Solusi Persamaan Schrodinger Untuk Koordinat Bola PDF

Preview

Summary

Solusi Persamaan Schroodinger dalam Koordinat Bola Mohammad Fajar 20211019 19 Oktober 2013 1 Persamaan Schroodinger Dalam koordinat bola berlaku x = r sin θ cos φ (1) y = r sin θ sin φ (2) z = r cos θ (3) yang mengakibatkan Laplacian berubah menjadi ∂2 ∂2 ∂2 ! ! 1 ∂ ∂ 1 1 ∂ ∂ 2 + 2 + 2 = 2 r2 + 2 si...

Description

Solusi Persamaan Schroodinger dalam Koordinat Bola Mohammad Fajar 20211019 19 Oktober 2013

1

Persamaan Schroodinger

Dalam koordinat bola berlaku x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

(1) (2) (3)

yang mengakibatkan Laplacian berubah menjadi ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ ∂ + + = 2 r2 2 2 2 ∂x ∂y ∂z r ∂r ∂r ! 2 1 ∂ + 2 sin θ ∂φ2

!

1 + 2 r

∂ 1 ∂ sin θ sin θ ∂θ ∂θ

!

(4) (5)

Sehingga persamaan Schroodinger dapat dituliskan sebagai h ¯2 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ − r2 + 2 sin θ 2 2m r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ +V (r)ψ = Eψ "

!

!

∂2 1 ψ + 2 2 r sin θ ∂φ2 #

(6)

Dengan melakukan pemisahan variabel yakni ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) maka persamaan Schroodinger dapat dituliskan menjadi !

!

∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ r2 R(r)Y (θ, φ) + 2 sin θ R(r)Y (θ, φ) 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ 2m 1 ∂2 R(r)Y (θ, φ) − 2 [V (r) − E] R(r)Y (θ, φ) = 0 + 2 2 2 r sin θ ∂φ h ¯

(7)

atau !

!

1 ∂ ∂ ∂ 1 ∂ Y (θ, φ) 2 r2 R(r) + R(r) 2 sin θ Y (θ, φ) r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ ∂2 1 2m +R(r) 2 2 Y (θ, φ) − [V (r) − E] R(r)Y (θ, φ) = 0 2 h ¯ r sin θ ∂φ

1

(8)

Dengan membaagi kedua sisi persamaan 8 dengan R(r)Y (θ, φ) akan diperoleh 1 ∂ ∂ 2mr2 r2 R(r) − [V (r) − E] R(r) ∂r ∂r h ¯2 " ! # 1 ∂2 ∂ ∂ 1 + sin θ Y (θ, φ) + Y (θ, φ) = 0 Y (θ, φ) sin θ ∂θ ∂θ Y (θ, φ) sin2 θ ∂φ2 !

(

)

(9)

Pada persamaan 9 suku dalam kurung kurawal hanya bergantung pada jarak radial r sementara suku pada kurung siku hanya bergantung pada sudut (θ, φ). Persamaan tersebut konsisten jika dan hanya jika kedua suku sama dengan nol (trivial) atau kedua suku sama dengan konstanta tertentu. Solusi trivial tentu tidak menghasilkan apa-apa. Sementara jika kedua suku sama dengan sebuah konstanta, maka terdapat banyak konstanta yang bisa kita pilih untuk disubstitusikan. Akan tetapi untuk memudahkan perhitungan selanjutnya kita dapat memilih konstanta tersebut dalam bentuk l(l + 1). Dengan demikian diperoleh untuk suku radial d 2mr2 1 d [V (r) − E] = l(l + 1) r2 R(r) − R(r) dr dr h ¯2 !

(10)

dan untuk suku angular ∂2 1 ∂ ∂ 1 sin θ Y (θ, φ) + Y (θ, φ) Y (θ, φ) sin θ ∂θ ∂θ Y (θ, φ) sin2 θ ∂φ2 = −l(l + 1) !

2

(11)

Solusi suku Angular

Bagian angular dapat kita pisahkan lebih lanjut dengan separasi variabel yakni Y (θ, φ) = f (θ)g(φ) yang menghasilkan 1 ∂2 ∂ 1 ∂ sin θ f (θ)g(φ) + f (θ)g(φ) f (θ)g(φ) sin θ ∂θ ∂θ f (θ)g(φ) sin2 θ ∂φ2 = −l(l + 1) ! ∂2 ∂ ∂ 1 1 sin θ f (θ) + g(φ) = −l(l + 1) ⇒ f (θ) sin θ ∂θ ∂θ g(φ) sin2 θ ∂φ2 !

(12)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan sin2 θ akan diperoleh ∂ 1 ∂2 sin θ ∂ 2 sin θ f (θ) + l(l + 1) sin θ + g(φ) = 0 f (θ) ∂θ ∂θ g(φ) ∂θ2 !

(13)

Karena masing-masing suku hanya bergantung pada satu variabel, maka keduanya dapat diganti dengan sebuah konstanta yakni untuk kemudahan penurunan dinyatakan sebagai m2 sehingga diperoleh !

dan

sin θ d d sin θ f (θ) + l(l + 1) sin2 θ = m2 f (θ) dθ dθ

(14)

1 d2 g(φ) = −m2 g(φ) dφ2

(15)

2

Suku sudut azimuth pada persamaan 15 mempunyai solusi umum dalam bentuk g(φ) = eimφ ⇒ gm (θ) = eimφ

(16)

Sementara suku sudut kutub pada persamaan 15 dapat dituliskan sebagai !

d d sin θ sin θ f (θ) + l(l + 1) sin2 θf (θ) − m2 f (θ) = 0 dθ dθ

(17)

Suku pertama pada persamaan 17 dapat dievaluasi yang menghasilkan !

!

d d d df (θ) sin θ f (θ) = sin θ sin θ sin θ dθ dθ dθ dθ ! df (θ) d2 f (θ) = sin θ cos θ + sin θ dθ dθ2 df (θ) d2 f (θ) + sin θ cos θ = sin2 θ 2 dθ dθ

(18)

Dengan demikian persamaan 17 dapat diturunkan menjadi sin2 θ

df (θ) d2 f (θ) + sin θ cos θ + l(l + 1) sin2 θf (θ) − m2 f (θ) = 0 2 dθ dθ

(19)

Dengan melakukan pergantian variabel yakni x = cos θ maka diperoleh df (x) dx df (x) df (x) df (θ) = = (− sin θ) = − sin θ dθ dx dθ dx dx

(20)

dan df (x) df (x) d d df (x) d2 f (θ) − sin θ = − cos θ = − sin θ 2 dθ dθ dx dx dθ dx df (x) d dx df (x) = − cos θ − sin θ dx dx dθ dx d df (x) df (x) − sin θ (− sin θ) = − cos θ dx dx dx 2 df (x) d f (x) = − cos θ + sin2 θ dx dx2 !

(21)

Dengan mensubstitusikan hasil-hasil ini ke dalam persamaan 19 diperoleh d2 f (x) df (x) df (x) sin θ sin θ + sin θ cos θ − sin θ + − cos θ 2 dx dx dx l(l + 1) sin2 θf (x) − m2 f (x) = 0 2

!

2

!

(22)

Dengan membagi semua ruas dengan sin2 θ diperoleh sin2 θ

df (x) df (x) d2 f (x) − cos θ − cos θ + l(l + 1)f (x) − 2 dx dx dx m2 f (x) = 0 sin2 θ 3

(23)

Karena cos θ = x maka sin2 θ = 1 − cos2 θ = 1 − x2 yang meghasilkan (1 − x2 )

df (x) m2 d2 f (x) − 2x f (x) = 0 + l(l + 1)f (x) − dx2 dx 1 − x2

(24)

Persamaan 24 merupakan persamaan legendre terasosiasi yang solusi umumnya adalah Pl,m = (−1)

m

q

(1 − x2 )m

dm Pl (x) dxm

(25)

dengan

(−1)l dl Pl (x) = l (1 − x2 )l (26) l 2 l! dx Dengan demikian solusi suku angular (pers. 11) adalah perkalian solusi sudut kutub dan sudut azimuth yakni Pl,m (cos θ) · eimφ (27)

3

Solusi suku radial

Untuk memperolah solusi radial terlebih dahulu kita tentukan potensial yang digunakan dalam persamaan 6. Pada kasus atom hidrogen potensial yang digunakan adalah V (r) = −e2 /r. Sementara massa yang dinyatakan pada persamaan 6 sebagai massa partikel tunggal haruslah diganti dengan massa tereduksi dari proton dan elektron yakni mp me µ= (28) mp + me Dengan demikian suku radial dapat dituliskan menjadi e2 1 d d 2µr2 r2 R(r) − 2 − − E − l(l + 1) = 0 R(r) dr dr r h ¯ " ! # 2 2 e 2µr d 2 d r R(r) − 2 − − E R(r) − l(l + 1)R(r) = 0 ⇒ dr dr r h ¯ # ! " 2 2 2µr2 2µr e d 2 d + 2 E − l(l + 1) R(r) = 0 r R(r) + ⇒ dr dr h ¯2 r h ¯ !

"

#

(29)

Selanjutnya dilakukan pemisalan y(r) = rR(r)

⇒

R(r) =

y(r) r

(30)

Dengan demikian !

!

d d d d  −1  y(r) r r2 R(r) = r2 dr dr dr dr # "   d 2  −2  −1 dy(r) = r −r y(r) + r dr dr " # d dy(r) = −y(r) + r dr dr dy(r) dy(r) d2 y(r) = − + +r dr dr dr2 d2 y(r) = r dr2 4

(31)

Dengan hasil ini maka persamaan 29 akan dapat dituliskan menjadi d2 y(r) y(r) 2µre2 2µr2 r + E − l(l + 1) + =0 2 2 dr2 r h ¯ h ¯ # " 2µe2 2µE l(l + 1) d2 y(r) + 2 − y(r) = 0 + ⇒ dr2 r2 r¯h2 h ¯ #

"

(32)

Selanjutnya jika dilakukan substitusi yakni  2 ǫ

2

=−

2µE h ¯2

(33)

Tanda negatif pada ruas kanan digunakan karena terdapat kemungkinan keadaan energi E < 0 yang mengakibatkan ǫ menjadi imajiner jika ruas kanan positif. Dengan demikian persamaan 32 dapat dituliskan menjadi d2 y(r) 2µe2 ǫ2 l(l + 1) − − y(r) = 0 + dr2 4 r2 r¯h2 #

"

(34)

Jika dilakukan pergantian variabel yakni x = re ⇒ r = maka dr =

x ǫ

(35)

dx ǫ

(36)

dan

2 d2 y(r) d dy(r) d dy(x) 2 d y(x) = = ǫ ǫ = ǫ dr2 dr dr dx dx dx2 Sehingga suku radial di dapat dinyatakan sebagai 2

y(x) 2µe2 ǫ ǫ2 l(l + 1) ǫ y(x) = 0 + − ǫ2 2 − 2 dx 4 x2 x¯h # " 1 2µe2 l(l + 1) d2 y(x) y(x) = 0 + − + ⇒ − dx2 4 h ¯ ǫx x2 2d

(37)

#

"

(38)

Persamaan 38 merupakan persamaan laguerre yang terasosiasi jika l(l + 1) =

k2 − 1 4

(39)

dan

2j + k + 1 2µe2 = (40) h ¯ǫ 2 yang solusi umumnya dapat dinyatakan sebagai polonomial Laguerre terasosiasi yakni yjk (x) = e−x/2 x(k+1)/2 Lkj (x)

(41)

Dalam teori atom Bohr suku h ¯ /µe2 menyatakan radius Bohr yakni a0 =

h ¯2 = 0.529˚ A µe2 5

(42)

dari persamaan 39 diperoleh k = 2l+1 dengan demikian ruas kanan persamaan 40 menjadi 2j + k + 1 2j + (2l + 1) + 1 = =j+l+1 2 2

(43)

Dalam polinomial Laguerre i dan j tidak boleh negatif dengan demikian j + l + 1 haruslah lebih besar atau sama dengan 1 yang dapat dinyatakan sebagai n=j+l+1

(44)

Nilai n sendiri dapat dipandang sebagai bilangan kuantum prinsipal. Dari persamaan 40 dan persamaan 43 diperoleh j+l+1=n=

2µe2 h ¯ǫ

2µe2 h ¯n 4µ2 e4 ⇒ ǫ2 = 4 2 h ¯ n ⇒ǫ=

(45)

Dengan mensubstitusi hasil ini ke dalam persamaan 33 untuk mengganti ǫ dengan E diperoleh 4µ2 e4 2µE = h ¯2 h ¯ 4 n2 !2 h ¯2 µe2 µ2 e 4 h ¯2 = − ⇒E=− 2µn2 2µ¯h4 n2 h ¯2 13.6eV h ¯2 =− ⇒ En = − 2 2 2µa0 n n2

−4

(46)

Dengan demikian solusi radial dapat dituliskan sebagai ynl (x) = e−x/2 xl+1 L2l+1 n−l−1 (x)

(47)

Sementara −2µE 2µ h ¯2 =− 2 =− 2 − 2µa20 n2 h ¯ h ¯ 2 4 ⇒ ǫ2 = 2 2 ⇒ ǫ = a0 n a0 n 2r ⇒x= na0

 2

ǫ 2

!

=

1 a20 n2

(48)

yang menghasilkan ynl (r)

=e

−r/na0



2r na0

l+1

L2l+1 n−l−1



2r na0



(49)

Karena y(r) = rR(r) maka diperoleh l+1

2r na0 l    2r 2r ⇒ Rn,l (r) = Ae−r/na0 L2l+1 n−l−1 na0 na0 rRn,l (r) = e−r/na0



2r na0

6

L2l+1 n−l−1





(50)

dengan A menyatakan konstanta yang digunakan untuk menyerap faktor 2/na0 dari  2r l+1 akibat pembagian dengan r. Selanjutnya yang perlu dilakukan adalah menorna0 malisir solusi Rn,l (r) yakni



hψ(r)|ψ(r)i =

Z ∞ 0

(Rn,l (r))∗ Rn,l (r)r2 dr = 1

(51)

dengan faktor r2 menyatakan faktor koreksi volume untuk koordinat bola. demikian

Dengan

∗ 2r l 2l+1 2r 2r 2r −r/na0 Ae Ae Ln−l−1 L2l+1 · r2 dr n−l−1 na0 na0 na0 na0 0       Z ∞ 2r 2l 2 2l+1 2r 2r 2l+1 ∗ −2r/na0 = A A, e Ln−l−1 dr (r )Ln−l−1 na0 na0 na0 0      3 Z ∞     2r 2r 2l+2 2l+1 2r 2r 2l+1 2 na0 −2r/na0 Ln−l−1 Ln−l−1 d (52) e = |A| 2 na0 na0 na0 na0 0 =1

Z ∞

−r/na0















Integral di atas dapat kita evaluasi dengan menggunakan hubungan Z ∞ 0

z a e−z Lab (z)Lab (z)dz = δb,c



1

[Γ(a + b + 1)] Γ(b + 1)

(53)

Masalahnya adalah pada persamaan 52 nilai indeks atas dari polinomial Leguerre dan bentuk pangkat tidak sama yakni berturut-turut 2l + 2 dan 2l + 1. Untuk itu dilakukan penyesuaian dengan menggunakan hubungan 2 zLab (z) = (a + 2b + 1)Lab (z) −

b+1 Lab+1 (z) − (a + b)2 Lab−1 (z) a+b+1

(54)

Persamaan 52 dapat dituliskan ulang menjadi |A|

2

na0 2 =1



3 Z ∞ 0

e

−2r/na0



2r na0

 

2r 2r L2l+1 n−l−1 na0 na0 





L2l+1 n−l−1



2r 2r d na0 na0 





(55)

Dengan menggunakan persamaan 54 suku dalam kurung kurawal pada persamaan 55 dapat dituliskan menjadi 2r 2r 2r L2l+1 = (2l + 1 + 2n − 2l − 2 + 1) L2l+1 n−l−1 n−l−1 na0 na0 na0     n−l−1+1 2r 2r 2l+1 2 2l+1 − − (2l + 1 + n − l − 1) Ln−l−2 L 2l + 1 + n − l − 1 + 1 n−l na0 na0       n − l 2r 2r 2r − − (n + l)2 L2l+1 (56) L2l+1 = 2nL2l+1 n−l−2 n−l−1 na0 n + l + 1 n−l na0 na0 











Pada persamaan 56 hanya polinomial Laguerre suku pertama yang indeks bawahnya bernilai n − l − 1 yang sama dengan polinomial Laguerre di luar kurung kurawal pada persamaan 55, sementara suku kedua dan seterusnya berbeda sehingga jika dikalikan dengan 1 2

dapat dilihat pada buku morse fleshbach, halaman 784-785 ibid

7

polinomial di luar kurung dan diintegralkan akan menghasilkan nol. Dengan demikian persamaan 55 dapat dituliskan menjadi na0 2

3 Z ∞

2l+1 

2r 2r 2r L2l+1 d n−l−1 na0 na0 na0 0 3 Z ∞  2l+1        2r 2r 2r 2r na0 2l+1 e−2r/na0 L2l+1 L d = |A|2 2n n−l−1 n−l−1 2 na0 na0 na0 na0 0 =1 (57) |A|2



e−2r/na0



2r na0

2nL2l+1 n−l−1













Karena indeks bawah dan indeks atas dari polinomial Laguerre pada persamaan 57 sudah sama maka kita dapat menggunakan hubungan 53 sehingga diperoleh na0 3 Z ∞ −2r/na0 2r 2l+1 2l+1 2r 2r 2r e = |A| 2n Ln−l−1 L2l+1 d n−l−1 2 na0 na0 na0 na0 0 3  3 na0 [Γ (2l + 1 + n − l − 1 + 1)] = |A|2 2n 2 Γ (n − l − 1 + 1)  3 na0 [Γ(n + l + 1)]3 = |A|2 2n 2 Γ(n − l) 3  [(n + l)!]3 na0 2 =1 (58) = |A| 2n 2 (n − l − 1)! 2





















yang mana menghasilkan A=

v u u t

2 na0

3

(n − l − 1)! 2n [(n + l)!]3

(59)

Dengan demikian solusi suku radial pada persamaan 10 diperoleh yakni Rn,l (r) =

v u u t

2 na0

3

(n − l − 1)! −r/na0 2r e na0 2n [(n + l)!]3 

l

L2l+1 n−l−1



2r na0



(60)

Dengan demikian solusi persamaan 6 adalah ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r)Yl,m (θ, φ)

8

(61)...