electrodomésticos oferta las refrigeradoras según la función: ()

((

(

)

(

))

()

((

(

)

(

))

Donde “x” es el número de unidades y “p” es el precio por unidad medido en soles. ¿A qué precio la empresa ofrecerá 97 unidades de refrigeradoras? Solución

()

(

((

()

()

)( (

()

(

)

)

()

La empresa ofrece los electrodomésticos a S/. 2498

)

(

)

)

22. Un cultivo comienza con 4000 bacterias, después de 1 hora la cuenta es de 10000. a) Encuentre el número de bacterias después de 4 horas. b) Después de cuantas horas se ha triplicado el número de bacterias. SOLUCIONARIO

A(t )  Pe rt *10000  4000e r1 r  0,9163 a) A(1)  4000e 0,9163.1 A(1)  156256 b)12000  4000e0,9163. t 23.

t  1,1989 años

Utilice las propiedades de logaritmos para resolver la siguiente ecuación y compruebe las respuestas

3log x - log 30 = log log 𝒙𝟑 𝟑𝟎

𝒙𝟑 𝟑𝟎

= log

=

𝒙𝟐 𝟓

X=6

𝒙𝟐 𝟓

24.Utilice las propiedades de logaritmos para resolver la siguiente

ecuación y compruebe las respuestas

log 4 + 2 log (x-3) = log x

25. POBLACIÓN DE VENADOS. En la gráfica se muestra la población de venados en un condado de Pennsylvania entre 1996 y 2000. Suponga que la población crece de forma exponencial. a) ¿Cuál es la población de venados en 1996? b) Encuentre una función que modele la población de venados t años después de 1996. c) ¿Cuál es la población de venados proyectada en 2010? d) ¿En qué año la población de venados llega a 200 000?

Solución

a) En el año 1996 no=20000 b) ( )

c)

(

()

)

( )

d)

)

(

( )

() (

)

Respuesta: 1996+21=217

26.

La población de la Provincia de Huancayo fue de 495 000 en el 2011 y la tasa de crecimiento relativa observada fue de 1.15 % por año. d) Encuentre una función que modele la población de la Provincia de Huancayo después de t años e) ¿Cuánto es la población en el año 2013? f) ¿En que año la población se duplicara? Solución

Datos: n(t)=? n(o)=495 000 r=1.15%=0.0115 a)

b)

()

()

n(t)=50651.69

()

Respuesta : Para el año 2013 la población será aproximadamente de 50652 personas en la Provincia de Huancayo

c)

()

()

t = ln2 0.0115

t=60.27 Respuesta : La población de personas en la Provincia de Huancayo se duplicara aproximadamente dentro de 60 años en el año 2071

27. Una enfermedad infecciosa comienza a dimensionarse en una ciudad con 105 000 habitantes. Después de t días , el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

() e) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente? f) Calcule el número de personas infectadas después de cinco, diez, quince veinte días. Grafique la función ( 1 punto) g) Si la política de la ciudad es tener estado de cuarentena cuando la población llegue al 30% de infectados ¿Cuánto tiempo transcurre para que esta situación ocurra? ( 2 puntos)

Solución

() c) t=0

()

()

()

La población inicial infectada es 525 personas d) t

()

()

()

La población máxima infectada es 52 500 t

P(t) 5 250 6 136.68 7 150.45 8 301.71 11 048.54

0 5 10 15 20

52 500

5 250

5

10

15

20

e) 30%(105 000)= 31 500

()

74.36 Rpta: En aproximadamente 74.36 días la población estará estado de cuarentena

28. Resuelve la siguiente ecuación exponencial

(

)(

)

X=ln2 =2.4849

X=ln3=1.0986 29. Modelo de enfriamiento de Newton: Un objeto que se ha calentando, se enfriará a la temperatura del medio en que se coloca, tal como el aire o el agua circundante. La temperatura T del objeto en el instante t puede modelarse mediante la ecuación:

(04 puntos) kt T (t )  Tm  (To  Tm ) e

para un valor apropiado de k=0.025, donde:

Tm = temperatura del medio circundante, To = temperatura inicial del objeto. Un objeto se calienta a 100°C y después se deja enfriar en un cuarto cuya temperatura del aire es de 30°C. Si la temperatura del objeto es de 80°C después de minutos, ¿en qué momento llegará a 50°C?

SOLUCIONARIO

En la fórmula : Tt  T m  (T0  T m)e  kt Tm  30 T0  100 Tt  80

30

80  30  (100  30)e0.025t t  14.64 min

1)

La población mundial fue de 120 000 en el año 2000 y la tasa de crecimiento relativa observada fue de 2.5% por año. a. Modele la función b. ¿Cuánto es la población en el año 2014? c. ¿En qué año la población será 2 millones de personas? d. ¿En qué año la población se habrá duplicado? SOLUCIÒN

a) ( ) b) ( )

( )

la población para el año 2014 es 170 288 personas

c) 2000000=

)

(

T=112.54 La población será 2 millones de personas en el año (112.55+2000=2112,5) d) 2=

t=27.73 La población será el doble en el año (2000+27.73= 2027.73)

31.

Un cultivo se inicia con 10 000 bacterias, y su número se duplica cada 40 minutos. e) Obtenga una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. f) Determine el número de bacterias después de una hora. g) ¿Después de cuantos minutos habrá 50 000 bacterias? h) Trace la gráfica del número de bacterias en el tiempo t.

Solución ( )

() r=0.01733 ( )

32.

=92.9

( )

33.

Una enfermedad infecciosa comienza a dimensionarse en una ciudad pequeña con 10 000 habitantes. Después de t días , el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

() h) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente? i) Calcule el número de personas infectadas después de un día, dos días y cinco días. j) Grafique la función

cuenta de

b) Determina la cantidad de bacterias al cabo de 1.2 horas c) ¿Cuándo la población llega a 18000? (aproxime su respuesta hasta 4 decimales)

35. Se estima que la tela para el entierro de una momia egipcia contiene 59% del cabono14 que contenía originalmente. ¿Cuánto tiempo hace que la momia fue enterrada? (La vida media del carbono14 es de 5730 años.)

()

Datos () ()

=

()

= 0.59

()

()

()

()

( )

()

()

(

)

( )

( )

()

( )

()

Rpta: La momia fue enterrada aproximadamente hace 4362 años. 36. Un cultivo comienza con 3200 bacterias, después de una hora se incrementa en 5000. a) Encuentre una función que modele el número de bacterias n(t) después de t horas (trabajar con aproximación a tres decimales) b) Encuentre el número de bacterias después de dos horas. c) ¿ Después de cuantas horas triplica el número de bacterias?

Datos

()

() ()

(

)

a)

()

b)

()

()

()

El número de bacterias después de dos horas es aproximadamente 7808 c)

El número de bacterias se habrá triplicado aproximadamente en 2,46 horas

37.

GRAFICA LA

()

rango asíntota

Asíntota vertical = - 4 Dominio = R Rango = Puntos corte X=0

()

-0,30

, determina el dominio ,

Y=0

= 1.43

38.

( )asíntota(

GRAFICA dominioLA, rango

)

Asíntota vertical = 2x+3=0 X=-3/2=-1.5 Dominio = Rango = R Puntos corte X=0

()

Y=0

(() ) (

(

) 1 (

)

( )

)

= -0.42

= 3.07

, determina el

39.

Gráfica la siguiente función por partes y determina el dominio, rango e intervalos

() {

√

(

) Solución

Dominio= R

Rango= [

Intervalo creciente: [ ] [

Intervalo decreciente:

] [ ]

Una cadena de hoteles cobra S/.50. Por noche para las tres primeras noches y S/.40 por noche adicional. El costo total “T” , es una función del número de noches “x” que permanece el huésped. Modela la función y determine T(2),T(4), T(5) y que representa su respuesta

40.

Solución Definir variables X= número de noches T(x)= Costo total

() {

(

)

T(2)=100 Si permanece 2 días en el hotel pagará S/.100 T(4)=190 Si permanece 4 días en el hotel pagará S/.190 T(5)=230 Si permanece 5 días en el hotel pagará S/. 230

41.

42.Impuesto sobre la renta En cierto país, el impuesto sobre la renta

T se evalúa de acuerdo con la siguiente función de ingreso x: El impuesto no se cobra si el ingreso es menor o igual a 10000 soles, si el ingreso es mayor a 10000 soles y menor a 20 000 soles se cobra el 8%, y se cobra15% sobre la cantidad de 20000 soles (4 puntos) a) Modele (2 pto) b) Encuentre T(5000) , T(12 000) y T(25 000). (1 PTO.) c) ¿Qué representan las respuestas al inciso b)? (1 PTO.)

() {

T(5000)= 0

(

)

No pagará impuesto porque el ingreso es menor a 10000

T(12 000)=960 pagará 960 soles de impuesto por un ingreso de 12 000 soles T(25 000)= 2350 pagará 2350 por un ingreso de 25 000 de soles.

43. a) b) c)

x3  x 2 r x Dada la función racional ( )  4  x2 Determina las intersecciones Determina las asíntotas Bosqueje la gráfica

Interceptoen " x ": Interceptoen " y ": Asíntota vertical : Asíntota oblícua :

x  0 , x  1 y0 x  2 ; x  2 y   x 1

, determina:

44. De manera simultánea, dos observadores miden el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo mide 25° y el otro 40°. Si los observadores están separados una distancia de 100m y el helicóptero está sobre la línea que los une. ¿A qué altura está el helicóptero?
...