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M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Soluzioni Test di Matematica Finanziaria

Metodi Matematici II Soluzioni Test di Matematica Finanziaria a cura di Gianluca Fusai e Gianni Longo SEMEQ - Università del Piemonte Orientale Anno Accademico 2003-04 DOMANDA 1

Se l’intensità istantanea di interesse ρ è costante e pari al 5%, allora il tasso annuo e quello semestrale sono rispettivamente: a i = 5%, i2 = 10%; b i = 5.127 1%, 2i = 2.5 3%; c i = 4.879%, i2 = 3.410%; d i = 4.987%, i2 = 2.440%; Si usano le relazioni tra tassi di interesse annuo, periodale ed intensità di interesse: 1 + i = eρ 1 + i = (1 + i2)2 da cui: i = eρ − 1 = e0.05 − 1 = 5. 127 1% 1 1 i2 = (1 + i) 2 = (1.051271)2 − 1 = 2.5 3% R: b.

DOMANDA 2

Se d = 5%, allora il fattore di montante dopo un anno è: a f (1) = 1.0476; b f (1) = 1.025; c f (1) = 1.06; d f (1) = 1.0526; Si ricorda che in regime di sconto commerciale il fattore di sconto è dato da: φ (t) = 1 − dt e quindi il fattore di montante è: 1 1 f ( t) = 1 − dt = 1 − 0.05 ∗ 1 = 1. 052 6 R: d.

DOMANDA 3

1

2

Se i = 5% è il rendimento in lire, ex=2% il tasso annuo di svalutazione del cambio lira/dollaro, il rendimento in dollari è: a rf =3%; b rf =2.941%; c rf =7%; d rf =7.1%; Sia S0 il cambio corrente lira/dollaro (quante lire per un dollaro). Dato il tasso di svalutazione annuo medio ex, al tempo t il tasso di cambio sarà t St = S0 (1 + ex) . Se si ipotizza di avere una lira, dopo t periodi si disporrà di (1 + i)t lire. In alternativa si può convertire oggi la lira in dollari, ottenendo 1/S0 dollari che investiti per t anni al tasso rf daranno in t un montante di (1 + rf )t /S0 dollari. Si potrà quindi riconvertire questo ammontare in lire ottenendo St (1 + rf )t /S0 lire. Le due possibilità danno lo stesso risultato se: t (1 + i)t = S0 (1 + ex) (1 + r )t R: b.

S0

f

da cui semplificando, si ottiene: 1 + i = (1 + ex) (1 + rf ) e risolvendo rispetto a rf si ha: 1+i i − ex 0.05 − 0.02 rf = 1 + ex − 1 = 1 + ex = 1 + 0.02 = 2. 941 2% DOMANDA 4

Se d = 5%, in regime di interesse semplice il numero di anni necessari affinchè il capitale iniziale triplichi è: a 21.42; b 38; c 13.33; d 35; Si richiede il valore di t per cui: Cf (t) = 3C dove f (t) è il fattore di montante. In regime di interesse semplice, si ha: f (t) = 1 + it cioè: 2 t∗ = i Ricordando la relazione tra tasso di sconto e tasso di interesse: 1 d 0.05 i= 1 − d − 1 = 1 − d = 1 − 0.05 = 0.05263 2 e troviamo t∗ = 2/0.05263 2 = 38. 000. R: b.

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3

DOMANDA 5

Se i = 5% e n = 5 allora: 546; b ..an i = 4.329; c ..an i = 4.329; d ..an i = 5; a ..aann ii == 44..329; an i = 4.653; an i = 4.546; an i = 6; .. an i (an i ) rappresenta il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata (anticipata) di durata n anni al tasso i. Si ha: 1 − (1 + i)−n = 1 − (1.05)−5 = 4. 329 5 an i = 0.05 i .. an i = (1 + i) an i = (1 + 0.05) ∗ 4. 329 5 = 4. 546 0 |

|

|

|

|

|

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|

R: c. |

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In caso di interessi variabili, il fattore di montante in regime di interesse semplice è dato da: n f ( t) = 1 + is τ s s=1 dove is è il tasso annuo semplice in vigore nel periodo s − mo di lunghezza τ s. Abbiamo quindi: 3 9 f (t) = 1 + 0.03 ∗ 12 + 0.06 ∗ 12 = 1. 052 5 e il montante dopo un anno sarà 100*1.0525=105.25.

X

DOMANDA 8

DOMANDA 6

Sia i = 10% e D0 = 100. Dato il seguente piano di ammortamento: t

Ct

It

0 - 1 40 2 3 40

Dt

R: b.

,

allora: a C2 = 40, I3 = 3.5; b C2 = 20, I3 = 6; c C2 = 20, I3 = 4; d C2 = 40, I3 = 7; Iniziando da D0 = S = 100 e ricordando che It = iDt−1 e Dt = Dt−1 − Ct si può completare in modo ricursivo la tabella seguente: R: b.

t

Ct

It

Sia d = 5%. In regime di sconto commerciale il valore attuale di 100 esigibili dopo 1 anno è: a A=100; b A=95; c A=105; d A=95.2381; Il fattore di sconto in regime di sconto commerciale è dato da: φ (t) = 1 − dt ⇒ φ (t = 1) = 1 − 0.05 ∗ 1 = 0.95 per cui il valore attuale di 100 sarà 100*0.95=95.

Dt

0 100 1 40 0.1*100=10 100-40=60 2 20 0.1*60=6 40 3 40 0.1*40=4 0 e dove per determinare la quota capitale del secondo anno si è imposta la condizione di chiusura elementare (le quote capitali ripagano il debito), che permette appunto di individuare C2 (C1 + C2 + C3 = 100 da cui: C2 = 100 − 80 = 20).

DOMANDA 9

Se rf = 5% è il rendimento in dollari, ex=2% il tasso annuo di svalutazione del cambio lira/dollaro, il rendimento in lire è: a i=3%; b i=2.941%; c i=7%; d i=7.1%; Ricordando la relazione: 1 + i = (1 + ex) (1 + rf ) si ottiene: i = (1 + ex) (1 + rf ) − 1 = 1.02 ∗ 1.05 − 1 = 0.071 R: d.

DOMANDA 10

DOMANDA 7

In regime di interesse semplice il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del 3%, nei rimanenti 9 mesi è del 6%. Il montante dopo un anno di un investimento iniziale di 100 è: a M=107; b M=105.2838; c M=105.25; d M=102; R: c.

Si intende ammortizzare un debito di100 ml con rate costanti annuali per 3 anni al tasso annuo del 5%. L’importo della singola rata è: a R = 30; b R = 36.721; c R = 35; d R = 42 Avendo rate costanti, si sta utilizzando l’ammortamento francese. L’importo della singola rata è determinato dalla condizione di equivalenza finanziaria: D0 = Ran i R: b.

|

4

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5

dove D0 è il debito iniziale. Si ha quindi: 100 = 100 3 = 36. 721. R= 1−(1.05) a −

3|0.05

0.05

DOMANDA 11

La seguente operazione finanziaria Epoche 0 1 2 3 4 Flussi −100 −1000 300 500 400 a non ha alcun tir; b ammette un unico tir negativo; c ammette più di un tir; d ammette un unico tir; Si osserva che la somma dei flussi cambia segno un’unica volta da negativo a positivo. Questo garantisce l’esistenza e l’unicità del TIR. R: d.

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dove t = 1 e d = 5%. Risolvendo rispetto a i si ottiene: 1 − d = 1 +1 i → i = 1 −1 d − 1 = 1 − 10.05 − 1 = 0.05 263 2 DOMANDA 14

Se il rendimento in dollari è del 6% e il tasso annuo di rivalutazione del dollaro nel cambio dollaro/euro è pari al 3%, il rendimento in euro è: a i=9,18%; b i=9.278 4%; c i=3%; d i=3,11%; Prendiamo come valuta domestica il dollaro. Allora r$ = r + ex ∗ r + ex r$ − ex 0.06 + 0.03 r = 1 + ex = 1 − 0.03 = 0.09278 4 R: b.

DOMANDA 15

DOMANDA 12

In regime di interesse composto il tasso annuo di interesse sui primi 2 anni è del 5%, nei successivi 3 è del 7%. Il montante dopo 5 anni di un investimento iniziale di 100 è a M=145; b M=132,75; c M=131; d M=135.06; Il fattore di montante in regime di capitalizzazione composta con tassi variabili è dato da: Yn (1 + is)τ f ( t) = R: d.

s

s=1

dove is è il tasso annuo composto in vigore nel periodo s − mo di lunghezza τ s. Abbiamo quindi: 2 3 f (t) = (1 + 0.05) (1 + 0.07) = 1. 350 6 e il montante dopo cinque anni sarà 100*1.3506=135.06. DOMANDA 13

Sia d = 5% il tasso annuo di sconto commerciale. Il tasso annuo di interesse composto ad esso equivalente per un’operazione di un anno è il: a 5,26%; b 5%; c 5,1%; d 4,9%; Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra un anno sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza: R: a.

N

(1 − dt) = (1 +Ni)t

6

Si ammortizza con ammortamento italiano un debito di 60 in 3 anni a tasso 10%. La quota interessi della terza rata risulta: a 4, 12; b 6; c 0; d 2 Si può costruire il seguente piano d’ammortamento dove l’importo della singola rata capitale, trattandosi di ammortamento italiano, è dato da 20 (=60/3). Quindi si ha: C I D 0 60 1 20 0.1*60=6 60-20=40 2 20 0.1*40=4 40-20=20 3 20 0.1*20=2 0 e quindi la quota interessi del terzo anno ammonta a 2. R: d.

DOMANDA 16

Per costituire un capitale di 1000 in 8 anni con versamenti annui anticipati a tasso 5% in regime di interesse composto occorre che l’ammontare dei versamenti sia pari a: a 163,25; b 125,25; c 178,5; d 99.735; Nel caso di rendite anticipate il montante è calcolato per convenzione un anno dopo l’ultima scadenza. Costituire un capitale di 1000 in 8 anni equivale a disporre di 1000 ∗ (1 + 0.05)−7 = 676. 84 R: d.

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immediatamente. Questo importo può essere ottenuto con versamenti annui anticipati di importo R: 676.84 = Ra.. n i = R (1 + i) an i da cui: 676.84 676.84 R= (1 + i) an i = (1 + 0.05) − . . 8 = 99. 735 Oppure si utilizza l’espressione s..n i (che però non è stata trattata a lezione), per cui: .. R sn i = 1000 dove (1 + i)n − 1 = (1 + 0.05) − 1 = 10. 027 .. sn i = i . |

|

−

1 (1+0 05) 0 05

|

|

7

8

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ha:

a 2 tassi interni; b 3 tassi interni; c 1 tasso interno; d nessun tasso interno; R: a.

Il tasso interno T IR è soluzione dell’equazione: 50 50 −8 + 1 + T IR − (1 + T IR) = 0 che ha due soluzioni accettabili T IR = , e T IR = 4. 2

1

1 4

2

|

8

|

0 05 1+0.05

1+i

e quindi:

R

= 101000 = 99. 735 . 027

2

DOMANDA 18

Sia j = 9% il tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente. Il tasso annuo di interesse composto ad esso equivalente è: a 3%; b 9%; c 9,27%; d 9,31%; Se j = 9%, allora i = j /3 = 3% e il tasso annuo è ottenuto da: 1 + i = (1 + i ) , cioè: i = (1.03) − 1 = 0.09 272 7 3

R: c. 3

3

3

3

3

3

DOMANDA 19

L’operazione finanziaria:

1

1

1

|

R: a.

3

1

1

DOMANDA 17

2

Il valore attuale a tasso i di una rendita annua, unitaria, anticipata e perpetua è a i + 1; b i − 1; c i v ; d i ; Si deve ricordare che a¨n i = (1 + i) an i ed osservando che a ∞ i = limn→∞ − i i , si ha ¨an i = (1 + i) /i = 1/i + 1. i R: a.

In regime di interesse composto a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel terzo anno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 100 è: a 12,1; b 11; c 10; d 12; Si ha che l’interesse prodotto nel corso del terzo anno è dato da: ³ ´ 100 (M − M ) = 100 (1 + 0.1) − (1 + 0.1) = 12.1 3

DOMANDA 20

+

|

1 (1+ )−n

DOMANDA 21

Un’azienda paga perpetuamente un dividendo che cresce al tasso annuo composto del 3%. Il primo dividendo pagato alla fine del primo anno è pari a 100. Il tasso di interesse annuo composto è pari a 5%. Il valore dell’azienda risulta essere: a 50000; b 5000; c 500; d 50; Si sta utilizzando la formula di Gordon che dice che il valore dell’azienda è dato da: D VA= i−g per cui: 100 100 VA= 0.05 − 0.03 =0.02 = 5000 R: b.

DOMANDA 22

In regime di interesse composto il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del 3%, nei rimanenti 9 mesi è del 9%. Il montante dopo un anno di un investimento iniziale di 100 è a M=107.476; b M=112.27; c M=107.5; d M=112; Il fattore di montante in regime di capitalizzazione composta con tassi variabili è dato da: Yn (1 + is)τ f ( t) = R: a.

s

epoche 0 1 2 flussi −8 50 −50

|

|

s=1

=

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9

dove is è il tasso annuo composto in vigore nel periodo s − mo di lunghezza τ s. Abbiamo quindi: 3 9 f (t) = (1 + 0.03) 12 (1 + 0.09)12 = 1. 074 7 e il montante dopo un anno sarà 100*1. 074 7=107.476. DOMANDA 23

Il tasso annuo composto è pari al 5%. Il tasso annuo di sconto (in regime di sconto commerciale) che rende uguale il valore attuale di un importo N esigibile tra 8 mesi è: a d = 4.8%; b d = 5%; c d = 2.13%; d d = 4.76%; Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra otto mesi sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza: R: a.

N

(1 − dt) =

N

(1 + i)t dove t = 8/12 e i = 5%. Risolvendo rispetto a d si ottiene: ! Ã 1 = 4. 800 5% 1 − d 128 = 1 812 → d = 812 1 − 8 12 (1 + i) (1 + 0.05)

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In caso di interessi variabili, il fattore di montante in regime di interesse semplice è dato da: n X f ( t) = 1 + is τ s s=1

dove is è il tasso annuo semplice in vigore nel periodo s − mo di lunghezza τ s. Abbiamo quindi: 3 9 f (t) = 1 + 0.03 ∗ + 0.09 ∗ 12 = 1. 075 12 e il montante dopo un anno sarà 100*1.075=107.5. DOMANDA 26

Il tasso annuo di interesse semplice è pari al 10%. Il tasso annuo di sconto (in regime di sconto composto) che rende uguale il valore attuale di un importo N esigibile tra 6 mesi è: a d = 8%; b d = 9.30%; c d = 9.09%; d d = 10%; Si deve richiedere che il valore attuale di un’importo N esigibile tra otto mesi sia uguale nei due regimi. Si impone quindi l’uguaglianza: 1 N N (1 + ic)t = (1 + ist) dove t = 6/12 e is = 10%. Risolvendo rispetto a al tasso annuo composto ic si ottiene: µ 1 6 ¶2 ic = (1 + is t) − 1 → ic = 1 + 0.1 12 − 1 = 0.102 5 e quindi il tasso annuo di sconto è dato da: ic 0.102 5 d= 1 + ic = 1.102 5 = 9. 297 1 R: b.

t

DOMANDA 24

Un’azienda paga perpetuamente un dividendo che cresce al tasso annuo composto del 3%. Il primo dividendo pagato alla fine del primo anno è pari a 100. Il tasso di interesse annuo composto è pari a 5%. Il valore dell’azienda risulta essere: a 50000; b 5000; c 500; d 50; Si sta utilizzando la formula di Gordon che dice che il valore dell’azienda è dato da: D VA= = 0.05100 = 100 = 5000 i−g − 0.03 0.02 R: b.

DOMANDA 25

In regime di interesse semplice il tasso annuo di interesse sui primi 3 mesi è del 3%, nei rimanenti 9 mesi è del 9%. Il montante dopo un anno di un investimento iniziale di 100 è: a M=107,468; b M=112.27; c M=107.5; d M=112; R: c.

DOMANDA 27

L’ammortamento francese di un debito di 10.000 in 12 anni al tasso annuo del 10.25% con rate semestrali posticipate si realizza con rate di importo: a 724.71; b 416.66 euro di quota capitale più la quota interessi; c 719.15; d 731.47; L’importo della singola rata è determinato da: Ra24 i2 = 10000 R: a.

|

10

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11

dove i2 è il tasso semestrale. Si ha:

e quindi

= (1 + i) 12 − 1 = (1 + 0.1025)12 − 1 = 0.05 −24 −24 = 1 − (1 +i2 i2) = 1 − (1 0+.050.05) = 13. 799 10000 = 724. 71 = 13 . 799

i2 a24|i2 R

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R

12

= 9.9735 = 10100 . 027

DOMANDA 30

In regime di interesse semplice a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel settimo anno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 100 è: a 12,1; b 11; c 10; d 12; R: c.

DOMANDA 28

6%

Il tasso semestrale equivalente al tasso quadrimestrale del in cap. composta è √ ¡ ¢ 6 c a . 1.5 − ; b . 46; . 3− ; d . 1.5 − ;

1 06

1

0 06

1 06

R: a.

1

2 1 06

(1 + i2)2 = (1 + i3)3 i2

100 (M7 − M6) = 100 ((1 + 0.1 ∗ 7) − (1 + 0.1 ∗ 6)) = 10

1

Si deve impostare l’equivalenza dei montanti sull’anno:

da cui

Si ha che l’interesse prodotto nel corso del settimo anno è dato da:

= (1 + i3)32 − 1 = (1.06)1.5 − 1

DOMANDA 31

= 6%

= 3%

Se rf è il rendimento in dollari ed exriv il tasso annuo di rivalutazione dell’euro nel cambio dollaro/euro, il rendimento in euro è: a i=9,18%; b i=2.91%; c i=3%; d i=3,11%; R: b.

Nella domanda è stato messo "rivalutazione dell’euro nel cambio dollaro/euro" invece che "...euro/dollaro". e la risposta in b doveva essere sostituita da i . . Il tasso di rendimento dell’euro è dato da:

= 2 82%

DOMANDA 29

Per costituire un capitale di 100 in 8 anni con versamenti annui anticipati a tasso 5% occorre che l’ammontare dei versamenti sia a 10.25; b 9.9735; c 8.5379; d 12.5; R: b.

Costituire un capitale di 100 in 8 anni equivale a disporre di

100 (1 + 0.05)−7 = 67.684 immediatamente. Questo importo può essere ottenuto con versamenti annui anticipati di importo R

DOMANDA 32

In regime di interesse composto a tasso annuo 10% l’interesse prodotto nel quinto anno di capitalizzazione su un investimento iniziale di 200 è: a 12,1; b 122.102; c 10; d 29.282;

67.684 71.068 = 9.9735 R= .05) 8 (1 + i) an i = 1−(1+0 0.05

Indicando con Mt il montante al tempo t, si ha che l’interesse prodotto nel corso del quinto anno è dato da:

|

−

|

..

Oppure si utilizza l’espressione sn|i , per cui: ..

Rsn|i dove ..

re = r$ + ex + ex ∗ r$ = −0.03. Quindi: re = 0.06 − 0.03 − 0.03 ∗ 0.06 = 0.028 2

: 67.684 = Ra.. n i = R (1 + i) an i |

da cui:

e ex

sn|i

= 100

n 8 = (1 + i) − 1 = (1 + 0.05) − 1 = 10. 027 i

1+i

0.05 1+0.05

R: d.

³

´

200 (M5 − M4) = 200 (1 + 0.1)5 − (1 + 0.1)4 = 29. 282. DOMANDA 33

= 6% = 9 18%

= 3% = 3%

Se rf è il rendimento in dollari ed ex il tasso annuo di svalutazione dell’euro nel cambio euro/dollaro, il rendimento in euro è: a i . ; b i ; c i ; d i . ;

= 9%

= 2 913%

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13

R: a.

Si usa la relazione: e si ottiene:

i

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DOMANDA 36

i

= rf + ex + ex ∗ rf

= 0.06 + 0.03 + 0.03 ∗ 0.06 = 9.1 8%

DOMANDA 34

L’ammortamento francese di un finanziamento di 100 da effettuarsi in 4 rate annue posticipate al tasso del 10% annuo prevede che la quota interessi della seconda rata sia pari a: a 7.5; b 7.845; c 10; d 21.547; L’importo della singola rata è dato da: 100 = 100 = 31. 547 R= 4 − . a R: b.

4|0.1

1 (1+0 1)− 0.1

Possiamo quindi costruire il piano d’ammortamento: t Ct It R t Dt 0 100 1 21.547 10 31.547 100-21.547= 78. 453 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... e quindi I = 0.1 ∗ 78.453 = 7. 845 3.

Si intende attivare un progetto che richiede un investimento iniziale di 100 ricorrendo a capitale di debito. Si considerano le seguenti alternative: %mezzi propri ROE a 100 0.2 b 90 0.25 . c 70 0.3 d 60 0.35 Dato un costo opportunità del capitale proprio pari a i = 0.15 e dato che il T IR del progetto è pari a 0.2, allora la scelta ottima è: a a; b b; c c; d d; La valutazione deve tenere conto che ciò che non è impiegato nel progetto otti...